多產(chǎn)品救援物資的儲備決策: 一個擴展的Newsvendor模型

陳敬賢，梁　樑

(1. 南通大學(xué)商學(xué)院，江蘇 南通　226019；2. 合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院, 安徽 合肥　230009)

1　引言

隨著人類社會的不斷發(fā)展進步，災(zāi)害事件也在頻繁爆發(fā)，給社會及人類生命財產(chǎn)安全帶來了極大的影響。世界紅十字會組織International Federation of Red Cross and Red Crescent Societies (IFRC)2014年年度報告指出，在過去的十年里(2004-2013)，世界范圍內(nèi)總共爆發(fā)了6525起災(zāi)害事件，共有1059072人因災(zāi)害事件而喪生，共有19979.32萬人受到了災(zāi)害事件的影響[1]。而EM-DAT的數(shù)據(jù)(EM-DAT統(tǒng)計的是有十人以上喪生的災(zāi)害事件)則表明2014年中國總共爆發(fā)了40起災(zāi)害事件，居全世界之首，在災(zāi)害中受傷的人數(shù)達到6496萬人，直接經(jīng)濟損失達到289.5億美元[2]。這些數(shù)據(jù)充分表明，研究有效應(yīng)對災(zāi)害事件的方法與策略具有明顯的意義和價值。

《中華人民共和國突發(fā)事件應(yīng)對法》將突發(fā)事件的應(yīng)急管理劃分為預(yù)防與應(yīng)急準(zhǔn)備、監(jiān)測與預(yù)警、應(yīng)急處置與救援和事后恢復(fù)和重建等四個階段，也有文獻將突發(fā)事件的應(yīng)對劃分為應(yīng)急預(yù)備、響應(yīng)和恢復(fù)重建等三個階段[3-5]。本文研究應(yīng)對災(zāi)害事件的物資儲備問題，屬于應(yīng)急預(yù)備或預(yù)防與應(yīng)急準(zhǔn)備階段的內(nèi)容。從已經(jīng)發(fā)表的文獻來看，目前的研究偏向于關(guān)注應(yīng)急響應(yīng)問題，而預(yù)備、監(jiān)測與預(yù)警及恢復(fù)重建等重要問題的研究還較為鮮見。但從救援管理的實踐來看，應(yīng)急預(yù)備階段的工作尤為重要。例如，中央政府在《突發(fā)事件應(yīng)對法》中就強調(diào)“突發(fā)事件應(yīng)對工作實行預(yù)防為主、預(yù)防與應(yīng)急相結(jié)合的原則”。實際的案例也對此進行了說明。例如，以典型救援物資帳篷為例，汶川地震發(fā)生后兩天，全國10個中央物資儲備庫中的18萬頂帳篷被掏空，而僅為安置四川、陜西和甘肅3省的災(zāi)民，就需要300多萬頂帳篷，這一事實表明了帳篷的儲備在地震發(fā)生后表現(xiàn)出明顯的不足；而在汶川地震發(fā)生以前，我國10個中央儲備倉庫中尚剩余1998年儲備的帳篷約88000多頂，而僅是為維持這些帳篷基本功能的維修費、管理費每年就高達近百萬元。這一事實反映出，儲備一定數(shù)量的救援物資具有明顯的必要性，但同時也具備一定的風(fēng)險性，平衡儲備物資的必要性及風(fēng)險性研究救援物資的儲備決策是亟待研究的重要問題，這也是本文研究的主要內(nèi)容。

本文的研究問題屬于應(yīng)急預(yù)備階段，下面對應(yīng)急預(yù)備階段的已有相關(guān)文獻進行綜述。關(guān)于應(yīng)急監(jiān)測預(yù)警、應(yīng)急響應(yīng)及事后恢復(fù)與重建等方面的研究可以詳見Altay和Green、Galindo和Batta的綜述[7,8]。Whybark、Tomasini和Van Wassenhove的定性研究較早的關(guān)注了應(yīng)急資源的儲備與庫存問題，他們均指出儲備一定數(shù)量的救援物資對于提高救災(zāi)效果及效率具有重要意義[9,10]。Beamon和Kotleba[11]建立了一種改進的(Q,r)決策模型，并利用該模型確定救援物資的最優(yōu)訂貨量和再訂貨點。Lodree[12]基于minimax準(zhǔn)則研究了應(yīng)對颶風(fēng)災(zāi)害的救援物資的預(yù)防性與響應(yīng)性控制策略。Duran等[13]針對國際救援組織CARE的實際案例，基于整數(shù)規(guī)劃模型研究了救援物資的庫存決策。Balick和Ak[14]同樣利用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法研究了救援組織的供應(yīng)商選擇及庫存決策等問題。以上這些研究均是在假設(shè)災(zāi)害事件發(fā)生的基礎(chǔ)上，救援組織的如何利用預(yù)防性的策略來應(yīng)對，本質(zhì)上仍然屬于應(yīng)急響應(yīng)階段的物資調(diào)度與規(guī)劃問題。

