基于下側(cè)H-平均距離的風(fēng)險(xiǎn)度量

黃薏舟

（新疆財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，烏魯木齊 830012）

0 引言

近幾十年來(lái)學(xué)者們對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)及其度量的研究逐步展開(kāi)。Markowitz（1951）[1]提出了用方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量的思想，但是該度量方法提出不久就受到許多質(zhì)疑，為此他又提出了用半方差度量風(fēng)險(xiǎn)的思想。Konno和Yamazaki[2]則提出可以用投資收益的絕對(duì)離差度量風(fēng)險(xiǎn)的想法，并在此基礎(chǔ)上建立了他的投資組合模型。Yamazaki[3]則將Gini系數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)度量，并建立了均值-Gini模型。自Roy[4]提出用收益小于某個(gè)參照值的概率度量風(fēng)險(xiǎn)的想法后，對(duì)下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)度量的討論漸漸多了起來(lái)。Bawa[5]提出了用下偏矩度量風(fēng)險(xiǎn)的想法，F(xiàn)ishburn[6]則提出了(α，t)作為風(fēng)險(xiǎn)度量的思想。以外，被提出的風(fēng)險(xiǎn)度量方法還有損失期望值、絕對(duì)半離差、β系數(shù)、在值風(fēng)險(xiǎn)、ES(Expected shortfall)、WCE等。

除了對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量方法的研究外，風(fēng)險(xiǎn)度量方法與隨機(jī)占優(yōu)的一致性也是學(xué)者們的一個(gè)重要的研究?jī)?nèi)容。Porter[7]就證明了用關(guān)于某固定目標(biāo)收益的半方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量時(shí)，所導(dǎo)出的均值-風(fēng)險(xiǎn)模型與隨機(jī)占優(yōu)是一致的。Yit?zhaki[3]證明了用Gini系數(shù)度量風(fēng)險(xiǎn)時(shí)均值-風(fēng)險(xiǎn)模型與二級(jí)隨機(jī)占優(yōu)是一致的。Ogryczak和Ruszczynski[8]證明了半標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險(xiǎn)度量時(shí)均值-風(fēng)險(xiǎn)模型與二階隨機(jī)占優(yōu)是一致的，同樣的結(jié)論適用于絕對(duì)半偏差。Gotoh和Konno[9]將結(jié)果推廣到了三階隨機(jī)占優(yōu)。Ogryczak和Ruszczynski[10]將上述結(jié)論進(jìn)一步的推廣，證明了若以低于均值的k階中心半偏差作為風(fēng)險(xiǎn)度量，則均值-風(fēng)險(xiǎn)模型與二階隨機(jī)占優(yōu)是一致的。

本文提出了一種新的風(fēng)險(xiǎn)度量方法并討論了該方法的性質(zhì)。研究發(fā)現(xiàn)，該風(fēng)險(xiǎn)度量方法不僅涵蓋了一些常用的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，而且與一級(jí)、二級(jí)隨機(jī)占優(yōu)是一致的。因此，該風(fēng)險(xiǎn)度量方法具有一定的研究?jī)r(jià)值。

1 基于下側(cè)H-平均距離的風(fēng)險(xiǎn)度量

設(shè)X表示某種投資的隨機(jī)收益，Markowitz給出的風(fēng)險(xiǎn)度量為：

Yamazaki[3]提出了用Gini系數(shù)度量風(fēng)險(xiǎn)的思想，并討論了均值-Gini系數(shù)分析方法與二級(jí)隨機(jī)占優(yōu)的一致性問(wèn)題。設(shè)X表示投資的隨機(jī)收益，Gini系數(shù)被定義為：

其中，Y是與X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

從數(shù)學(xué)上看，方差度量的是隨機(jī)變量偏離其均值的程度，而Gini系數(shù)實(shí)際上就是隨機(jī)變量X到自身的距離。似乎方差和Gini系數(shù)沒(méi)有什么聯(lián)系，但給出方差的另一個(gè)定義，就會(huì)發(fā)現(xiàn)他們之間的聯(lián)系。方差還可以被定義為：

