“問題化”：數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的實(shí)踐路徑

孟 夢，李鐵安

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“問題化”：數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的實(shí)踐路徑

孟 夢，李鐵安

（中國教育科學(xué)研究院，北京 100088）

充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史教育功能的基本理路是將數(shù)學(xué)的“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”．將數(shù)學(xué)史料“問題化”則是把數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的有效路徑．?dāng)?shù)學(xué)史料“問題化”是指通過深入挖掘蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)史料背后的數(shù)學(xué)知識與育人要素，并將其轉(zhuǎn)化為有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一系列問題．“問題化”是數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”向“教育形態(tài)”轉(zhuǎn)化的方法論創(chuàng)新，是數(shù)學(xué)文化價值向育人價值轉(zhuǎn)化的內(nèi)在價值突破，并能促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)在規(guī)律的良性實(shí)現(xiàn)．史料選擇、問題設(shè)置、教學(xué)設(shè)計則是數(shù)學(xué)史料“問題化”的實(shí)踐策略．

數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)；問題化；價值；策略

歷史是最好的啟發(fā)式之一．“把數(shù)學(xué)的‘史學(xué)形態(tài)’轉(zhuǎn)化為‘教育形態(tài)’”[1]是充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史教育功能的基本理路．而將數(shù)學(xué)史“問題化”則是把數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的一個更為行之有效的實(shí)踐路徑．

1 “史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的基本理路

“數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系．”[2]顯見，數(shù)學(xué)史的對象是數(shù)學(xué)發(fā)展的客觀規(guī)律，數(shù)學(xué)史中那些原始的、客觀的數(shù)學(xué)史料即是數(shù)學(xué)的“史學(xué)形態(tài)”．另一方面，數(shù)學(xué)史中必然蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)思想的來歷、數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用、數(shù)學(xué)定理和公式的審美內(nèi)涵、數(shù)學(xué)家的思維方法和科學(xué)與人文精神等元素，這些元素對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說更富有教育意義，這應(yīng)是數(shù)學(xué)的“教育形態(tài)”．

數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”向“教育形態(tài)”轉(zhuǎn)化的根本目的在于發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育功能，更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)．以往數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的方法多以“運(yùn)用”為主，“問題化”的觀點(diǎn)更強(qiáng)調(diào)“轉(zhuǎn)化”的思想與功能．從最初運(yùn)用數(shù)學(xué)史“使得該學(xué)科更具有吸引力”[3]，讓教師和學(xué)生認(rèn)識到：數(shù)學(xué)并不是一門枯燥呆板的學(xué)科，而是一門不斷進(jìn)步、生動有趣的科學(xué)，到基于歷史發(fā)生原理，通過歷史啟發(fā)法使得數(shù)學(xué)教學(xué)以史為鑒、更加精準(zhǔn)，數(shù)學(xué)史服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷了由表及里、循序漸進(jìn)的運(yùn)用過程．而“轉(zhuǎn)化”比“運(yùn)用”更加注重如何深入地去挖掘與認(rèn)識相關(guān)內(nèi)容的共同特征，并能在教學(xué)中很好地滲透并落實(shí)．因此，將數(shù)學(xué)的“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”更好地抓住了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的契合點(diǎn)，可以更切實(shí)地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的深度、有效融合，從而更能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價值．

2 數(shù)學(xué)史“問題化”的意蘊(yùn)與價值

所謂數(shù)學(xué)史“問題化”，即數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的過程，是深入挖掘（構(gòu)造）蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)史料背后的數(shù)學(xué)知識與育人要素，并將其轉(zhuǎn)化為能夠直接指向并促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一系列問題的過程．毫無疑問，數(shù)學(xué)史富含學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容．“問題化”以問題為載體潛移默化地滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)之中，就建構(gòu)了基于“問題解決”的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐．?dāng)?shù)學(xué)史“問題化”的過程是將數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的方法論創(chuàng)新；真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的“文化價值”轉(zhuǎn)向“育人價值”的內(nèi)在價值突破；與此同時，也能夠充分地體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)在規(guī)律的良性實(shí)現(xiàn)．

2.1 問題化：數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”向“教學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化的方法論創(chuàng)新

數(shù)學(xué)教學(xué)是以“問題解決”為導(dǎo)向的師生教與學(xué)有機(jī)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程．其中，所需解決的數(shù)學(xué)問題既是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)的具體表征．?dāng)?shù)學(xué)史“問題化”抓住了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之間的共同表征——數(shù)學(xué)問題，以數(shù)學(xué)問題為線索，搭建起數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”與“教育形態(tài)”間轉(zhuǎn)化的橋梁，為數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)提供了新的思路與方法．