近年來，漸有學(xué)者開始運用報童模型來研究救援物資的庫存決策。Lodree和Taskin[15]利用報童模型量化了應(yīng)對災(zāi)害事件的救援物資的最優(yōu)訂貨量，并進一步討論了救援物資儲備的保險策略。Chakravarty[16]利用報童模型討論了救援組織的或有計劃，該計劃包含了應(yīng)急預(yù)備、響應(yīng)和恢復(fù)重建三個階段的產(chǎn)能及供應(yīng)商的批發(fā)價決策；進一步，他又在該模型的基礎(chǔ)上討論了災(zāi)害事件發(fā)生后的快速響應(yīng)機制[17]。Das和Hanaoka[18]開發(fā)了一種估計需求及救援組織期望成本的方法，并在此基礎(chǔ)上討論了救援組織的最優(yōu)庫存決策。Campbell和Jones[19]利用報童模型研究了救災(zāi)物資供應(yīng)商的選址及庫存決策，他們同時考慮了供應(yīng)商在災(zāi)害事件中被摧毀的可能。Wang Xihui等[20]研究了救援物資供應(yīng)鏈預(yù)采購的期權(quán)契約及供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)。王熹徽和梁樑[21]研究了救援供應(yīng)鏈的采購策略及期權(quán)契約協(xié)調(diào)機制；陳濤等[22]研究了應(yīng)對突發(fā)事件的社會化儲備體系中，協(xié)議企業(yè)實物儲備、生產(chǎn)能力儲備的協(xié)調(diào)性問題；王熹徽等[23]研究了救災(zāi)網(wǎng)絡(luò)的解構(gòu)及其優(yōu)化問題；張琳等[24]研究了基于價格柔性契約的應(yīng)急物資采購問題。以上文獻均是在利用報童模型的基礎(chǔ)上開展研究的，但均是針對單一產(chǎn)品的救援物資，并沒有考慮多產(chǎn)品的救援物資儲備決策。顯然，實際救援管理工作中往往牽涉到多種救災(zāi)物資的儲備決策，這也正是本文研究的主要問題。另外，本文同時也考慮了當(dāng)儲備物資不足以全部滿足災(zāi)民需求時，救援機構(gòu)利用社會捐贈物資和(或)應(yīng)急采購物資來滿足需求，而這也是已有文獻并沒有考慮的，尤其是關(guān)于社會捐贈對于救援物資儲備的影響。

本文考慮救援實際中需要儲備多種救援物資，通過刻畫各種災(zāi)害事件發(fā)生的概率并進一步聯(lián)系其對應(yīng)的物資需求情況，建立考慮多種潛在災(zāi)害事件的救援物資需求模型，進而研究了物資儲備的最優(yōu)決策?？紤]到救援實際中的物資儲備常常受到財政預(yù)算的限制，本文還研究了具有預(yù)算限制的多產(chǎn)品救援物資儲備決策模型及其求解算法。本文的主要貢獻在于：(1)通過引入多種可能發(fā)生的災(zāi)害事件集，刻畫了救援物資的需求模型，并在此基礎(chǔ)上建立了多產(chǎn)品救援物資的庫存決策模型；(2)在救援物資需求全部被滿足的前提下，提出了一種災(zāi)害事件發(fā)生后救援物資的二階段交付過程模型。該模型同時考慮了儲備物資和社會捐贈及應(yīng)急采購物資的交付，為刻畫救援組織機構(gòu)的期望成本奠定了良好的基礎(chǔ)；(3)提出了具有預(yù)算約束的多產(chǎn)品救援物資儲備決策模型與求解算法。

2　模型

2.1　兩階段交付過程

為了刻畫NPO的期望成本函數(shù)，本文首先描述災(zāi)害事件發(fā)生后NPO的交付過程。在對實際救援管理工作進行總結(jié)的基礎(chǔ)上，本文利用圖1對NPO交付救援物資的事件進行描述，并在此基礎(chǔ)上勾畫了一種救援物資的兩階段交付過程。

