“問題解決”教學(xué)法在數(shù)值分析教學(xué)中的應(yīng)用研究

張瑞

摘? 要：《數(shù)值分析》是高等學(xué)校理工類碩士研究生的一門非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，旨在培養(yǎng)學(xué)生利用科學(xué)與工程計(jì)算這一手段來解決實(shí)際問題的能力。在全民創(chuàng)新的大環(huán)境下，當(dāng)今研究生教育改革面臨一個(gè)亟待解決的問題，那就是如何培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的高素質(zhì)工程技術(shù)人才。近幾年作者為理工類研究生開設(shè)《數(shù)值分析》課程，教學(xué)過程中開展了“問題解決”教學(xué)改革實(shí)踐，實(shí)踐證明，“問題解決”教學(xué)是教與學(xué)相互統(tǒng)一的過程，通過“問題解決”教學(xué)，可以大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力，為培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新型應(yīng)用型人才打好基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析;問題解決教學(xué);傳統(tǒng)教學(xué);教學(xué)改革與實(shí)踐

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）24-0127-03

Abstract： Numerical Analysis is a very important mathematics foundation course for graduate students of science and engineering in colleges and universities. It aims to cultivate students' ability to use scientific and engineering calculations to solve practical problems. Under the general environment of innovation for all， the reform of postgraduate education today faces an urgent problem to be solved， that is， how to cultivate high-quality engineering and technical talents with innovative spirit. In recent years， the author has opened the "Numerical Analysis" course for science and engineering graduate students. In the process of teaching， the "problem solving" teaching reform practice has been carried out. Practice has proved that the "problem solving" teaching is a process of unification of teaching and learning， through "problem solving". Teaching can greatly enhance students' interest in learning， stimulate their innovative spirit and creativity， and lay a solid foundation for cultivating high-quality innovative application-oriented talents.

Keywords： numerical analysis; problem-solving teaching; traditional teaching; teaching reform and practice

傳統(tǒng)的應(yīng)試教育已走過了幾十年，其本身的弊端也隨時(shí)代的變遷而日益凸顯，改革的呼聲此起彼伏。傳統(tǒng)的應(yīng)試教育將考試分?jǐn)?shù)看作是唯一的學(xué)習(xí)成果， 難以培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的高素質(zhì)工程技術(shù)人才。在全民創(chuàng)新的今天，改革傳統(tǒng)的應(yīng)試教育已成為歷史的必然。在這種情形下，以“問題解決”為導(dǎo)向的教學(xué)方法應(yīng)運(yùn)而生，越來越受到人們的廣泛青睞。

相比傳統(tǒng)課堂教學(xué)，“問題解決”教學(xué)的基本模式是教師設(shè)置問題情境，學(xué)生在老師的指導(dǎo)下，通過以自主、探究、合作為特征的學(xué)習(xí)方式開展學(xué)習(xí)活動。具體地說，就是在教學(xué)過程中，模擬科學(xué)研究的過程，依循“問題-解決問題-驗(yàn)證”的流程，通過課堂上以及課外活動中展開自主學(xué)習(xí)、深入探究、討論交流，對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)研究能力的訓(xùn)練。

數(shù)學(xué)是科學(xué)之母，科學(xué)技術(shù)離不開數(shù)學(xué)，它通過建立數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)產(chǎn)生緊密聯(lián)系，數(shù)學(xué)又以各種形式應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。數(shù)值分析也稱計(jì)算數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)重要分支，它研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)。隨著近年來高等研究生教育改革的全面推進(jìn)，大家圍繞如何提高教學(xué)質(zhì)量、完善課程體系、豐富教學(xué)內(nèi)容上開展了大量卓有成效的工作，特別在基礎(chǔ)課“數(shù)值分析”方面[1-16]。但是從培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的高素質(zhì)工程技術(shù)人才來看，還是有較大的差距。以數(shù)值分析教學(xué)為例，目前的現(xiàn)狀與問題是：1.教學(xué)模式是以傳統(tǒng)的教學(xué)模式為主，唯分?jǐn)?shù)論，忽視了對學(xué)生創(chuàng)新精神的開發(fā)。2.學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性不強(qiáng)，被動地參與學(xué)習(xí)，影響了學(xué)習(xí)效果。為了解決這些問題，我們對教學(xué)方法進(jìn)行了改革，以“問題解決”為導(dǎo)向，旨在探索一種以分析問題、解決問題、教與學(xué)互動的教學(xué)模式。通過探究各種經(jīng)過設(shè)計(jì)的與數(shù)值分析密切相關(guān)的研究問題，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，打好理工科研究生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

