液-固界面反射縱波的虛擬橫向位移

法　林,席冰潔,張曉琳,張　琦,王毛毛,范　瑾

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院,陜西 西安 710121)

光學(xué)中存在稱為“Goos-H?nchen效應(yīng)”的一種物理現(xiàn)象:當(dāng)光波在過臨界角區(qū)域從光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)時(shí)，全反射將產(chǎn)生相干干涉，在界面上合成相對入射點(diǎn)具有一個(gè)橫向位移的反射波。該現(xiàn)象被廣泛應(yīng)用于光學(xué)界面的研究和實(shí)際生活之中，如納米光子學(xué)[1]、光開關(guān)和集成光學(xué)等。

光學(xué)的某些物理現(xiàn)象與聲學(xué)相似，故考慮類比光學(xué)對聲學(xué)[2]進(jìn)行研究，將光學(xué)中的“Goos-H?nchen效應(yīng)”直接推廣到聲學(xué)的相關(guān)應(yīng)用中。文獻(xiàn)[3-6]將其應(yīng)用到聲波測井和超聲無損探測中,文獻(xiàn)[7-8]討論在不同介質(zhì)中聲學(xué)橫向偏移模型產(chǎn)生的渡越時(shí)間對地震勘探數(shù)據(jù)時(shí)-深轉(zhuǎn)換的影響，但都簡單化了聲波信號在界面上由于反射而產(chǎn)生的渡越時(shí)間/橫向位移的實(shí)際情況。

聲波在界面上具有一些不同于光波的物理性質(zhì)，在過入射臨界角區(qū)域光波產(chǎn)生全反射,而聲波不能產(chǎn)生全反射，故不能完全等效光波的做法進(jìn)行研究。僅考慮單頻反射波的情況并不夠全面,包含多頻成分的實(shí)際反射信號子波的情況也不容忽略。在實(shí)際應(yīng)用中，聲源輻射的不是單頻波，而是由許多具有不同幅度和不同頻率分量的子波信號組成。

本文將基于已有對時(shí)諧聲波在兩種不同介質(zhì)界面上產(chǎn)生的渡越時(shí)間和橫向位移的研究基礎(chǔ)上，建立包含多頻率分量的反射聲波信號在液-固界面的虛擬橫向位移模型，根據(jù)法應(yīng)力分量連續(xù)和質(zhì)點(diǎn)位移法向應(yīng)力分量連續(xù)的邊界條件，推導(dǎo)出縱波(primary wave,P-波)到P-波的反射系數(shù)、反射P-波在液-固界面上相對入射波產(chǎn)生的橫向位移和渡越時(shí)間的解析表達(dá)式，并給出反射P-波在界面上的有效傳播速度與界面兩側(cè)介質(zhì)的物理特性、入射角及頻率之間的關(guān)系，進(jìn)而以傅里葉變換為工具,對反射聲波信號的各個(gè)頻率分量在液-固界面產(chǎn)生的渡越時(shí)間和橫向位移進(jìn)行計(jì)算和分析,從而得到反射聲波信號在液-固界面上產(chǎn)生的聲信號。

1　模型的建立

1.1　反射P-波相對于入射P-波的相移

如圖1所示，角頻率為ω的簡諧P-波在xOz平面?zhèn)鞑?，并在?固界面產(chǎn)生反射/折射。以m=0、1、2、3分別表示入射P-波、反射P-波、折射P-波和折射垂直偏振橫波(secondary vertically wave,SV-波)，θ(m)是其幾何角度，R(m)是其系數(shù)，其歸一化的質(zhì)點(diǎn)位移可表示為[9]

其中，k(m)是波數(shù)。由液-固界面法向質(zhì)點(diǎn)位移分量連續(xù)和法向應(yīng)力分量連續(xù)的邊界條件，P-波到P-波的反射系數(shù)可寫為[10]

(1)

其中

(2)

(3)

其中,v(m)是波的相速度，f、s分別表示液體和固體，c11、c12、c44為彈性常量。

圖1　簡諧聲波在液-固界面的反射/折射

是純虛數(shù)，故方程(2)和(3)可簡化為

ΔR(1)=a1+ib1,

(4)

Δ(1)=c1+id1。

(5)

其中

(6)

因此，反射P-波相對于入射P-波產(chǎn)生的相移可寫為

(7)

1.2　虛擬橫向位移模型分析

如圖2所示，對于虛擬橫向位移模型，簡諧聲波的傳播路徑為T→A→RI，入射點(diǎn)和反射點(diǎn)在界面上是相同的空間位置A，在空間位置RI處觀察到反射波。

圖2　虛擬橫向位移模型

考慮到波數(shù)的z分量存在關(guān)系

通過公式(7)可以獲得在液-固界面上反射簡諧P-波相對入射簡諧P-波產(chǎn)生的橫向位移[11]

其中

相應(yīng)的渡越時(shí)間可表示為[12]

其中

(8)

從上式可知，簡諧反射P-波在界面上的有效傳播速度與頻率無關(guān)，但與入射角θ(0)和界面兩側(cè)介質(zhì)有關(guān)。

2　聲源首波信號

考慮到滑行折射P-波的傳播路徑與反射P-波不同，采用到達(dá)觀察點(diǎn)的時(shí)間差這一參數(shù)對首次到達(dá)觀察點(diǎn)的聲波信號進(jìn)行研究。滑行折射P-波的反射模型如圖3所示，其中T為聲源，R是觀察位置，ξ是幾何結(jié)構(gòu)角度，a是聲源/觀察點(diǎn)到界面的距離，L是聲源與觀察點(diǎn)之間的距離。