圖1　救援物資兩階段交付過程

圖1所示的兩階段交付過程的含義是，當(dāng)災(zāi)害事件發(fā)生后，NPO首先交付儲備物資；如果災(zāi)害事件引發(fā)的需求大于儲備物資數(shù)量，即Xij>Qj成立，那么第二階段的交付開始，其目的在于完全滿足剩余需求Xij-Qj。單位短缺需求需要支付懲罰成本pij，這一成本由延遲交付短缺需求引發(fā)的社會成本[16-17]。本文這里的兩階段交付過程主要是在對救援管理實際抽象的基礎(chǔ)上得到的。例如，2013年4月20日，四川雅安地震7.0級地震爆發(fā)以后，非營利組織壹基金在震后的24小時內(nèi)交付了儲備在西安、貴陽、遵義等地救災(zāi)倉儲的大量的救援物資，剩余的災(zāi)民需求也在接下來的一個月里通過綜合利用社會捐贈及應(yīng)急采購而滿足[26]。需要說明的是，圖1所示的兩階段交付本質(zhì)上是一種廣義的二階段交付，在實際中可能并不止兩次交付，本文這樣假設(shè)的目的在于區(qū)別對待儲備物資和應(yīng)急物資的交付。當(dāng)然，本文這里的兩階段交付過程也可以拓廣至n階段交付。另外，在管理實際中也有救援主導(dǎo)機構(gòu)采用儲備供應(yīng)商產(chǎn)能的措施(如協(xié)議儲備、協(xié)議企業(yè)生產(chǎn)能力儲備)來實現(xiàn)短缺救援物資的儲備，本文這里并沒有考慮這一問題，而是深入研究捐贈物資對于救援物資儲備的影響。關(guān)于協(xié)議儲備及協(xié)議企業(yè)生產(chǎn)能力儲備可以參考文獻[22]。

2.2　期望成本函數(shù)

根據(jù)圖1及上文的符號定義，可以得到NPO的期望總成本為

(1)

其中，TC表示NPO的期望總成本；Q表示救援物資的儲備數(shù)量集，即Q=(Q1,…,Qm)；E為期望值算子；符號(·)+≡max(·,0)。

式(1)右邊第一項表示的是儲備物資的采購成本，第二項表示的是交付儲備物資的成本，第三項表示的是儲備物資的殘值，第四項表示的是短缺需求的懲罰成本，第五項表示的是使用捐贈物資的處理成本與交付成本，第六項表示的是除了使用捐贈物資以外的緊急采購物資的采購與交付成本。

2.3　模型假設(shè)

對于本文模型中涉及的相關(guān)成本參數(shù)，提出如下假設(shè)條件：

(2)

式(2)中的第一個條件是表示儲備救援物資并不能獲利；第二個條件是說明現(xiàn)貨市場的單位產(chǎn)品價格大于儲備物資的單位采購成本，該條件若不滿足，NPO沒有儲備救援物資的激勵。該條件主要源自救援工作的管理實際，文獻[6]指出當(dāng)前我國救援管理工作中最大的困難在于如何“存儲價格”，物價上漲已然給救援物資儲備帶來了極大的困擾。條件pij>tij+cj表示的是交付單位儲備物資能獲取正的“收益”。這個條件的含義是單位短缺物資的懲罰成本足夠大以至于在災(zāi)害事件發(fā)生后，NPO有激勵首先交付儲備物資來滿足災(zāi)民需求，而不是讓需求短缺，然后再利用捐贈物資或應(yīng)急采購物資來滿足。最后一個條件是保證NPO有激勵首先利用捐贈物資來滿足剩余需求。另外本文假設(shè)災(zāi)民需求失去的懲罰成本為一個足夠大的正數(shù)，以此來保證NPO有激勵滿足所有的災(zāi)民需求。

3　無約束的多產(chǎn)品儲備決策

本節(jié)將討論不存在任何約束時NPO的最優(yōu)產(chǎn)品儲備決策問題。定理1對該問題的最優(yōu)解進行了描述。

(3)

證明：由于TC(Q)為關(guān)于變量組合(Q1,…,Qm)的可分離函數(shù)，因此，只需要證明TC(Q)為任意變量Qj的凸函數(shù)，即可證明TC(Q)關(guān)于(Q1,…,Qm)的聯(lián)合凸性。求解TC(Q)關(guān)于任意產(chǎn)品Qj的二階偏導(dǎo)數(shù)，可以得到

(4)

(5)

