基于不確定理論的二級供應(yīng)鏈訂貨量決策

樊相宇,柴曉萌,武小平

(西安郵電大學(xué) 現(xiàn)代郵政學(xué)院， 陜西 西安 710061)

在二級供應(yīng)鏈訂貨量決策中，生產(chǎn)與需求的不確定性是供應(yīng)鏈不確定性的一個重要方面，對生產(chǎn)不確定的研究中，文獻(xiàn)[1]運(yùn)用概率論方法，研究了具有二級生產(chǎn)不確定和隨機(jī)需求的供應(yīng)鏈的生產(chǎn)和訂購決策問題，分別建立了集中決策和分散決策兩類供應(yīng)鏈的隨機(jī)庫存模型，在二級生產(chǎn)誤差和需求服從均勻分布的情況下，發(fā)現(xiàn)集中決策的供應(yīng)鏈比分散決策的供應(yīng)鏈獲得更多的期望利潤，但并沒有考慮生產(chǎn)商的生產(chǎn)能力限制，以及生產(chǎn)商通常為了保護(hù)自己的利益，會要求零售商的訂貨量必須大于一個生產(chǎn)線的最小生產(chǎn)能力[2]。在對需求不確定的研究中，文獻(xiàn)[3]將每一種產(chǎn)品的需求均作為模糊變量，研究了多產(chǎn)品多約束下的零售商單周期庫存問題，但并沒有考慮最優(yōu)訂貨量對供應(yīng)鏈整體利潤的影響。在生產(chǎn)與需求均不確定的研究中，文獻(xiàn)[4]利用購買商公布的生產(chǎn)計劃信息，將預(yù)測需求信息和準(zhǔn)時到貨率作為模糊隨機(jī)變量，基于模糊隨機(jī)理論提出模糊隨機(jī)供需變量的供應(yīng)鏈訂貨量模型，對于特定的模糊隨機(jī)供需變量的情形，文中求出了供應(yīng)商管理庫存環(huán)境下的最優(yōu)訂貨量，但這種方法不適合于歷年銷售數(shù)據(jù)無法獲得的情形。

不確定理論[5]用于描述生產(chǎn)生活中的“不確定常數(shù)”及“邊界不清晰”概念[6]，當(dāng)缺乏必要的歷史數(shù)據(jù)來進(jìn)行決策時，不確定理論提供了決策依據(jù)；當(dāng)處理需要根據(jù)管理者實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來估計的不確定問題時[7]，不確定規(guī)劃提供了具體的實(shí)施方法[8]；文獻(xiàn)[9]研究了庫存成本、缺貨成本、訂購成本均為不確定變量時的經(jīng)濟(jì)批量訂購問題，通過建立不確定規(guī)劃期望值模型，確定了一個企業(yè)在不確定環(huán)境中的最優(yōu)訂貨量，但是沒有考慮不確定變量的方差過大可能導(dǎo)致求解結(jié)果不易實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[10]基于不確定理論，把需求作為不確定變量，通過對期望值因子排序，研究了不確定環(huán)境下的單周期庫存的報童問題，但是并未將報童問題擴(kuò)展到整個供應(yīng)鏈中。

本文擬針對二級供應(yīng)鏈訂購決策問題，在由一個制造商和多個零售商組成的二級供應(yīng)鏈中，運(yùn)用不確定理論[4]和不確定機(jī)會約束規(guī)劃[8]，建立二級供應(yīng)鏈訂貨量決策模型，并將借助不確定理論中的悲觀值概念，通過一系列算法，將不確定機(jī)會約束規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為可求解的確定性形式，求解決策者可接受的置信度下的最優(yōu)訂貨量，最后進(jìn)行算例分析。

1　問題提出與模型建立

1.1　問題提出

當(dāng)二級供應(yīng)鏈由一個制造商和多個零售商組成時，由于處在供應(yīng)鏈上游的制造商的最大生產(chǎn)能力、最大配送能力、單位生產(chǎn)成本、單位運(yùn)輸成本，以及下游的零售商單位庫存成本，往往是不確定的變量，訂貨量難以通過相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，不確定信息使制造商難以進(jìn)行生產(chǎn)決策。

制造商單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本受生產(chǎn)設(shè)備、機(jī)器維修、生產(chǎn)設(shè)備每期折舊額和生產(chǎn)工人缺勤等諸多不確定因素的影響，造成單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本的不確定。制造商的最大生產(chǎn)能力，受到生產(chǎn)工人勞動時間和機(jī)器運(yùn)行狀態(tài)的影響，因此制造商最大生產(chǎn)能力也是不確定的。同時制造商的最大配送能力、制造商單位運(yùn)輸成本、零售商的單位庫存成本也是不確定變量。