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會依據(jù)具體的教學(xué)目標(biāo)，將教學(xué)內(nèi)容邏輯地拆分為若干有助于“問題解決”的問題單元，并針對每個問題單元設(shè)計教學(xué)任務(wù)（如創(chuàng)設(shè)問題解決之情境、設(shè)計問題解決之策略等），形成“具體問題單元具體分析與解決”的各個教學(xué)環(huán)節(jié)．而依據(jù)數(shù)學(xué)史“問題化”的定義，數(shù)學(xué)史中那些原始的、客觀的數(shù)學(xué)史料將被轉(zhuǎn)化為若干與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相關(guān)的“教育形態(tài)”，并以數(shù)學(xué)問題的表征呈現(xiàn)．這些數(shù)學(xué)問題的具體表征便為數(shù)學(xué)教學(xué)中問題單元的設(shè)置提供參考．

由此可見，數(shù)學(xué)問題將“問題化”與數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)緊密地關(guān)聯(lián)起來．一方面，使得數(shù)學(xué)史滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)之中．另一方面，更重要的是，構(gòu)建了數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”向“教育形態(tài)”轉(zhuǎn)化的方法論，為數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”向“教育形態(tài)”的轉(zhuǎn)化提供了新的實(shí)踐路徑．

2.2 問題化：數(shù)學(xué)文化價值向育人價值轉(zhuǎn)變的內(nèi)在價值突破

數(shù)學(xué)富含文化價值，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的知識體系和思想精神能使人具有追求真善美的自覺自主之情懷、誠實(shí)正直之品性、堅韌勇敢之精神，能使人理解和掌握科學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的基本原理、認(rèn)識方法、實(shí)踐方法和獨(dú)立思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度[4]．而作為一種寶貴的課程資源，數(shù)學(xué)的育人價值即是通過數(shù)學(xué)的知識體系與思想精神培養(yǎng)人的文化素養(yǎng)、理性思維、實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力．而將數(shù)學(xué)博大精深的文化價值轉(zhuǎn)變?yōu)橛兄跀?shù)學(xué)教育的育人價值是充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史教育功能的重要思路．

作為數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的方法論，“問題化”是數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)史育人價值的具體表征．通過數(shù)學(xué)史“問題化”，將數(shù)學(xué)史的文化資源轉(zhuǎn)變?yōu)榕嘤龑W(xué)生全面發(fā)展的育人資源，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史內(nèi)在價值的轉(zhuǎn)變與突破，有助于數(shù)學(xué)史教育功能的充分發(fā)揮．這是數(shù)學(xué)教育實(shí)現(xiàn)育人為本的本質(zhì)要求．

2.3 問題化：促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)在規(guī)律的良性實(shí)現(xiàn)

數(shù)學(xué)教學(xué)是教與學(xué)有機(jī)統(tǒng)一的教學(xué)活動，是“以學(xué)定教”與“以教導(dǎo)學(xué)”相輔相成的教學(xué)過程．將數(shù)學(xué)史直接移植于數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的一種常用方法．教師往往將數(shù)學(xué)史料（如數(shù)學(xué)家傳記、歷史事件、數(shù)學(xué)名題等）在教學(xué)或教材中直接補(bǔ)充，這在一定程度上豐富了教學(xué)內(nèi)容，增添了數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性與人文性．但這種方法主要指向了數(shù)學(xué)的知識取向，即強(qiáng)調(diào)作為教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)史本身，而非教學(xué)的認(rèn)知主體——教師與學(xué)生．而“問題化”既關(guān)注數(shù)學(xué)史料的知識性，更關(guān)注講授與學(xué)習(xí)知識的人在數(shù)學(xué)教學(xué)中的主體地位．一方面體現(xiàn)在“問題化”需要教師深入挖掘蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)史背后的數(shù)學(xué)思想、知識與方法等，提煉出與教學(xué)密切相關(guān)的數(shù)學(xué)問題；另一方面，“問題化”是以問題為載體滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)之中，無論是在數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與提出，還是分析與解決的過程中，數(shù)學(xué)教學(xué)都不會忽視教師的教與學(xué)生的學(xué)．