4　具有預(yù)算約束的多產(chǎn)品儲備決策

實際的救援儲備工作中常常存在預(yù)算或容量限制。例如，四川成都的中央級救災(zāi)儲備庫總占地面積為158.23畝，總的有效庫容為3.7萬立方米，擁有近萬個貨位，可儲備帳篷5.41萬頂、棉被10.83萬床、棉衣褲21.65萬套等各類救災(zāi)物資和沖鋒舟、橡皮艇、救生圈、發(fā)電機、挖掘機等各類應(yīng)急救援工具，可同時滿足緊急轉(zhuǎn)移安置人口86.6萬、救助21.65萬人所急需的救災(zāi)物資儲存、調(diào)運等緊急任務(wù)，并能保障兩架直升機同時起降。由此可以發(fā)現(xiàn)，制定該儲備倉庫的產(chǎn)品儲備決策時，就應(yīng)該考慮到倉庫容量的約束。根據(jù)文獻[30]可知，在多產(chǎn)品Newsvendor模型中，容量約束與預(yù)算約束是完全等價的。本文這里采用預(yù)算約束主要是為了避免確定單位產(chǎn)品救援物資所占用的容量比例，而對于預(yù)算約束而言，這一比例即為單位產(chǎn)品的采購價格。另外，預(yù)算限制的做法在救援實際中也是常見的，例如我國《預(yù)算法》第三十二條規(guī)定，各級政府預(yù)算應(yīng)當(dāng)按照本級預(yù)算支出額的1%—3%設(shè)置預(yù)備費，用于當(dāng)年預(yù)算執(zhí)行中的自然災(zāi)害救災(zāi)開支及其他難以預(yù)見的特殊開支[31]。

假設(shè)預(yù)算限制為B(B≥0)，由此可將NPO的儲備決策問題歸納為如下的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題：

(6)

(7)

Qj≥0,?j∈{1,…,m}

(8)

其中，式(6)表示NPO的目標(biāo)函數(shù)；式(7)表示物資儲備的預(yù)算限制；式(8)是儲備物資數(shù)量的非負(fù)性要求。需要說明的是，預(yù)算限制主要是針對物資儲備決策的，但并不針對災(zāi)害事件發(fā)生后的應(yīng)急物資購買。

根據(jù)定理1可知，問題(6)—(8)為凸規(guī)劃，因此Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件為該問題最優(yōu)解的充分必要條件。式(9)—(12)給出了問題(6)—(8)的KKT條件。

(9)

(10)

μjQj=0,?j∈{1,…,m}

(11)

Qj≥0,?j∈{1,…,m}

(12)

性質(zhì)2記λ(Qj)為Qj(λ)的反函數(shù)，則有：(1)λ(Qj)為關(guān)于Qj的減函數(shù)；(2)Qj(λ)為關(guān)于λ的減函數(shù)；(3)λ(Qj)是有界的，滿足0≤λ(Qj)≤λmax。其中，λmax由式(13)確定：

λmax=

(13)

λ(Qj)=

由于λ(Qj)為關(guān)于Qj的減函數(shù)，因此當(dāng)Qj→0時，λ(Qj)達到最大。將Qj=0代入上式可以得到λ(Qj)的上界λmax。證畢。

步驟1輸入相關(guān)參數(shù)和計算精度ε；

步驟4令λL=0，λU=λmax；

步驟5計算λ=(λL+λU)/2；

步驟6如果

(14)

ε，轉(zhuǎn)步驟7。

注意到Qj≥0，因此，若式(14)成立，則必有Qj=0成立。

圖2　算法流程

5　數(shù)值實驗

本節(jié)利用一個存在三種災(zāi)害事件的五種救援物資儲備決策的算例來驗證模型和算法的有效性?？紤]存在三種可能的災(zāi)害事件，也即e={e1,e2,e3}。各種災(zāi)害事件發(fā)生的概率分別為β1=0.7、β2=0.2和β3=0.1。假設(shè)各災(zāi)害事件發(fā)生后的需求及對應(yīng)的捐贈量均服從正態(tài)分布，參數(shù)如表1所示。

表1　需求與捐贈參數(shù)

圖3　迭代算子λ

各成本參數(shù)如表2所示，未列出的成本參數(shù)均設(shè)置為零。易知，參數(shù)設(shè)置是滿足模型假設(shè)條件式(2)的。給定預(yù)算限制B=10000，表2給出了模型的最優(yōu)解及其對應(yīng)的最優(yōu)期望成本。為了與無預(yù)算約束時的最優(yōu)解及其成本進行比較，表2同時給出了有無預(yù)算約束的計算結(jié)果。本文的求解算法是在Matlab 8.5平臺上開發(fā)的，計算精度設(shè)置為ε=0.001，方程求解使用的是Matlab庫函數(shù)fzero，計算精度達到10-14。圖3給出了本文算法迭代算子λ的收斂過程。