其中，Y是與X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)?？梢宰C明：方差和Gini系數(shù)都滿足非負(fù)性、對(duì)稱性和三角不等式，都可以用來(lái)描述隨機(jī)變量到自身的距離。

下面給出包含上述兩種距離的更為一般的H-平均距離的概念。

定義1：設(shè)X是與Y獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，H(x)為非負(fù)的凸函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)H(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)H(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，且滿足H(0)=0。稱E(H(X-Y))為隨機(jī)變量X到自身的H-平均距離。

可以證明：H-平均距離滿足非負(fù)性、對(duì)稱性和三角不等式三條公理。若F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則隨機(jī)變量X到自身的H-平均距離為：

特別地，當(dāng)H(x)=|x|時(shí)，H-平均距離即為Gini系數(shù)，當(dāng)時(shí)，H-平均距離即為方差?？梢?jiàn)，H-平均距離是上述兩種隨機(jī)變量到自身距離的推廣。

方差與Gini系數(shù)都可以用來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，同樣，H-平均距離也可以用來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)。為此，構(gòu)造如下形式的風(fēng)險(xiǎn)度量：

式（4）定義的風(fēng)險(xiǎn)度量雖然包括諸如方差、Gini系數(shù)等風(fēng)險(xiǎn)度量方法，但它也存在不足之處。一是方差就包含在該風(fēng)險(xiǎn)度量方法里，而均值-方差分析方法與二級(jí)隨機(jī)占優(yōu)是不一致的，說(shuō)明直接用于ρ1(X)=E(H(X-Y))度量風(fēng)險(xiǎn)與隨機(jī)占優(yōu)之間存在不一致性。二是該風(fēng)險(xiǎn)度量不屬于下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)范疇。根據(jù)Koszegi等[11]的思想構(gòu)造X的風(fēng)險(xiǎn)度量：

其中H(x)為一定義在R+上的單調(diào)遞增的非負(fù)凸函數(shù)且滿足H(0)=0，Y是與X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，(X-Y)+=max(X-Y，0)。

若F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，Y為與X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，X的概率密度函數(shù)為f(x)，則X的風(fēng)險(xiǎn)度量為：

注意此風(fēng)險(xiǎn)度量與Gini系數(shù)不同。Gini系數(shù)是隨機(jī)變量X與自身的距離，而該值是隨機(jī)變量X與自身的下側(cè)距離，它明顯要比Gini系數(shù)小，稱之為下側(cè)Gini系數(shù)。

一般來(lái)講，此風(fēng)險(xiǎn)度量與方差也不同，它要比方差來(lái)的小。不妨稱之為下側(cè)方差。

2 風(fēng)險(xiǎn)度量的性質(zhì)

要討論風(fēng)險(xiǎn)度量的性質(zhì)，不得不說(shuō)風(fēng)險(xiǎn)度量所滿足的公理。1999年，Artzner[12]等首次提出風(fēng)險(xiǎn)度量所滿足的四條公理，即平移不變性、正齊次性、次可加性、單調(diào)性公理。

公理1（平移不變性公理）：對(duì)于任意實(shí)數(shù)C，風(fēng)險(xiǎn)度量ρ(X)滿足ρ(X+C)=ρ(X)-C。

公理2（正齊次性公理）：對(duì)于任意正數(shù)λ，ρ(X)滿足ρ(λX)=λρ(X)。

公理3（次可加性公理）：對(duì)于任意隨機(jī)收益X，Y，ρ(X)滿足ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)。

公理4（單調(diào)性公理）：對(duì)于任意隨機(jī)收益X，Y，如果它們滿足X≤Y，則ρ(X)≥ρ(Y)。

Pflug[13]認(rèn)為一致性風(fēng)險(xiǎn)度量公理的前三條具有一定的合理性，但單調(diào)性公理需要進(jìn)行修改。他將單調(diào)性公理改為了協(xié)調(diào)性公理，定義如下：

定義2：假如風(fēng)險(xiǎn)X二級(jí)隨機(jī)占優(yōu)于Y，即X?SSDY，則有ρ(X)≤ρ(Y)，則稱風(fēng)險(xiǎn)度量ρ(X)是協(xié)調(diào)的。