圖3　滑行折射P-波反射模型

對于“聲波測井滑行折射P-波模型”，聲波信號的傳輸路徑為T→M1→M2→R，計(jì)算聲波首波信號傳播時(shí)間的公式為[13]

(9)

聲源輻射的聲信號通常是由許多不同的頻率分量組成。對于虛擬橫向位移模型，由公式(8)可知反射聲波信號中的各頻率分量在界面上的傳播速度與頻率無關(guān)，因此,這些頻率分量被反射并沿著相同的路徑T→O→R到達(dá)指定的觀察點(diǎn)R，如圖3中虛線所示。反射聲波信號在界面上產(chǎn)生的渡越時(shí)間為

ΔtI=tI-tp，

其中:tI是聲波信號從T到O，然后經(jīng)過在界面的空間點(diǎn)O的反射，再從空間點(diǎn)O到觀察點(diǎn)R的總傳輸時(shí)間；tp是聲波信號沿著同樣的路徑在水中的傳播時(shí)間。

依據(jù)公式(9)可以計(jì)算出“滑行折射P-波聲波測井模型”中的聲波信號的傳輸時(shí)間ts。依據(jù)關(guān)系ΔtIs=tI-ts可以得到上述傳播時(shí)間ts與“虛擬橫向位移模型”聲波傳播時(shí)間tI之間的差別。

對于虛擬橫向位移模型，盡管在界面上的反射點(diǎn)和入射點(diǎn)被認(rèn)為是同一空間點(diǎn)O，聲波信號的所有頻率分量具有相同的傳播路徑，然而在聲波信號中的每個(gè)頻率分量都有其獨(dú)特的渡越時(shí)間。因此，在觀測點(diǎn)R處，聲波信號中的第j個(gè)(j=1,2,…,N)頻率分量的表達(dá)式可被寫為

(10)

3　計(jì)算和分析

讓聲源或觀察點(diǎn)到液-固界面的距離

a=0.085 m，

聲源到觀察點(diǎn)的距離

L=0.142 6 m，

那么

θ(0)=ξ=40°。

選擇液-固界面兩側(cè)介質(zhì)的物理參數(shù)如表1。其中，ρ是介質(zhì)的密度，vp是P-波在介質(zhì)中的傳播速度，vs是SV-波在固體介質(zhì)中的傳播速度。對于這樣的水和有機(jī)玻璃構(gòu)成的液-固界面，存在一個(gè)對應(yīng)折射P-波的入射臨界角。

表1　界面兩側(cè)介質(zhì)的物理參數(shù)

3.1　聲源

選取中心頻率[15]為1 MHz的Ricker子波[16]作為聲源，并假設(shè)它向外全方位的輻射聲波信號，其時(shí)域和頻域的表達(dá)式分別為

Ricker子波的時(shí)域波形和頻域幅度譜如圖4所示。

圖4　Ricker子波的波形和幅度譜

3.2　反射系數(shù)

依據(jù)公式(6)和公式(7)，可以得到液-固界面P-波到P-波反射系數(shù)及相移與入射角之間的關(guān)系，如圖5所示。

圖5　P-波到P-波的反射系數(shù)

3.3　簡諧反射P-波在界面上的傳播速度

根據(jù)公式(8)可以得出，在過入射臨界角區(qū)域，反射P-波在液-固界面的有效傳播速度與入射角的關(guān)系，即速度譜隨著入射角的增加而單調(diào)減小，如圖6所示。計(jì)算結(jié)果表明：在入射臨界角附近，反射P-波在界面上的有效傳播速度趨近于P-波在固體介質(zhì)中的傳播速度；而當(dāng)入射角接近90°，這個(gè)傳播速度接近P-波在水中的傳播速度。

圖6　反射P-波傳播速度

3.4　時(shí)域波形、渡越時(shí)間和傳輸時(shí)間偏離

圖7　聲波信號時(shí)域波形及渡越和傳輸時(shí)間

4　結(jié)語

對于液-固界面的過入射臨界角區(qū)域，通過研究反射聲波信號的物理特性，可以得出以下結(jié)論：

(1) 基于提出虛擬橫向位移模型可知，反射簡諧P-波在液-固界面上產(chǎn)生的渡越時(shí)間與其頻率有關(guān)，頻率越低，產(chǎn)生的渡越時(shí)間越長；

(2) 反射P-波在界面上的等效傳播速度與頻率無關(guān)，但與界面兩側(cè)介質(zhì)的物理參數(shù)和入射角有關(guān)；

(3) 在入射臨界角的附近區(qū)域，用傳統(tǒng)的聲波測井的滑行折射P-模型來計(jì)算P-波在界面固體中的傳播速度是一個(gè)很好的近似，但在其它入射角區(qū)域，用上述模型計(jì)算出的P-波在固體中的傳播速度將會(huì)產(chǎn)生大的誤差。

(4) 在對應(yīng)折射P-波的過入射臨界角區(qū)域，折射P-波是一種沿著與界面平行方向傳播、沿著界面垂直方向按指數(shù)規(guī)律衰減的漸失波。因此可以推斷，在聲波測井中觀察到聲波信號的首至是反射P-波，而不是滑行折射P-波。