一、數(shù)值分析的“問題解決”教學(xué)法具體實(shí)施

2015-2017年連續(xù)三年，筆者分別為山東理工大學(xué)工科類研究生開設(shè)了數(shù)值分析這門課程，每年一個(gè)教學(xué)大班，約130人，授課學(xué)時(shí)48學(xué)時(shí)。教學(xué)過程中我們進(jìn)行了“問題解決”教學(xué)改革試點(diǎn)。由于是大班授課，加上授課學(xué)時(shí)少，授課內(nèi)容又多，對教學(xué)改革試點(diǎn)帶來了很大的麻煩，有一些比較好的想法沒法得到實(shí)施，只能根據(jù)實(shí)際情況加以調(diào)整，一定程度上影響了改革試點(diǎn)的效果。整體教學(xué)安排是，在開始階段，向?qū)W生簡單介紹即將開展的“問題解決”教學(xué)法的基本要求。授課過程中，根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)是課前給學(xué)生提出問題，給他們留出20-30分鐘時(shí)間去討論，前后左右的同學(xué)都可以在一起討論，因?yàn)閷W(xué)生沒有固定的座位，所以沒有安排固定的分組，然后讓幾個(gè)學(xué)生代表對討論的結(jié)果進(jìn)行闡述，有好的想法及時(shí)進(jìn)行鼓勵表揚(yáng)。有時(shí)，在每次課程結(jié)束前給學(xué)生留出下一次課的問題，讓學(xué)生在課余時(shí)間去查資料，也可以討論解決提出的問題;下一次課上課時(shí)對上一次提出的問題，隨機(jī)抽取幾人回答解決辦法，最后根據(jù)學(xué)生回答的情況，對所提出的問題，加以詳細(xì)系統(tǒng)的闡述，重點(diǎn)闡述將所研究問題的實(shí)際背景如何升華為數(shù)學(xué)問題，再如何通過引入數(shù)學(xué)概念，建立數(shù)學(xué)理論與方法，又反過來指導(dǎo)實(shí)際問題的解決。

開展“問題解決”教學(xué)方法改革的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是設(shè)計(jì)和選擇各類數(shù)值計(jì)算方法的“問題”，設(shè)置各種各樣的問題情境，由于課時(shí)的限制，對數(shù)值分析這門課，僅限于介紹科學(xué)與工程計(jì)算中最常用的基本數(shù)值計(jì)算方法，包括插值與逼近、線性方程組與非線性方程求根、數(shù)值積分與常微分方程數(shù)值解法等，問題的提出，就是基于這幾方面展開。

第一組問題：插值與逼近的方法。研究問題：1. 多項(xiàng)式插值的存在性與唯一性的問題;2. 拉格朗日插值方法以及余項(xiàng)問題;3. 根據(jù)拉格朗日插值的優(yōu)點(diǎn)及缺陷，提出如何改進(jìn)缺陷的問題，這就產(chǎn)生了牛頓插值;4. 根據(jù)龍格現(xiàn)象，提出低階插值問題;5. 對于工程上對導(dǎo)數(shù)的更高要求，提出了艾爾米特插值和樣條理論;6. 基于插值理論在某些應(yīng)用方面的不足，提出了數(shù)據(jù)擬合的問題，相應(yīng)產(chǎn)生最有代表性算法：最小二乘法;7. 最小二乘法是解決離散數(shù)據(jù)的擬合問題，但對于連續(xù)函數(shù)，它并不適應(yīng)，由此提出函數(shù)的最佳平方逼近問題。