由歷史發(fā)生原理可知，學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)知識的過程與數(shù)學(xué)知識的歷史發(fā)生發(fā)展過程具有相似性，借鑒歷史有針對性的制訂教學(xué)設(shè)計，可讓數(shù)學(xué)教學(xué)更加精準(zhǔn)．但也要避免因教條地借鑒歷史，而導(dǎo)致教學(xué)方法的固化與僵化現(xiàn)象．著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應(yīng)是經(jīng)過改良、同時有更好引導(dǎo)的歷史過程．”[5]因此，教師在教學(xué)中不應(yīng)簡單地重復(fù)真實(shí)的歷史，而應(yīng)站在新的歷史起點(diǎn)致力于歷史的重構(gòu)與創(chuàng)新．“問題化”較以往的研究，更有利于數(shù)學(xué)教學(xué)的重構(gòu)與創(chuàng)新范疇．一方面，以數(shù)學(xué)問題為載體構(gòu)建數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”向“教育形態(tài)”轉(zhuǎn)化的問題場域，為教師設(shè)計教學(xué)提供了充分的創(chuàng)造空間；另一方面，“問題解決”過程的隨機(jī)性也為歷史的重構(gòu)與創(chuàng)新提供了更多的機(jī)會與可能．

3 數(shù)學(xué)史“問題化”的實(shí)踐策略探析

3.1 數(shù)學(xué)史料選擇的實(shí)踐策略

數(shù)學(xué)史料的選擇是“問題化”教學(xué)的前提．米山國藏曾經(jīng)指出：“學(xué)生們接受的數(shù)學(xué)知識……很快就忘掉了……唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等，在隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生．”[6]數(shù)學(xué)教學(xué)傳授的不僅是數(shù)學(xué)知識，更要傳承數(shù)學(xué)精神中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，這正是數(shù)學(xué)史料的內(nèi)涵特征．在“問題化”教學(xué)中，數(shù)學(xué)史料的選擇既應(yīng)對數(shù)學(xué)知識有所訴求，也需蘊(yùn)涵知識產(chǎn)生的思維過程，尤其是那些最能反映數(shù)學(xué)思維方式、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力、蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想與方法的具有“文化味道”的數(shù)學(xué)史，也就是數(shù)學(xué)文化．

“數(shù)學(xué)——作為一種文化體系”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀是美國數(shù)學(xué)家懷爾德（R. Wilder）于20世紀(jì)80年代在其著作《數(shù)學(xué)概念進(jìn)化》和《作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)》中最先系統(tǒng)提出的．?dāng)?shù)學(xué)是人類抽象思維的產(chǎn)物，其本身就是一種文化，數(shù)學(xué)教育從本質(zhì)上講就是數(shù)學(xué)文化的教育[7]．?dāng)?shù)學(xué)文化的內(nèi)涵在學(xué)界雖尚未形成共識，但在廣泛的意義上，數(shù)學(xué)文化可定義為：它是人類在發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程中所積累的數(shù)學(xué)知識體系、數(shù)學(xué)思想和精神的統(tǒng)一體．?dāng)?shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)概念、原理、定理、公式、方法、問題等顯性的數(shù)學(xué)知識形態(tài)；也包括數(shù)學(xué)知識內(nèi)容所反映的客觀的宇宙規(guī)律、精美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和廣泛的應(yīng)用價值，以及數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程中所蘊(yùn)含的價值追求、審美直覺、思維方式、科學(xué)精神等隱性的數(shù)學(xué)精神形態(tài)；還包括顯性的數(shù)學(xué)知識形態(tài)與隱性的數(shù)學(xué)精神形態(tài)的內(nèi)在統(tǒng)一[4]．“問題化”教學(xué)中的數(shù)學(xué)史料，應(yīng)具備數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵特質(zhì)．舉例來說，完全數(shù)是一個饒有趣味的數(shù)學(xué)問題，是一段珍貴的數(shù)學(xué)史料，具備豐富的數(shù)學(xué)文化特質(zhì)．每個完全數(shù)的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、猜想的過程蘊(yùn)含著畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、古希臘數(shù)學(xué)家的信念品質(zhì)、價值判斷、審美追求等要素，直觀地呈現(xiàn)出數(shù)字間的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、對稱等性質(zhì)，為師生開展“問題化”教學(xué)提供若干問題情境、解決策略等教學(xué)資源．

3.2 數(shù)學(xué)問題設(shè)置的實(shí)踐策略

數(shù)學(xué)問題的設(shè)置是“問題化”教學(xué)的核心“技術(shù)”，其目的在于為教師提供有效的教學(xué)抓手，通過啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生走進(jìn)問題情境，發(fā)現(xiàn)和提出問題，思考并解決問題．在具體的教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)學(xué)問題應(yīng)結(jié)合所選數(shù)學(xué)史料的特征，結(jié)合引入、探究、猜想3個教學(xué)行為設(shè)置有針對性的問題單元．