Giorgi[14]在對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量公理進(jìn)行研究后，給出了凸風(fēng)險(xiǎn)度量的概念。

定義3：如果風(fēng)險(xiǎn)度量ρ(X)滿足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，有ρ(λX+(1-λ)Y)≤λρ(X)+(1-λ)ρ(Y)，稱風(fēng)險(xiǎn)度量ρ(X)為凸風(fēng)險(xiǎn)度量。

那么，所構(gòu)造的風(fēng)險(xiǎn)度量ρ(X)=E(H(X-Y)+)具有哪些性質(zhì)呢？在討論之前，先介紹值函數(shù)的概念，將值函數(shù)定義為它的數(shù)學(xué)期望減去它的風(fēng)險(xiǎn)，即：

設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，X的值函數(shù)可以表示為如下積分：

性質(zhì)1：設(shè)H(x)可導(dǎo)且滿足0≤H′(x)≤1，若X?FSD Y，則V(X)≥V(Y)。

證明：設(shè)X與Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)與G(x)分布為X與Y的分布函數(shù)。若X?FSDY，為證明V(X)≥V(Y)，構(gòu)造函數(shù)，則u(x)的導(dǎo)數(shù)為：

因 為H′(x)≤1,故 有dy≤1，所以u(píng)′(x)≥0 ，即u(x)是單調(diào)遞增的。根據(jù)Ha?dar-russel定理，若X?FSDY，則有Eu(X)≥Eu(Y)，即V(Y)。通過(guò)分部積分得到：

所以有：

因?yàn)閄?FSDY，所以F(x)-G(x)≤0 ，故有(x-y)(F(y)-G(y))dy≥0，假如存在x使得H′(x)＞0，則0 ，即：

推論1：設(shè)H(x)可導(dǎo)且滿足0≤H′(x)≤1，若X?FSD Y，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ(0≤λ≤1)，E(X)-λρ(X)≥E(Y)-λρ(Y)

證明：若X?FSDY，E(X)≥E(Y)。由性質(zhì)1，E(X)-ρ(X)≥E(Y)-ρ(Y)。從而有：(1-λ)E(X)≥(1-λ)E(Y)且λE(X)-λρ(X)≥λE(Y)-λρ(Y)，相加得到：E(X)-λρ(X)≥E(Y)-λρ(Y)

稱λ為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)，稱E(X)-λρ(X)為決策函數(shù)。說(shuō)明只要風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)在0到1之間，決策函數(shù)與一級(jí)隨機(jī)占優(yōu)是一致的。

性質(zhì)2：設(shè)H(x)二階可導(dǎo)且滿足 0≤H″(x)≤1，若X?SSDY，則V(X)≥V(Y)。

證明：設(shè)X與Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)與G(x)分布為X與Y的分布函數(shù)。若X?SSDY，為證明V(X)≥V(Y)，構(gòu)造函數(shù)，則u(x)的二階導(dǎo)數(shù)為：

因?yàn)镠″(x)≥0,H′(0)≥0 ，所以u(píng)″(x)≤0 。說(shuō)明u(x)是單調(diào)遞增且凹的。若X?SSDY，根據(jù)Hadar-russel定 理 有，下 面 證 明，由于：

推論2：設(shè)H(x)二階可導(dǎo)且滿足 0≤H″(x)≤1，若X?SSDY，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ(0≤λ≤1)，E(X)-λρ(X)≥E(Y)-λρ(Y)

證明：若X?SSDY，E(X)≥E(Y)。由性質(zhì)2，E(X)-ρ(X)≥E(Y)-ρ(Y)。從而有：(1-λ)E(X)≥(1-λ)E(Y)且λE(X)-λρ(X)≥λE(Y)-λρ(Y)，相加得到：E(X)-λρ(X)≥E(Y)-λρ(Y)。

說(shuō)明只要風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)在0到1之間，根據(jù)決策函數(shù)所做的決策與二級(jí)隨機(jī)占優(yōu)也是一致的。

