第二十一屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽初賽試題及參考解答

一、(滿分20分)有一根長1米且彈性能充分滿足要求的繩子，在繩子的一端有一個小蟲(蟲子本身的長度忽略不計(jì))．現(xiàn)在小蟲沿著繩子爬行1厘米，停下來．我們把繩子拉長1米(此時繩長為2米)，然后小蟲再爬行1厘米．我們再把繩子拉長1米(此時繩長為3米)，小蟲接著又爬行1厘米．依次下去，繩子每拉長1米，小蟲就再爬行1厘米．請問：小蟲能爬到繩子的另一端嗎？請對你的答案說明理由．

當(dāng)k大于等于200時，上式大于100．

二、(滿分20分)利用人造地球衛(wèi)星實(shí)時定位地面上物體(例如行駛的汽車)位置的全球定位系統(tǒng)(GPS)如今已經(jīng)家喻戶曉．這個系統(tǒng)由24顆高軌道衛(wèi)星組成，它們相對于地面是靜止的．汽車為了確定自己的位置，需要同時聯(lián)系系統(tǒng)中的三顆衛(wèi)星接受信號．當(dāng)汽車與一顆衛(wèi)星聯(lián)系時，接收器從信號往返的時間精確地確定出汽車與這個衛(wèi)星之間的距離r，例如r=22530km，它表明汽車位于以該衛(wèi)星為中心，半徑為22530km 的球面上．若汽車與另外兩顆衛(wèi)星的距離分別為27358km和 25794km，則汽車的位置應(yīng)該是這三個球面的交點(diǎn)．而三個球面有兩個交點(diǎn)，但其中一個交點(diǎn)與地球的距離很遠(yuǎn)，不難區(qū)別哪一個點(diǎn)是所要的答案．

假設(shè)汽車在地球上的位置由坐標(biāo) (x,y,z) 來描述，三顆衛(wèi)星在該坐標(biāo)系上的位置為(ai,bi,ci), (i=1,2,3 )，它們是已知的．則以這三顆衛(wèi)星為心，三個距離為半徑的球面就可以表示為

(x-a1)2+(y-b1)2+(z-c1)2=r12

(1)

(x-a2)2+(y-b2)2+(z-c2)2=r22

(2)

(x-a3)2+(y-b3)2+(z-c3)2=r32

(3)

對這三個關(guān)于(x,y,z) 的聯(lián)立方程求解就可以確定汽車的位置．

直接求解這個三元二次方程組復(fù)雜且耗時，對實(shí)時定位的需求來說是不實(shí)際的．

請你給出一個簡單求解這個方程組的步驟．

解步驟1針對這個方程組的特征，令(1)-(2)，(1)-(3)，得

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+2(c2-c1)z

2(a3-a1)x+2(b3-b1)y+2(c3-c1)z

這是三元一次方程組，但只有兩個獨(dú)立的方程，有無窮多組解．

步驟2固定z，將其移到方程組的右端，得

2(a2-a1)x+2(b2-b1)y=A-2(c2-c1)z,

2(a3-a1)x+2(b3-b1)y=B-2(c3-c1)z,

步驟3這時的x和y是z的一次函數(shù)，記為x(z)和y(z)。將它們帶回到原來的三元二次方程組中的(3)式中，就得到了關(guān)于變量z的一元二次方程．于是求得z．

步驟4將z帶入x(z)和y(z)，這樣問題就解決了．

三、(滿分20分)在北京市第十一次黨代會上，北京市委、市政府明確提出“聚焦通州戰(zhàn)略，打造功能完備的城市副中心”，更加明確了通州作為城市副中心定位．現(xiàn)已知北京城市副中心占地(如圖1-1)面積約155平方千米，若將一個平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該區(qū)域的直徑，求北京城市副中心的直徑．

圖1-1

解畫出北京城市副中心的區(qū)域輪廓圖(圖1-2)，可見M、N兩點(diǎn)的實(shí)際距離即為區(qū)域的直徑．需確定比例尺，然后量出直徑．利用割補(bǔ)的方法，把區(qū)域輪廓圖近似分割為一個矩形ABCD和一個三角形BEF．

注：只要方法得當(dāng)，答案靠近19～20千米，即為正確.

圖1-2

四、(滿分20分)古語說“早睡早起身體好”，“聞雞起舞”．現(xiàn)在對這一傳統(tǒng)習(xí)慣——清晨鍛煉身體，有些非議．理由是早晨太陽未升起前，空氣污染嚴(yán)重，還是晚上空氣質(zhì)量更好些，更適合戶外運(yùn)動．北京的M空氣觀測站每天24小時、每小時公布一次空氣質(zhì)量指數(shù)。我們將每天6點(diǎn)、7點(diǎn)和8點(diǎn)三個數(shù)據(jù)的平均值作為當(dāng)天早晨的空氣質(zhì)量指標(biāo)，將每天18點(diǎn)、19點(diǎn)和20點(diǎn)三個數(shù)據(jù)的平均值作為當(dāng)天晚間的空氣質(zhì)量指標(biāo)，表1是根據(jù)M空氣觀測站發(fā)布的2017年1月到6月空氣質(zhì)量指數(shù)計(jì)算出的早、晚空氣質(zhì)量指標(biāo)數(shù)據(jù)(有少量數(shù)據(jù)缺失)，數(shù)值越大，空氣的質(zhì)量就越差．

表1　2017年上半年每天早、晚的空氣質(zhì)量指標(biāo)數(shù)據(jù)

(1)請你計(jì)算每個月各天早晨的空氣質(zhì)量指標(biāo)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差、晚上的空氣質(zhì)量指標(biāo)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差．利用你計(jì)算的結(jié)果對“晚上空氣質(zhì)量更好些，更適合戶外運(yùn)動”的觀點(diǎn)作出評判．