針對上述不確定情形，運(yùn)用不確定理論來建立訂貨量決策模型，以確定各零售商的訂貨量，從而使得供應(yīng)鏈的整體利潤達(dá)到最優(yōu)。

1.2　不確定理論與不確定機(jī)會約束規(guī)劃模型

從機(jī)會測度角度出發(fā)，根據(jù)不確定理論[5]，構(gòu)建不確定機(jī)會約束規(guī)劃模型。

設(shè)Γ為一個非空集合，L是Γ上的一個σ-代數(shù)，在L中的每個元素Λ稱為一個事件；M是一個集函數(shù)，若L滿足規(guī)范性、自對偶性、單調(diào)性、次可加性，則稱M為一個不確定測度。不確定測度是從L映射到[0,1]的函數(shù)，(Γ,L,M)被稱為一個不確定空間[11]。不確定測度是不確定理論中通過專家評價意見測度不確定事件發(fā)生的置信水平[12]。

定義1[5]一個不確定變量ξ是一個從不確定空間(Γ,L,M)到實(shí)數(shù)集的可測函數(shù)，即對于任意實(shí)數(shù)Borel集B，集合{ξ∈B}是一個事件。

不確定變量不同于模糊理論中的模糊變量和概率論中的隨機(jī)變量，模糊變量是從可能性空間到實(shí)數(shù)集的可測函數(shù)，隨機(jī)變量是從概率空間到實(shí)數(shù)集的可測函數(shù)，原空間上測度的不同導(dǎo)致這3種變量間性質(zhì)的不同[7]。模糊變量一般通過隸屬度函數(shù)來說明，隨機(jī)變量通過其概率密度函數(shù)來說明，而不確定變量需通過其不確定分布函數(shù)來說明。

定義2[5]不確定變量ξ的不確定分布Φ定義為：對?x∈，Φ(x)=M{ξ≤x}。

令N為決策向量，ξ為不確定參數(shù)，由于不確定參數(shù)的存在，帶有約束gj(N,ξ)≤0且目標(biāo)函數(shù)為f(N,ξ)的最大化問題，無法直接進(jìn)行優(yōu)化，依據(jù)解決帶有不確定參數(shù)的優(yōu)化問題的不確定規(guī)劃方法[8]，將原問題轉(zhuǎn)化為如下機(jī)會約束規(guī)劃的形式

maxE[f(N,ξ)],s.t.M{gj(N,ξ)≤0}≥αj
(j=1,2,…,n)。

(1)

式(1)中，E[f(N,ξ)]表示目標(biāo)函數(shù)f(N,ξ)的期望值；maxE[f(N,ξ)]表示目標(biāo)函數(shù)期望值的最大值；M{gj(N,ξ)≤0}≥αj表示目標(biāo)函數(shù)成立的約束條件：gj(N,ξ)≤0成立的不確定測度值須不小于αj。

上述目標(biāo)函數(shù)取期望值時，可能因變量的方差太大，而導(dǎo)致求解結(jié)果不易實(shí)現(xiàn)，在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，往往要考慮事件發(fā)生的可靠度，因此，考慮采用目標(biāo)函數(shù)成立的測度，即可信度來處理目標(biāo)函數(shù)，改進(jìn)后的不確定機(jī)會約束規(guī)劃模型為

(2)

定理1[5]設(shè)gj(N,ξ)隨ξ1,ξ2,…,ξk單調(diào)遞增，隨ξk+1,ξk+2,…,ξn單調(diào)遞減，且ξ1,ξ2,…,ξn是獨(dú)立的不確定變量，對應(yīng)的不確定分布分別為Φ1,Φ2，…,Φn，若

M{gj(N,ξ1,ξ2,…,ξn)≤0}≥αj,

當(dāng)且僅當(dāng)

式(2)即建立的模型方程。

步驟1給定目標(biāo)函數(shù)的可信度β；

步驟3則目標(biāo)函數(shù)的逆分布函數(shù)為

步驟5給出約束條件的可信度αj。

1.3　目標(biāo)函數(shù)和約束條件分析

零售商和供應(yīng)商在二級供應(yīng)鏈的各種約束條件下，基于供應(yīng)鏈整體利潤最大化建立目標(biāo)函數(shù)f(N,ξ)。

由于目標(biāo)函數(shù)由制造商節(jié)點(diǎn)的利潤和零售商節(jié)點(diǎn)的利潤組成，以下分析各節(jié)點(diǎn)部分的利潤組成。

1.3.1目標(biāo)函數(shù)的組成

基于定義的參數(shù)，分析各節(jié)點(diǎn)利潤的組成部分并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

制造商利潤為πi，由上面分析可知，制造商部分的成本主要包括采購原材料的成本、生產(chǎn)產(chǎn)品g的成本和運(yùn)輸產(chǎn)品g的成本，收益包括出售產(chǎn)品g給零售商獲得的收益。具體數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(3)