同樣以完全數(shù)為例．完全數(shù)是教材之外的內(nèi)容，多數(shù)學(xué)生對它的定義、性質(zhì)并不了解．因此，引入環(huán)節(jié)的問題設(shè)置應(yīng)注意由簡馭繁，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．第一個完全數(shù)是6，其因子之間的運(yùn)算較為簡單．因此，可從6開始認(rèn)識完全數(shù)的特征與性質(zhì)．如首先可設(shè)置這樣的問題：“請找出3個不同的自然數(shù)，填到框圖中，使等式成立．”

學(xué)生通過猜想和探究最終發(fā)現(xiàn)1+2+3=1×2×3；進(jìn)而再讓學(xué)生感知6=1+2+3=1×2×3，在此基礎(chǔ)上，提出這樣的問題：“數(shù)字6具有怎樣的特征？”教師通過啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生概括出6等于除了它本身以外的因數(shù)的和（這實(shí)質(zhì)上就蘊(yùn)含了讓學(xué)生歸納概括出完全數(shù)的定義的過程，從思維方式來說，這是一個抽象的過程）．接下來再讓學(xué)生探究：“在20以內(nèi)，有沒有像6這樣的自然數(shù)，它可以等于除了它本身以外所有因數(shù)的和？30以內(nèi)呢？”此時，經(jīng)歷了一番探究，學(xué)生找到28也具有與6同樣的特征，這樣完全數(shù)的本質(zhì)特征就已經(jīng)浮出水面，教師可適時地通過提出“你能根據(jù)6和28所具有的特征嗎？”這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生歸納完全數(shù)的定義．

有趣的是，第三、第四個完全數(shù)分別是496，8?128，而第五、第六個完全數(shù)則是33?550?336，8?589?869?056．前4個完全數(shù)的順序與數(shù)位相互對應(yīng)，且末尾數(shù)字分別是6，8，6，8，具有一定的規(guī)律性，可以借此引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，設(shè)問為：“請同學(xué)們觀察前4個完全數(shù)6，28，496，8?128的共同特征與規(guī)律，嘗試猜想第五個、第六個完全數(shù)會是個什么樣子？”

最后，可以開始探究完全數(shù)的性質(zhì)．如，6可以寫作幾個連續(xù)自然數(shù)的和，可設(shè)問為：“6=1+2+3，1，2，3除了是6的因數(shù)，還是連續(xù)的自然數(shù)，28能不能寫成幾個連續(xù)自然數(shù)之和呢？”至此，整節(jié)課被轉(zhuǎn)化為5個聯(lián)系緊密、目標(biāo)明確、層次分明、邏輯性強(qiáng)的問題單元．學(xué)生在依次解決問題的過程中，既是自主探索、動手實(shí)踐、合作交流的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，也是透過數(shù)學(xué)知識和真理的背后，體驗(yàn)數(shù)學(xué)真理發(fā)現(xiàn)的完滿過程，更是學(xué)生在教師引導(dǎo)下對數(shù)學(xué)發(fā)展的“再創(chuàng)造”過程．

3.3 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的實(shí)踐策略

數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計是“問題化”教學(xué)實(shí)施的腳手架，是教師在內(nèi)容定位與學(xué)情分析的基礎(chǔ)上，對“問題化”教學(xué)的目標(biāo)、方法、內(nèi)容、進(jìn)程、評估等教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行的系統(tǒng)設(shè)計，目的在于讓問題化的數(shù)學(xué)史料作為教學(xué)的發(fā)生方式，對教學(xué)過程可能產(chǎn)生的具體情況，如學(xué)生進(jìn)入問題情境的具體狀況，該如何采取與之相適應(yīng)的教學(xué)方式，或啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、或引導(dǎo)學(xué)生自主探究、或組織學(xué)生合作交流，或指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)與應(yīng)用，或監(jiān)測學(xué)生的反思與遷移等．作為整節(jié)課的教學(xué)藍(lán)圖，“問題化”教學(xué)設(shè)計應(yīng)堅持以“問題解決”為導(dǎo)向的實(shí)踐策略；另一方面，“問題化”教學(xué)設(shè)計應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育．