圖3反映出本文設(shè)計的迭代求解算法收斂速度較快，在不到10步的計算后，迭代算子λ即收斂。

表2　計算結(jié)果

由表2的結(jié)果可知，本文設(shè)計的算法能給出任意精度所對應(yīng)的模型最優(yōu)解。另外，計算還反映出，預(yù)算約束使得NPO降低產(chǎn)品的儲備量，而期望總成本因此而增大。為了進一步反映預(yù)算限制對于救援物資儲備決策的影響，圖4和5分別給出了不同預(yù)算限制對應(yīng)的最優(yōu)儲備量和期望總成本的變化趨勢。

給定B在區(qū)間[2000,18000]變化時，圖4和5表明，當(dāng)預(yù)算限制越來越緊時(B越來越小)，最優(yōu)儲備量降低、期望總成本增大。當(dāng)預(yù)算限制B由18000降至2000，期望總成本增大了4.08%，5個產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量最低降至7.49%。由此可以發(fā)現(xiàn)，預(yù)算限制對于NPO的救援物資儲備決策及其績效產(chǎn)生了顯著影響。另外，當(dāng)預(yù)算限制B較小時，最優(yōu)儲備量增長的較慢，而期望總成本則下降的較快；當(dāng)預(yù)算限制B較大時，最優(yōu)儲備量增長的較快，而期望成本則降低的相對較慢。當(dāng)預(yù)算限制較緊時，一個相對較少的預(yù)算的增加，都會給整體救援效率的提高作出較大貢獻。

圖4　最優(yōu)儲備量與B

圖5　最優(yōu)期望總成本與B

(1)當(dāng)無預(yù)算約束時，若pij增大，則最優(yōu)儲備量增大；但這一結(jié)論并不適用于存在預(yù)算限制的儲備決策。設(shè)定預(yù)算限制為B=10000時，pij增大可能會導(dǎo)致懲罰成本較低的產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量減小。當(dāng)然，無論有無預(yù)算約束，期望總成本會隨著pij的增大而增大。

表3　參數(shù)和的靈敏度分析

6　結(jié)語

本文研究了多產(chǎn)品救援物資的儲備決策問題?？紤]多個可能的災(zāi)害事件的發(fā)生概率，進而聯(lián)系各種災(zāi)害事件發(fā)生后的物資需求建立了救災(zāi)物資的組合隨機需求模型，并在此基礎(chǔ)上通過對現(xiàn)實救援物資交付的抽象提出了一種二階段救援物資的交付過程模型，并建立了基于期望總成本最小化的救援物資儲備模型，研究了模型的最優(yōu)解。進一步考慮救援物資儲備存在預(yù)算約束的限制，研究了具有預(yù)算約束限制的多產(chǎn)品救援物資儲備決策模型，并利用二分法算法的思想開發(fā)了求解模型的算法。數(shù)值算例的計算結(jié)果表明，本文開發(fā)的算法能計算任意給定精度下的模型的數(shù)值最優(yōu)解。另外，算法的迭代過程收斂速度也較快。

本文的研究結(jié)果可以服務(wù)于實際救援管理中的多產(chǎn)品救援物資儲備決策，為制定合理有效的儲備量決策提供借鑒與參考。另外，由于本文的模型是一種需求全部被滿足的多產(chǎn)品Newsvendor問題，同時也考慮了使用捐贈物資和(或)現(xiàn)貨市場購買物資的影響。因此，本文的研究結(jié)果對多產(chǎn)品Newsvendor模型及求解研究亦有貢獻。但本文并未考慮多約束條件限制的模型求解，而實際救援儲備工作中往往存在資金、倉庫容量、救援時間等多個方面的約束，如何設(shè)計求解存在多個約束條件時儲備決策模型是值得進一步開展研究的重要問題，特別是當(dāng)這些約束均為緊約束時，設(shè)計有效的求解算法是極其重要的。另外，注意到本文模型中所提出的短缺物資的懲罰成本是難以測量的，這點與文獻[16]和[17]中所提出的社會成本一樣。因此，如何收集歷史數(shù)據(jù)建立測度該成本的模型與方法也是值得進一步研究的問題。最后，本文并未考慮不同災(zāi)害事件對應(yīng)的物資需求之間的相關(guān)性，這主要是因為相關(guān)性將會導(dǎo)致聯(lián)合密度函數(shù)具有極其復(fù)雜的形式，使得期望成本函數(shù)的凸性難以保證。因此，未來的研究應(yīng)加以考慮不同災(zāi)害事件之間需求的關(guān)聯(lián)性。