重復(fù)性項目調(diào)度模型的時差分析

張立輝，鄒　鑫，黃元生，乞建勛

(1.華北電力大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，北京　102206；2.華北電力大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理系，河北 保定　071003)

1　引言

時差(Float)是CPM (Critical Path Method)網(wǎng)絡(luò)中的一個時間尺度概念，它表示在不推遲總工期條件下工序的工期或開始時間可變化的量。常見的時差類型包括總時差、自由時差和安全時差。時差分析旨在區(qū)分關(guān)鍵和非關(guān)鍵工序，其中關(guān)鍵工序必須嚴(yán)格按照計劃方案執(zhí)行，而非關(guān)鍵工序的開始時間和工期能夠在時差允許的范圍內(nèi)調(diào)整，否則將影響項目的總工期。利用時差的這一性質(zhì)，眾多學(xué)者展開了對CPM網(wǎng)絡(luò)特性的研究。例如，Elmaghraby結(jié)合時差和工序路線分析了工序的關(guān)鍵性和敏感性[1]。李星梅等依據(jù)大型網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建過程提出簡化組合模型，將多層次復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為多個單層次簡單網(wǎng)絡(luò)，并據(jù)此提出了分層網(wǎng)絡(luò)時差的計算公式[2]。乞建勛等提出了反映總時差與路長關(guān)系的總時差定理，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計了構(gòu)造等效子網(wǎng)絡(luò)的快速方法[3]。時差分析的另一個重要應(yīng)用是在工程延誤發(fā)生時，為業(yè)主和承包商的索賠提供計算依據(jù)[4]。此外，在某些求解資源均衡問題的啟發(fā)式算法中，時差也作為確定非關(guān)鍵工序調(diào)整順序的標(biāo)準(zhǔn)[5]?？偟膩碚f，CPM中的時差分析研究已相當(dāng)成熟，其在項目計劃與調(diào)度的多個領(lǐng)域均有成功的應(yīng)用。

重復(fù)性項目(Repetitive Projects)是一類特殊的項目，它的施工場所可劃分為若干獨立的單元，并且所有工序需要在多個單元上重復(fù)執(zhí)行，例如高層建筑、高速公路和管道工程等[6]。盡管CPM被認(rèn)為是最有效的項目調(diào)度工具之一[7]，但在重復(fù)性項目中卻存在諸多不足[8-9]，如不能保證工序在單元間的連續(xù)性，不能表示多種類型的優(yōu)先關(guān)系等。這也導(dǎo)致基于CPM的時差分析方法無法直接應(yīng)用于重復(fù)性項目?；诖耍糠謱W(xué)者提出了新的重復(fù)性項目調(diào)度方法，如Repetitive Scheduling Method(RSM)[10-11]，Line of Balance(LOB)[12]和Linear Scheduling Models(LSM)[13-14]等。這些方法均采用“時間-距離”的二維圖表示項目的進(jìn)展，故本文將它們統(tǒng)稱為RSM，并以縱坐標(biāo)表示時間，橫坐標(biāo)表示工程階段。為了減少間斷時間并最大化學(xué)習(xí)效應(yīng)，在利用RSM做計劃時通常要求保持工作連續(xù)性，即工序在單元間不存在間斷。

在RSM中，一個工序可能只有部分單元位于關(guān)鍵路線上，此時時差分析就需要確定每個工序非關(guān)鍵部分的時差大小。Harmelink[15]提出了效率時差(Rate Float, RF)的概念，用于衡量在不影響總工期條件下，工序非關(guān)鍵部分的工作效率能夠改變的量。但是，該研究假設(shè)任意工序非關(guān)鍵部分的工期必須相同。對于某一工序在所有單元上的子工序均為非關(guān)鍵的情形，Ammar[16]提出的時間時差(Time Float, TF)表示在不推遲總工期條件下，該工序在所有單元上的開始時間可以被整體推遲的最大量。以上研究屬于圖示分析法，計算效率不高?；贚ucko[17]提出的通過奇異函數(shù)描述工序的方法，Lucko和Orozco[18]提出了時差計算的數(shù)值化模型。但是該模型涉及到的公式較為復(fù)雜，方法步驟繁瑣，不利于實踐中的應(yīng)用推廣。此外，RF和TF要求工序在所有單元間必須連續(xù)施工。當(dāng)這一條件不被滿足時，RF和TF就無法正確估計。工序間斷是重復(fù)性項目實施中的常見情形，指在一個工序的某單元完成后出現(xiàn)停工的現(xiàn)象。在實際工程中，工序間斷常發(fā)生于極端天氣、資源供應(yīng)不足和工人罷工等事件。因此，為了合理有效地控制進(jìn)度，我們有必要在考慮工序間斷的情況下對現(xiàn)有的時差分析方法做進(jìn)一步推廣。