(2)嘗試對數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析，給出相應(yīng)的結(jié)論．

解(1)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果如下

表2　2017年上半年每天的空氣質(zhì)量指標(biāo)早、晚月平均值和標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差描述的是隨機(jī)變量距離期望值隨機(jī)波動幅度的大?。@里得到的十二個標(biāo)準(zhǔn)差的最小值是42，這表明空氣質(zhì)量指數(shù)隨機(jī)波動的大小至少在±42的范圍之內(nèi)，再計(jì)算早、晚各自月平均值的差，6個月的數(shù)據(jù)分別是：-4，21，14，23，28，8．這些數(shù)都在28以內(nèi)，遠(yuǎn)沒有超過隨機(jī)誤差的水平．因而很難斷言在一天中早晨與晚上的空氣質(zhì)量是否有明顯的差別，也就無從斷言晚上更適合戶外運(yùn)動．

表3　2017年上半年每天空氣質(zhì)量早晚差

(2)如果注意到，我們要比較的早晨與晚上是指同一天的兩個時段，就應(yīng)當(dāng)對每一天的“早晚差”(表3)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，再計(jì)算“早晚差”的月平均值(這個早晚差的月平均值與早、晚月平均值的差是相等的)和“早晚差”的月標(biāo)準(zhǔn)差(表4)．這里的標(biāo)準(zhǔn)差表明對一個零期望值的總體隨機(jī)波動的大?。⒁獾竭@里算出的每個月“早晚差”的月平均值都遠(yuǎn)小于當(dāng)月的波動幅度，因此很難判斷這些“早晚差”與零有明顯的區(qū)別．觀察每個月內(nèi)每天的“早晚差”，發(fā)現(xiàn)有正有負(fù)，是隨機(jī)變化的．很難斷言早晨、晚上的空氣質(zhì)量誰優(yōu)于誰．

表4　每天空氣質(zhì)量早晚差的月平均值和月標(biāo)準(zhǔn)差

五、(滿分20分)據(jù)2017年11月20日 北京日報(bào)消息：昨天清晨，密云水庫蓄水量自2000年以來首次達(dá)到20億立方米，水位為144.74米．

另據(jù)北京市南水北調(diào)辦公室工程處介紹，2014年12月27日南水進(jìn)京后，一方面，自來水廠使用南水替代密云水庫向城區(qū)供水，使密云水庫每年減少出庫水量超過5億立方米；另一方面，通過京密引水渠，累計(jì)反向輸送3.64億立方米南水至密云水庫存蓄．“出庫量巨減，入庫量增加，再加上近兩年的汛期降雨、上游來水，共同保證了密云水庫蓄水量穩(wěn)步增加．”

密云水庫的蓄水量在2014年11月是8.8億立方米，2015年11月達(dá)到了10億立方米，2016年11月達(dá)到了16億立方米，2017年11月19日突破了20億立方米．三年來，隨著入庫水量的明顯增加，密云水庫水面逐漸擴(kuò)大，碧波蕩漾、水質(zhì)清澈，猶如一顆明珠鑲嵌在華北大地．

資料顯示：密云水庫的洪水位是158.5米，相應(yīng)水面面積183.6平方千米，庫容41.9億立方米；正常蓄水位157.5米，相應(yīng)水面面積179.33平方千米，庫容40.08億立方米；汛限水位147.0米，相應(yīng)水面面積137.54平方千米，庫容為23.38億立方米；死水位126.0米，水面面積46.154平方千米，庫容4.37億立方米．

請根據(jù)上述信息和下表數(shù)據(jù)，估計(jì)今年11月19日密云水庫的水面面積．

日期蓄水量(億立方米)水位(米)水面面積(平方千米)2017年 5 月 4 日17.02142.332017年 6 月12日17.3142.51142017年 7 月17日18.019143.18117.122017年 9 月10日19.006143.99120.732017年11月19日20144.74

解方法一利用體積公式計(jì)算．

將兩個水面間的蓄水形狀近似的看作是臺，臺的體積計(jì)算公式是

由于水庫是在山中建壩圍成的，地形非常復(fù)雜，兩個水位之間并不是標(biāo)準(zhǔn)的臺體，也就是說，體積V臺前面的系數(shù)不一定是3，當(dāng)蓄水量為Ai時，它對應(yīng)的水位為hi、水面面積為Si，若蓄水量由Ai變到了Aj，設(shè)定一個調(diào)節(jié)參數(shù)kij，近似地滿足

水庫的兩個水位差越大，兩個水位所在平面的形狀差異就越大，所以，為了求蓄水量20億立方米時的水面面積，我們選取與之較近的水位數(shù)據(jù)參與計(jì)算．

由已知表中數(shù)據(jù)可知，

當(dāng)A1=1.8019十億立方米時，h1=0.14318千米，S1=117.12平方千米；

當(dāng)A2=1.9006十億立方米時，h2=0.14399千米，S2=120.73平方千米；

在大于20億立方米時，題目給出的最近水位數(shù)據(jù)是汛限水位，即

當(dāng)A3=2.338十億立方米時，h3=0.147千米，S3=137.54平方千米．

于是有

即S2-620.37+62410=0，

解得S=126.325．

即今年11月19日密云水庫的水面面積約為126.325平方千米．

方法二量綱分析的方法．

相關(guān)系數(shù)是r=0.9993，結(jié)論可靠．

注：只要方法合理，且答案數(shù)值在120.73(9月10日143.99水位時的面積)與137.54(汛限水位147.0時的面積)之間，又因?yàn)檫@時水位是144.74-143.99=0.75，147.0-144.74=2.56，故答案數(shù)值應(yīng)靠近120.73．