第二組問題：線性方程組的數(shù)值解法及非線性方程根的數(shù)值解法。研究問題：1.根據(jù)學(xué)生在本科階段學(xué)到的線性方程組的消元法，提出了數(shù)值求解線性方程組的高斯消元法和主元素消元法;2.根據(jù)矩陣分解理論，提出三角分解法、平方根方法;3.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，提出迭代法的思想，并進(jìn)一步提出雅克比迭代、高斯-賽德爾迭代、松弛法迭代;4.根據(jù)學(xué)生在本科數(shù)學(xué)課上學(xué)到的根的存在定理，提出數(shù)值求解方法：包括迭代法、牛頓法等。

第三組問題：數(shù)值積分與常微分方程數(shù)值解法。研究問題：1. 對于學(xué)生在本科階段學(xué)到的積分學(xué)存在的實(shí)際問題：函數(shù)雖然可積，但原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示，所以也就無法計(jì)算積分，根據(jù)這一實(shí)際問題，提出數(shù)值解法的問題，結(jié)合插值理論，自然地引入牛頓-柯特斯求積公式、復(fù)化求積公式、龍貝格求積公式;2. 依據(jù)正交多項(xiàng)式理論，提出高斯求積公式;3. 對常微分方程，依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，提出數(shù)值求解方法：歐拉方法，改進(jìn)的歐拉方法;4. 利用泰勒公式，提出龍格-庫塔方法。

我們在上述題目設(shè)計(jì)中，盡量考慮研一學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，結(jié)合本科階段所學(xué)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，比如線性代數(shù)中的線性方程組的解法、高等數(shù)學(xué)中的零點(diǎn)定理、中值定理、積分學(xué)中的牛頓萊布尼茲定理等。對于理論問題的推證方面，盡量用他們學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，這樣學(xué)生在接受方面就不會很吃力，既復(fù)習(xí)了在本科階段學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，又鍛煉了他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理的能力，提高了他們對這門課的學(xué)習(xí)興趣。

二、“問題解決”教學(xué)實(shí)踐對學(xué)生產(chǎn)生的影響

“問題解決”教學(xué)方法產(chǎn)生了什么效果？給學(xué)生帶來了哪些變化？通過學(xué)生反饋、問卷調(diào)研以及學(xué)生的考試成績等幾個(gè)方面，總結(jié)有以下幾點(diǎn)：

（一）加深了學(xué)生對所學(xué)知識的理解，提高了學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力

“問題解決”教學(xué)十分注重學(xué)生的主體性、主動性、自主性的發(fā)揮，注重引導(dǎo)學(xué)生通過問題的分析、推導(dǎo)，運(yùn)用概念與理論較好地解決實(shí)際問題，在這個(gè)過程中學(xué)生要學(xué)會收集各方面的資料和信息，學(xué)會對已有的資料做多方面的分析，可促使學(xué)生的思維不斷深化，并在力圖對一個(gè)問題尋找多種解決方案的過程中培養(yǎng)和形成創(chuàng)造性思維。

（二）“問題解決”教學(xué)有利于促使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)

學(xué)會學(xué)習(xí)是創(chuàng)新型社會對人們能力的基本要求。在“問題解決”教學(xué)中教師通過有意識的引導(dǎo)，讓學(xué)生自己去查資料，通過個(gè)體或群體合作的方式做出分析和判斷，積極尋求答案，這樣經(jīng)過反復(fù)多次的積淀后，就會獲得自主學(xué)習(xí)的方法，使學(xué)會學(xué)習(xí)成為現(xiàn)實(shí)。