綜上所述，本文將研究新的RSM時差分析方法；該方法旨在確定不影響總工期條件下，一個子工序的開始時間或工期可變化的最大量。將CPM網(wǎng)絡(luò)中的時差概念引入到RSM中，本文將進(jìn)一步提出適用于重復(fù)性項目的新的時差概念體系，以及對應(yīng)時差的數(shù)值計算方法。

2　基本假設(shè)與時差分類

圖1是一個簡單RSM示例，其中粗線表示關(guān)鍵路線，陰影表示約束。關(guān)鍵路線由關(guān)鍵子工序和關(guān)鍵約束構(gòu)成。關(guān)鍵約束連接兩個不同工序的關(guān)鍵部分，所形成的連接點稱為關(guān)鍵點。本文根據(jù)非關(guān)鍵子工序與關(guān)鍵點的相對位置將非關(guān)鍵子工序分為兩類，包括位于關(guān)鍵點之后的A型子工序，以及位于關(guān)鍵點之前的B型子工序，A型子工序ai,j在RSM中的計劃開始和計劃結(jié)束時間就為其最早開始和結(jié)束時間，即Si,j=ESi,j且Fi,j=EFi,j，并且它的最早和最遲時間參數(shù)滿足:

LSi,j-ESi,j≤LFi,j-EFi,j

(1)

對于B型子工序ai,j而言, 它在RSM中的計劃開始和計劃結(jié)束時間則分別等于LSi,j和LFi,j，同時滿足:

LSi,j-ESi,j≥LFi,j-EFi,j

(2)

圖1　重復(fù)性項目的RSM表示

CPM中常見的時差類型包括總時差、自由時差和安全時差。這種時差分類方式已被計劃人員和學(xué)者廣泛接受。按照使用方式的不同，每一種時差又可細(xì)分為兩類，包括通過延長工期使用時差的延長時差，以及通過推遲(提前)開始時間消耗時差的移動時差。不同類型的時差有著相應(yīng)的應(yīng)用領(lǐng)域，如時間費(fèi)用權(quán)衡問題需要計算每個工序最優(yōu)的工期，從而在給定截止日期條件下最小化總費(fèi)用。該問題可看作是確定每個工序延長時差的最優(yōu)使用量。又如在資源均衡問題中，需要在工序工期和項目總工期不變條件下確定所有工序最優(yōu)的開始時間，即計算其移動時差的最優(yōu)使用量。在CPM中，任意非關(guān)鍵工序的延長時差必定等于其移動時差。所以CPM沒有進(jìn)一步區(qū)分時差的使用方式而僅簡單地強(qiáng)調(diào)總時差、自由時差和安全時差。但是在RSM中，由于涉及多種類型的時間約束以及距離約束，非關(guān)鍵子工序的延長時差和移動時差就有可能不一致。因此，就需要根據(jù)使用方式對時差進(jìn)行單獨計算。

將時差使用方式與經(jīng)典時差概念相結(jié)合，本文定義了如下六個新的RSM時差概念：(1)移動總時差(MTF)：不影響總工期前提下，子工序的開始時間可以被推遲或者提前的量；(2)延長總時差(PTF)：不影響總工期前提下，子工序的工期可以被延長的量；(3)自由移動時差(FMF)：不推遲緊后子工序開始和結(jié)束時間條件下，當(dāng)前子工序的開始時間可以被推遲或提前的量；(4)自由延長時差(FPF)：不推遲緊后子工序開始和結(jié)束時間條件下，當(dāng)前子工序的工期可以被延長的量；(5)安全移動時差(SMF)：不影響緊前子工序最晚開始和最晚結(jié)束時間以及總工期條件下，當(dāng)前子工序的開始時間可以被推遲或提前的量；(6)安全延長時差(SPF)：不影響緊前子工序最晚開始和最晚結(jié)束時間以及總工期條件下，當(dāng)前子工序的工期可以被延長的量。

3　總時差

3.1　時間參數(shù)計算

(3)

(4)

(5)

(6)