性質(zhì)3：風(fēng)險(xiǎn)度量ρ(X)=E(H(X-Y)+)為凸風(fēng)險(xiǎn)度量。

證明：因?yàn)棣?λX+(1-λ)Y)=E(H(λX+(1-λ)Y-λX′-(1-λ)Y′)+)，其中，X′是與X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，Y′是與Y獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。由于(λX+(1-λ)Y-λ X′-(1-λ)Y′)+≤λ(X-X′)++(1-λ)(Y-Y′)+，而H(x)為一定義在R+上的單調(diào)遞增的凸函數(shù)，故有：ρ(λX+(1-λ)Y)=E(H(λX+(1-λ)Y-λX′+(1-λ)Y′)+) ≤E[H(λ(X-X′)++(1-λ)(Y-Y′)+)]≤E[(λH(XX′)++(1-λ)H(Y-Y′)+]=λEH(X-X′)++(1-λ)EH(Y-Y′)+=λρ(X)+(1-λ)ρ(Y)

所以，ρ(X)=E(H(R-X)+)為凸風(fēng)險(xiǎn)度量。

綜上所述，建立在風(fēng)險(xiǎn)度量方法ρ(X)=E(H(X-Y)+)上的值函數(shù)V(X)，當(dāng)凸函數(shù)滿足一定條件時(shí)不僅與一級(jí)隨機(jī)占優(yōu)是一致的，還和二級(jí)隨機(jī)占優(yōu)是一致的，這樣根據(jù)值函數(shù)V(X)所做的決策與期望效用理論也是一致的。

3 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)Markowitz提出的方差以及Yamazaki提出的Gini系數(shù)的研究發(fā)現(xiàn)，這兩種風(fēng)險(xiǎn)度量方法從本質(zhì)上其實(shí)是隨機(jī)變量到自身的距離，只不過(guò)距離的定義有所不同罷了。既然隨機(jī)變量到自身的距離可以作為投資的風(fēng)險(xiǎn)度量，具有廣泛性的H-平均距離也可以作為投資的風(fēng)險(xiǎn)度量。所以本文首先定義隨機(jī)變量的風(fēng)險(xiǎn)度量為H-平均距離，但這樣給出的風(fēng)險(xiǎn)度量與隨機(jī)占優(yōu)之間一般來(lái)講是不一致的，而且也不屬于下側(cè)風(fēng)險(xiǎn)范疇?；谏鲜鰞牲c(diǎn)原因，本文將風(fēng)險(xiǎn)度量定義為隨機(jī)變量到自身的下側(cè)H-平均距離。下側(cè)H-平均距離作為風(fēng)險(xiǎn)度量較之H-平均距離作為風(fēng)險(xiǎn)度量有很多優(yōu)良特性。首先，下側(cè)H-平均距離作為風(fēng)險(xiǎn)度量是凸風(fēng)險(xiǎn)度量，但H-平均距離作為風(fēng)險(xiǎn)度量則不是，因?yàn)榉讲罹筒皇峭癸L(fēng)險(xiǎn)度量。基于凸風(fēng)險(xiǎn)度量在組合投資中的重要意義，所以，將風(fēng)險(xiǎn)度量修正為隨機(jī)變量到自身的下側(cè)H-平均距離是必須的。其次，H-平均距離作為風(fēng)險(xiǎn)度量一般與隨機(jī)占優(yōu)是不一致的，這點(diǎn)從方差上就可以看出。而下側(cè)H-平均距離作為風(fēng)險(xiǎn)度量就不同了，研究發(fā)現(xiàn)建立在該風(fēng)險(xiǎn)度量方法上的值函數(shù)當(dāng)滿足某些條件時(shí)，不僅與一級(jí)隨機(jī)占優(yōu)是一致的，還和二級(jí)隨機(jī)占優(yōu)是一致的，這樣根據(jù)值函數(shù)所做的決策與根據(jù)期望效用理論所做的決策也是一致的。鑒于以上兩點(diǎn)，基于下側(cè)H-平均距離的風(fēng)險(xiǎn)度量具有一定的研究?jī)r(jià)值和實(shí)際意義。