零售商利潤為πj，由以上分析可知，零售商部分的收益包括向顧客銷售產(chǎn)品的收入，成本主要包括從制造商處采購產(chǎn)品g的成本、儲存產(chǎn)品g的成本。要得到零售商處的儲存成本，須先求得t時刻零售商儲存產(chǎn)品的數(shù)量N(t)。分析一般產(chǎn)品的銷售特征，產(chǎn)品g的庫存量與產(chǎn)品的庫存時間函數(shù)關(guān)系式如下

(4)

式(4)中，tjg≤t≤Tjg中的tjg是產(chǎn)品g到達(dá)零售商處開始銷售的時刻，一般是從零售商下達(dá)訂單開始至產(chǎn)品到達(dá)零售商處的時間長度，Tjg是指產(chǎn)品g的銷售期限，Qjg表示顧客在零售商j處對產(chǎn)品g的需求量，Njg是零售商庫存量的初始值，即制造商向零售商j配送的產(chǎn)品g的數(shù)量，Njg≥Qjg。式(4)表明產(chǎn)品g到達(dá)零售商處后，庫存量隨時間t的變化規(guī)律是先加速減少，然后緩慢減少。

零售商的利潤表達(dá)式為

(5)

因此，供應(yīng)鏈整體的利潤π為式(3)加上式(5)

(6)

1.3.2約束條件分析

由于二級供應(yīng)鏈在實(shí)際運(yùn)行中，制造商要受到生產(chǎn)能力、配送能力的限制，零售商要受到產(chǎn)品需求度等各方面的限制，下面建立二級供應(yīng)鏈各個節(jié)點(diǎn)成員間的約束關(guān)系。

(7)

關(guān)于零售商的約束條件，是零售商要盡可能滿足本區(qū)域內(nèi)消費(fèi)者的需求量，并且考慮到其他影響銷售情況的因素的存在，比如采購的產(chǎn)成品中可能存在不合格產(chǎn)品，因而有下面的約束條件

Njg≤(1+ρ)Qjg(j,g=1,2,…,n),Njg>Qjg(j,g=1,2,…,n)。

(8)

式(8)中，ρ是一個參數(shù)，0≤ρ≤1，其值根據(jù)產(chǎn)品實(shí)際銷售情況確定；Qjg表示顧客在零售商j處對產(chǎn)品g的需求量。

模型中決策變量的約束條件為

Njg∈{0,1,2,…}(j,g=1,2,…,n)。

(9)

1.4　二級供應(yīng)鏈訂貨量決策模型的建立

根據(jù)本文1.2部分的內(nèi)容，該模型的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為

(10)

由于目標(biāo)函數(shù)f(N,ξ)隨著ηg，τj，ξjg單調(diào)遞增，約束條件gj(N,ξ)隨著ζg，υg單調(diào)遞減，根據(jù)本文1.2部分和1.3部分的內(nèi)容，該二級供應(yīng)鏈的不確定機(jī)會約束規(guī)劃模型可轉(zhuǎn)化為

(11)

其中，β,ɑg,γ體現(xiàn)決策者的風(fēng)險偏好，β∈[0,1]是目標(biāo)函數(shù)的置信度，即目標(biāo)函數(shù)成立的測度不小于β；αg,γ∈[0,1]是約束條件的置信度。

2　算例驗(yàn)證

假設(shè)某二級供應(yīng)鏈由1個制造商和3個零售商組成，即i=1，j={1,2,3}，制造商使用采購的原材料生產(chǎn)的產(chǎn)成品集合為g={1,2}。制造商采購原材料的單位價格r=15，制造商用這種原材料可生產(chǎn)兩種產(chǎn)成品，且生產(chǎn)第g種產(chǎn)品的生產(chǎn)率δg分別為

δ1=0.6，δ2=0.4，

制造商生產(chǎn)環(huán)節(jié)上各產(chǎn)品的最大生產(chǎn)能力

兩種產(chǎn)品的最大配送能力

其中，L(a,b)代表的是該參數(shù)是服從線性分布的不確定變量，其逆分布為

Φ-1(β)=(1-β)a+βb。

由1個制造商和3個零售商組成的二級供應(yīng)中，制造商生產(chǎn)產(chǎn)品1的單位成本η11～L(30,45)，生產(chǎn)產(chǎn)品2的單位成本η12～L(40,60)；制造商產(chǎn)品生產(chǎn)完成后，將產(chǎn)品運(yùn)往零售商1處的單位運(yùn)輸成本τ11～L(5,25)，將產(chǎn)品運(yùn)往零售商2處的單位運(yùn)輸成本τ12～L(8,30)，將產(chǎn)品運(yùn)往零售商3處的單位運(yùn)輸成本τ13～L(13,40)。