3.2　時差計算

3.2.1A型子工序

如圖2(a)，A型子工序ai,j使用MTF的方式是推遲開始時間，并且其開始時間可以被推遲的最大量等于min {LSi,j-ESi,j,LFi,j-EFi,j}。由式(1)可知LFi,j-LSi,j≥EFi,j-ESi,j對A型子工序恒成立，所以ai,j的MTF為:

(7)

(8)

綜上所述，A型子工序ai,j通過組合MTF和PTF的方式可使用的總時差為：

(9)

圖2　A型工序的MTF和PTF

圖3　A型工序的TF

3.2.2B型子工序

如圖4(a)，B型子工序ai,j使用MTF的方式是提前開始時間。由式(2)可知，EFi,j-ESi,j≥LFi,j-LSi,j對B型子工序恒成立，所以ai,j的開始時間可被提前的最大量就等于LFi,j-EFi,j。換句話說，B型子工序ai,j的MTF為：

(10)

(11)

B型子工序ai,j通過組合MTF和PTF的方式可使用的總時差為：

(12)

圖4　B型工序的MTF和PTF

圖5　B型工序的TF

3.2.3通用計算公式

聯(lián)合3.2.1和3.2.2節(jié)，對于任意類型的非控制子工序，ai,j它的MTF、PTF、TF，以及MTF和PTF的共用部分(SPi,j)的通用計算公式依次為：

MTFi,j=min{LSi,j-ESi,j,LFi,j-EFi,j}

TFi,j=max{LSi,j-ESi,j,LFi,j-EFi,j}

SPi,j=min{MTFi,j+PTFi,j-TFi,j,0}

4　自由時差

4.1　時間參數(shù)計算

(13)

(14)

4.2　時差計算

(15)

(16)

(17)

性質(zhì)1.對于任意的A型子工序ai,j，若j≠J，則ai,j的FMF、FPF和FF均為零。

5　安全時差

5.1　時間參數(shù)計算

(18)

(19)

5.2　時差計算

(20)

(21)

(22)

性質(zhì)2.對任意的B型子工序ai,j，若j≠1，則ai,j的SMF、SPF和SF均為零。

6　案例分析

考慮一個5km長的天然氣管道工程項目，其中每個單元的長度為1km。每個子工序的計劃工期和工序間約束關(guān)系類型見表2。該項目的RSM表示見圖6(a)，其中粗線表示關(guān)鍵路線，其長度(即總工期)等于62天。對于非關(guān)鍵子工序，它們所屬的類型、工期的上界以及最早和最遲時間參數(shù)計算結(jié)果見表3。

表1　不同類型自由時差與安全時差的通用計算公式

表2　項目工程信息

表3　非關(guān)鍵子工序的類型、最長工期和最早與最遲時間參數(shù)

圖6　初始調(diào)度方案以及子工序不同類型時差的使用

表4　不同算法下非關(guān)鍵工序的時差計算結(jié)果

非關(guān)鍵子工序使用FF和SF的圖形表示見圖46(c)和(d)，其中箭頭分別指出了非關(guān)鍵子工序在完全使用FF和SF后所處的位置。與性質(zhì)1和2描述的內(nèi)容一致，A型子工序除a1,5、a2,5和a3,5外，其余的子工序的FMF、FPF和FF均為零，如圖6(c)所示；而B型子工序除a5,1外，其余子工序的SMF、SPF和SF也都為零，如圖6(d) 所示。作為比較，已有文獻(xiàn)提出的效率時差和時間時差并不具備計算FF和SF的能力。綜上所述，本文提出的RSM時差概念是區(qū)別于效率時差和時間時差的一類新的時差概念體系。并且本文提出的時差計算方法允許工序間斷且初始工期不一致，這擴(kuò)大了時差可計算的范圍，具有更強(qiáng)的普適性。

7　結(jié)語

本文在工序可間斷條件下，根據(jù)非控制子工序使用時差的兩種方式定義了新的RSM時差概念體系，包括移動總時差(MTF)、延長總時差(PTF)、自由移動時差(FMF)、自由延長時差(FPF)、安全移動時差(SMF)和安全延長時差(SPF)。在此基礎(chǔ)上，本文提出了時間參數(shù)和時差計算的公式，為項目管理者能夠更好地進(jìn)行進(jìn)度管理提供了可能。時差分析除了擁有揭示工序關(guān)鍵性的能力外，還能輔助許多項目調(diào)度問題解決方案的設(shè)計，例如時間費(fèi)用權(quán)衡問題和資源均衡問題等。在未來的研究中，我們將利用移動總時差和延長總時差的概念建立RSM中的資源均衡模型，同時將時差應(yīng)用于工程索賠分析。