（三）“問題解決”教學(xué)有利于促使學(xué)生學(xué)會溝通與合作

教學(xué)過程中，通常要經(jīng)過小組、大組合作的思維撞擊，在合作中互相溝通，在溝通中增進(jìn)合作，在這個(gè)過程中教會學(xué)生相互溝通、尊重他人、關(guān)心他人，同時(shí)也增強(qiáng)了說服別人以及聆聽他人的能力。

（四）在教學(xué)改革試點(diǎn)中，基于網(wǎng)絡(luò)的自主學(xué)習(xí)成為學(xué)生們的一種很重要的學(xué)習(xí)方式

近年來網(wǎng)絡(luò)的迅猛發(fā)展，為教與學(xué)方式的變革創(chuàng)造了條件，學(xué)生們通過網(wǎng)絡(luò)可以進(jìn)行信息搜索與處理。我們因勢利導(dǎo)，將網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)與資料查詢作為“問題解決”教學(xué)改革的必要手段，學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)了解所研究問題的應(yīng)用背景，知道如何將其升華為數(shù)學(xué)問題，通過引入數(shù)學(xué)概念，建立數(shù)學(xué)理論與方法，又反過來指導(dǎo)實(shí)際問題的解決。

三、“問題解決”教學(xué)法在研究生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)實(shí)踐的幾點(diǎn)思考

通過近三年的“問題解決”教學(xué)法改革實(shí)踐，我們對數(shù)值分析這門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)改革有了一定的認(rèn)識，也引起了我們更深入的理性思考。原來改革的初衷在于啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，希望學(xué)生從聽課、做習(xí)題、復(fù)習(xí)考試這一典型學(xué)習(xí)流程，過渡到學(xué)生參入到教與學(xué)的進(jìn)程，通過學(xué)生與老師一起對數(shù)值分析這門課各種問題的解決，深化學(xué)生對所學(xué)知識的理解，激發(fā)他們學(xué)習(xí)這門課的積極性，打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為將來做科學(xué)研究做好必要的數(shù)學(xué)知識儲備。三年的教學(xué)實(shí)踐，讓我們感覺有必要從教與學(xué)的角度重新審視這一過程。

（一）“教”與“學(xué)”有了一些明顯的變化

以往老師在教學(xué)過程中，特別是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課的教學(xué)過程中，往往只重視“教”這一環(huán)節(jié)，而忽視了“學(xué)”這一環(huán)節(jié)，將“學(xué)”這一環(huán)節(jié)就簡單的理解成學(xué)生聽課、做作業(yè)、復(fù)習(xí)、考試，當(dāng)然這與課時(shí)少、教學(xué)內(nèi)容多也有一定關(guān)系，但不是根本的問題，根本的問題在于大家已“習(xí)慣”了這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式，在這種教學(xué)模式下，學(xué)生不能積極主動的參入到“教學(xué)”這一環(huán)節(jié)中來，只是被動的接受知識，很多人會感覺數(shù)學(xué)枯燥乏味，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒有什么用處，也就不能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

通過幾年的“問題解決”教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生在“學(xué)”這一環(huán)節(jié)上有了一些新的變化，他們由開始的傳統(tǒng)學(xué)習(xí)習(xí)慣，慢慢學(xué)會了基于“問題”自主進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)會了思考和數(shù)學(xué)推理，學(xué)會了同學(xué)之間的溝通與合作，知道了合作的重要性，也加深了對所學(xué)內(nèi)容的理解，比如說插值理論，有其實(shí)際應(yīng)用背景，如何解決實(shí)際問題，提出了各種各樣的解決方法：拉爾朗日插值、牛頓插值、低階插值、艾爾米特插值、三次樣條等等，但每一種解決方法都不是萬能的，都有其一定的優(yōu)勢和局限性，如何熟練的運(yùn)用這些方法解決實(shí)際問題，就要具體問題具體分析，作出合理的決策。