假設(shè)各零售商從制造商處采購產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的價格分別為70元/單位和85元/單位。零售商1儲存產(chǎn)品1的單位成本ξ11～L(2,7)，儲存產(chǎn)品2的單位成本ξ12～L(5,10)；零售商2儲存產(chǎn)品1的單位成本ξ21～L(3,9)，零售商2儲存產(chǎn)品2的單位成本ξ22～L(6,12)；零售商3儲存產(chǎn)品1的單位成本ξ31～L(3,8)，零售商3儲存產(chǎn)品2的單位成本ξ32～L(5,10)。

零售商銷售環(huán)節(jié)上，假設(shè)零售商1銷售產(chǎn)品1的價格為80元/單位，面向的顧客需求量為200單位；銷售產(chǎn)品2的價格為95元/單位，面向的顧客需求量為300單位；零售商2銷售產(chǎn)品1的價格為85元/單位，面向的顧客需求量為300單位；銷售產(chǎn)品2的價格為100元/單位，面向的顧客需求量為400單位；零售商3銷售產(chǎn)品1的價格為80元/單位，面向的顧客需求量為230單位；銷售產(chǎn)品2的價格為100元/單位，面向的顧客需求量為350單位。

零售商1銷售產(chǎn)品1的時間期限中t11為5天，T11為90天；零售商1銷售產(chǎn)品2的時間期限中t12為5天，T12為65天；零售商2銷售產(chǎn)品1的時間期限中t21為7天，T21=92天；零售商2銷售產(chǎn)品2的時間期限中t22為7天，T22為67天；零售商3銷售產(chǎn)品1的時間期限中t31為6天，T31為91天；零售商3銷售產(chǎn)品2的時間期限中t32為6天，T32為66天。

假設(shè)給定目標(biāo)函數(shù)的置信水平β為0.9，約束條件的置信水平均為0.95，且

將上述各個參數(shù)的值代入模型(11)中，有

(12)

將各個不確定分布的逆分布，代入化簡并利用單純形法，借助MATLAB軟件求得

N11=300，N12=300,N21=300，N22=400,N31=300，N32=500，

(13)

f=-376 031。

(14)

則供應(yīng)鏈整體利潤為376 031元，即當(dāng)零售商1訂購產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的數(shù)量皆為300單位時；零售商2訂購產(chǎn)品1的數(shù)量為300單位，訂購產(chǎn)品2的數(shù)量為400單位時；零售商3訂購產(chǎn)品1的數(shù)量為300單位，訂購產(chǎn)品2的數(shù)量為500單位時，供應(yīng)鏈的整體利潤達(dá)到最優(yōu)值376 031元的置信度大于90%。此算例說明，建立的不確定機(jī)會約束規(guī)劃模型，可應(yīng)用于供應(yīng)鏈利潤優(yōu)化領(lǐng)域。

3　結(jié)論

針對二級供應(yīng)鏈中產(chǎn)品的供給、生產(chǎn)成本、儲存成本等存在不確定性因素，導(dǎo)致零售商無法在利潤最大化目標(biāo)前提下準(zhǔn)確進(jìn)行訂貨量決策的問題，從機(jī)會測度角度出發(fā)，應(yīng)用不確定理論，建立了二級供應(yīng)鏈訂貨量決策新模型。通過算例分析，得出以下結(jié)論。

(1) 模型求解出了給定的機(jī)會測度下的零售商最優(yōu)訂貨量，當(dāng)給定的約束條件的機(jī)會測度發(fā)生變化時，相應(yīng)的最優(yōu)訂貨量和供應(yīng)鏈整體利潤最優(yōu)值，會隨之發(fā)生變化。

(2) 當(dāng)經(jīng)銷商缺乏足夠的歷史數(shù)據(jù)來進(jìn)行決策時，如新產(chǎn)品上市或?qū)a(chǎn)品推廣到新的地區(qū)時等情況，可采用不確定機(jī)會約束規(guī)劃模型，來求解供應(yīng)鏈上的最優(yōu)訂貨量。

(3) 經(jīng)銷商應(yīng)將風(fēng)險偏好納入訂貨量決策考慮范圍。考慮決策者風(fēng)險偏好的不確定機(jī)會約束規(guī)劃模型，將決策者的風(fēng)險偏好融入到供應(yīng)鏈訂貨量決策過程中。所建立的訂貨量決策模型，可根據(jù)決策者的風(fēng)險偏好求解出在該風(fēng)險偏好下所處供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量。

(4) 經(jīng)銷商應(yīng)考慮處于供應(yīng)鏈上游的制造商通常會設(shè)置最小訂貨量這一限制。制造商通過設(shè)置零售商每次訂貨的下限，即最小貨量，來保障自身的基本利益。建立的訂貨量決策模型應(yīng)考慮這一情況，并將其作為約束條件，從而求解出的最優(yōu)訂貨量更具可靠性。