以“問題解決”為導(dǎo)向的具體問題具體分析，包括盡力啟發(fā)學(xué)生提出問題，調(diào)動學(xué)生積極思考，把教師對數(shù)學(xué)的情感巧妙地傳遞給學(xué)生，對學(xué)生的思考給予充分的鼓勵和做出理性評價等．如在完全數(shù)的教學(xué)中，第五、第六個完全數(shù)形態(tài)的猜想環(huán)節(jié)是整節(jié)課氣氛最高漲的部分，教師在教學(xué)設(shè)計中應(yīng)給予學(xué)生充分思考、判斷、反思、交流的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理與猜想．教學(xué)實(shí)踐中，有的學(xué)生猜想道：“我覺得第五個完全數(shù)一定是五位數(shù)！因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)前4個完全數(shù)6，28，496，8?128分別是一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)和四位數(shù)．”也有的學(xué)生這樣猜想：“我覺得也應(yīng)該是五位數(shù)，而且我猜想第五個完全數(shù)的末尾數(shù)字應(yīng)該是6．因?yàn)榍?個完全數(shù)6，28，496，8?128的末尾數(shù)字分別是6，8，6，8，按照這樣的規(guī)律，第五個完全數(shù)的末尾數(shù)字似乎應(yīng)該是6．”在經(jīng)歷了一番頭腦風(fēng)暴過后，教師揭曉答案時引起了全體學(xué)生的感嘆：“哇！是33?550?336，8?589?869?056！太神奇了！”學(xué)生在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的興奮與驚嘆之中，體驗(yàn)著美妙深刻的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷．

與此同時，“問題化”教學(xué)設(shè)計充分考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育．在完全數(shù)的教學(xué)中，涉及學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育．因此，教師在進(jìn)行“問題化”教學(xué)設(shè)計的過程中，盡可能地為學(xué)生提供相應(yīng)的問題情境與解決策略．如前文提到的，在引導(dǎo)學(xué)生自主探究6和28的數(shù)字特征時，以讓學(xué)生進(jìn)行6和28的因子間的運(yùn)算為主；又如在歸納定義、猜想第五六個完全數(shù)的形態(tài)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)已知的6和28的數(shù)字特征，以及前4個完全數(shù)的數(shù)位、個位數(shù)字特征，嘗試推理出一般完全數(shù)的特征和更大完全數(shù)的數(shù)字形態(tài)．

通過對數(shù)學(xué)史“問題化”開展的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅使得史料在此過程中被恰當(dāng)轉(zhuǎn)化并有效活化，使史料呈現(xiàn)方式更加自然生動，更重要的是可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中建構(gòu)數(shù)學(xué)知識、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神．從而更好地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力．

[1] 宋乃慶，李鐵安．發(fā)掘數(shù)學(xué)史教育功能，促進(jìn)數(shù)學(xué)教育發(fā)展[R]．第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議報告，西安，2005-5．

[2] 李文林．?dāng)?shù)學(xué)史概論[M]．臺北：九章出版社，2003：1．

[3] CAJORI F. The pedagogic value of the history of physics [J]. The School Review, 1899, 7 (5): 278-285.

[4] 李鐵安．如何理解“數(shù)學(xué)文化課”的內(nèi)涵與價值[J]．小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2018（1）：8-12．

[5] FREUDENTHAL H. Didactical phenomenology of mathematical structures [M]. Reidel, 1983: 1.

[6] 米山國藏．?dāng)?shù)學(xué)的精神、思想和方法[M]．毛正中，等譯．成都：四川教育出版社，1986：序．

[7] 孟夢，楊慧娟，李長毅．?dāng)?shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)新教材中的實(shí)踐研究——以西師版為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（4）：61-63．

Problematization: the Practical Approach of “Historical Morphology” of Mathematics Transforms into “Teaching Morphology”

MENG Meng, LI Tie-an

(National Institute of Education Science, Beijing 100088, China)

A basic route to fully perform mathematics history’s functions of education was to transform the “historical morphology” of mathematics into “teaching morphology”. Problematization was a practical approach to make the transformation effectively. The meaning of problematization was to excavate the mathematics knowledge and educational factors concealed into the mathematics history, and turn them into a series of problems which may promote students’ mathematics learning. Problematization offered methodology innovation for the transformation of “historical morphology” into “teaching morphology”, and made inherent value breakthrough from cultural value to educational value, and promote the mathematics teaching follows the innate laws of classroom teaching. Based on the lesson of Perfect Number, the study provides practical strategy on the selection of mathematical history, the setting of mathematical problems and the design of mathematics teaching.

history of mathematics; mathematics teaching; problematization; value; strategy

2018–03–05

全國教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題——基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)文化課程體系的構(gòu)建與實(shí)踐（DHA090174）；2016年度教育部人文社會科學(xué)研究一般項(xiàng)目——數(shù)學(xué)文化對小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的影響研究（16YJAZH009）

孟夢（1988—），女，山東青島人，博士，中國教育科學(xué)研究院博士后，主要從事數(shù)學(xué)文化課程研發(fā)、教師培訓(xùn)效果測評研究．

G420

A

1004–9894（2018）03–0072–04

孟夢，李鐵安．“問題化”：數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的實(shí)踐路徑[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（3）：72-75．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]