當(dāng)然，“問題解決”教學(xué)法成倍的增加了教師的工作量，需要教師具有奉獻(xiàn)精神，熱愛教學(xué)、舍得投入精力研究教學(xué)。課堂教學(xué)質(zhì)量的好壞是“問題解決”教學(xué)法是否成功的關(guān)鍵，教師要重視課堂教學(xué)的啟發(fā)式教學(xué)方式，通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識分析和解決問題，在習(xí)題課討論中，精選一些綜合的題目，讓學(xué)生充分討論，做到舉一反三的目的。

（二）提高了學(xué)生的綜合素質(zhì)

“問題解決”教學(xué)法激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動力，當(dāng)學(xué)生們?yōu)橐粋€(gè)研究問題所吸引或所困擾的時(shí)候，就會多方尋覓解決問題的辦法，學(xué)生投入的學(xué)習(xí)時(shí)間成倍于以往的課后做習(xí)題的時(shí)間，正是這種全身心的學(xué)習(xí)投入，研讀思辨，用研究探尋的科學(xué)態(tài)度來學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生最終抓住解決問題之道。在這一“問題解決”教學(xué)法的過程之中，學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)自主學(xué)習(xí)，提高了學(xué)習(xí)興趣，拓展了學(xué)生視野，學(xué)生們在思與辨的過程中深化了研究內(nèi)容。這種基于問題的學(xué)習(xí)已經(jīng)超越了以往學(xué)生課外“自學(xué)”的內(nèi)涵，教學(xué)與素質(zhì)培養(yǎng)實(shí)現(xiàn)了該課程范圍內(nèi)一種無聲的統(tǒng)一。

（三）遇到的問題與不足

雖然課程的教學(xué)改革取得了一定的成功，但也遇到了一些新問題與困難。從幾年的實(shí)踐來看，有以下幾個(gè)問題需要加以解決。1. 沒有比較合適的教材，開始我們選用清華大學(xué)李慶陽等編著的《數(shù)值分析》，該教材理論性偏強(qiáng)，課后練習(xí)基本以證明為主，學(xué)生學(xué)習(xí)難度頗大，不太適合工科類研究生，后來又選用了北京理工大學(xué)丁麗娟等編著的《數(shù)值計(jì)算方法》，該教材難易程度上比較適合作為工科類研究生教材。上述兩種教材都缺少實(shí)際應(yīng)用背景，僅僅介紹了相應(yīng)的理論與方法，這可能是數(shù)學(xué)教材普遍存在的問題;2. 學(xué)時(shí)太少，教授內(nèi)容又偏多，既要把內(nèi)容講授完，還要在課堂上充分調(diào)動學(xué)生的主動學(xué)習(xí)熱情，一定程度上限制了教師與學(xué)生互動的發(fā)揮;3. 課上討論或課后討論上，部分學(xué)生不積極參與，敷衍了事，沒有行之有效的辦法去約束他們;4. 考試方面，還是傳統(tǒng)的考試方式，對于學(xué)生自主學(xué)習(xí)與討論的效果沒有考慮進(jìn)去，因?yàn)檫@方面確實(shí)不好量化，學(xué)校也沒有相應(yīng)的政策;5. 采用大班上課，一個(gè)班130余人，分組討論十分不便，也不是每一個(gè)小組都能發(fā)表意見，由于時(shí)間的限制，僅有個(gè)別小組的代表發(fā)言，這在調(diào)動大家的積極性方面受到一定影響;6. 我校教師教學(xué)與科研壓力較大，投入到教學(xué)改革方面的時(shí)間相對偏少，一定程度上會影響到教學(xué)質(zhì)量。

以上是我們從近幾年對研一理工類研究生開設(shè)《數(shù)值分析》的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)心得。將“問題解決”教學(xué)方法應(yīng)用于研究生的數(shù)值分析課中，有成功的經(jīng)驗(yàn)，也有待進(jìn)一步提高之處，需要進(jìn)一步總結(jié)。下一步還要進(jìn)一步完善、豐富問題庫，這是一個(gè)更重要的、更基礎(chǔ)性的工作，也是“問題解決”教學(xué)成敗的關(guān)鍵。

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