高一學(xué)生函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平的實證研究——以T城市為例

谷曉沛，馬云鵬，朱立明

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高一學(xué)生函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平的實證研究——以T城市為例

谷曉沛1，2，馬云鵬1，朱立明3

（1．東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長春 130024；2．鞍山師范學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，遼寧 鞍山 114005；3．唐山師范學(xué)院 教育學(xué)院，河北 唐山 063000）

從F·克萊因呼吁函數(shù)觀念，到弗萊登塔爾推動現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育，函數(shù)概念逐漸成為數(shù)學(xué)課程的靈魂，引起國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育研究者的高度重視．隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，函數(shù)概念作為數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的重要載體，備受關(guān)注．為了了解目前高一學(xué)生對數(shù)學(xué)函數(shù)概念的理解狀況，通過測驗調(diào)查了T城市3所不同類型學(xué)校的437名高一學(xué)生，主要調(diào)查他們在函數(shù)概念的感知、釋義、關(guān)聯(lián)、抽象4個理解水平的表現(xiàn)．調(diào)查結(jié)果顯示：高一學(xué)生的函數(shù)概念的理解整體狀況一般，不同類型學(xué)校間學(xué)生函數(shù)概念理解水平并不均衡，學(xué)校類型越好，學(xué)生的理解水平越高，不同性別在函數(shù)概念理解水平上具有階段性差異．

函數(shù)概念；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)教育；理解水平

1 問題提出

20世紀初，德國數(shù)學(xué)家F·克萊因（Christian Felix Klein）提出，中學(xué)數(shù)學(xué)教育要以函數(shù)觀念和幾何直觀作為教學(xué)的核心，從數(shù)學(xué)教育的研究內(nèi)容來看，關(guān)于代數(shù)內(nèi)容逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心[1]．在F·克萊因、英國數(shù)學(xué)家貝利（J. Perry）等人的大力倡導(dǎo)和推動下，函數(shù)進入了中學(xué)數(shù)學(xué)．函數(shù)概念開始成為數(shù)學(xué)教育的靈魂．實現(xiàn)了以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)素材集中在它周圍，進行充分綜合的模式．高中數(shù)學(xué)新課程在設(shè)計上也體現(xiàn)了“以函數(shù)為綱”的重要思想，函數(shù)作為整個高中數(shù)學(xué)的一條主線，貫穿數(shù)學(xué)課程始終，在教學(xué)的組織中發(fā)揮橋梁與紐帶作用[2]．函數(shù)概念是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中首先遇到的具有一般意義的抽象概念，因此，函數(shù)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一[3]．鑒于函數(shù)概念在高中數(shù)學(xué)中的重要性，教師不能通過呆讀死記、機械訓(xùn)練的方式進行講授，更需要引導(dǎo)學(xué)生加深對其的數(shù)學(xué)理解．數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)理解的核心對象就是概念和關(guān)系，在學(xué)生對函數(shù)概念已有的認知水平上，通過不同表征方式獲取新的函數(shù)概念，并將其融入原有認識結(jié)構(gòu)中．《美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標準》指出：“沒有理解，只是記住事實和操作程序的學(xué)生不知何時，也不知如何應(yīng)用他們的知識，這樣的學(xué)習(xí)往往是不扎實的．”[4]

基于以上分析，提出3個研究問題：

（1）高中生函數(shù)概念理解水平的整體狀況如何？

（2）不同類型學(xué)校學(xué)生函數(shù)概念理解水平的特征是什么？

（3）不同性別的學(xué)生在哪個函數(shù)概念理解水平上存在差異？

2 理論基礎(chǔ)

2.1 關(guān)于函數(shù)概念的相關(guān)研究

函數(shù)概念在數(shù)學(xué)教育研究中是十分重要的內(nèi)容，一直備受關(guān)注．主要集中在以下4個方面．一是借助APOS、PCK、SOLO等理論對學(xué)生函數(shù)概念的認知發(fā)展過程進行調(diào)查，關(guān)注學(xué)生回答正確與錯誤、復(fù)雜與簡單．主要得出以下結(jié)論：函數(shù)概念作為數(shù)學(xué)的一個核心概念，其教學(xué)質(zhì)量直接影響與函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，中國大部分高中生都處在函數(shù)概念建構(gòu)的低級階段，很少學(xué)生能達到最高階段，學(xué)生對函數(shù)概念的認識程度隨著年級的增長而逐漸提高，總地看來，不同學(xué)校的學(xué)生在函數(shù)概念的認知上是不同的[5-8]．二是聚焦函數(shù)概念內(nèi)涵的解讀，但是出發(fā)點不同．有的學(xué)者從函數(shù)概念的屬性出發(fā)，認為“非空數(shù)集”和“單值對應(yīng)”并非函數(shù)概念中的不變屬性，“對應(yīng)”才是函數(shù)概念中始終保持不變的屬性，用“對應(yīng)”定義函數(shù)也存在瑕疵，“關(guān)系說”才真正揭示了函數(shù)的本質(zhì)屬性[9]．還有的學(xué)者從數(shù)學(xué)史的視角出發(fā)，幾乎涵蓋了從17世紀萊布尼茲到20世紀布爾巴基學(xué)派諸多數(shù)學(xué)家的各種定義，認為學(xué)生對函數(shù)概念的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)家共同體的理解存在高度的相似性，函數(shù)概念歷史發(fā)展過程中的認識障礙也會成為學(xué)生的認知障礙，因此，幫助學(xué)生理解函數(shù)概念最好借鑒數(shù)學(xué)史[10]．三是從函數(shù)概念教學(xué)的視角出發(fā)，指出函數(shù)概念教學(xué)需要解構(gòu)與重構(gòu)，首先，基于數(shù)學(xué)學(xué)科來理解函數(shù)概念及其相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)體系，其次，基于教學(xué)理解函數(shù)，重新建立函數(shù)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，采用螺旋式教學(xué)來構(gòu)建函數(shù)的結(jié)構(gòu)體系[11]．四是從概念形成水平、不同數(shù)學(xué)氣質(zhì)類型的影響及思維發(fā)展水平3方面論述了函數(shù)概念學(xué)習(xí)中困難的根源[12]．可以看出，關(guān)于函數(shù)概念的研究很多，有理論的，也有實證的，雖然其中提到函數(shù)概念理解，但不是從數(shù)學(xué)理解的框架入手，對函數(shù)概念進行調(diào)查研究，只是經(jīng)驗層面的描述．

2.2 關(guān)于數(shù)學(xué)理解的相關(guān)研究

斯根普（Skemp）將數(shù)學(xué)理解分為“工具性理解”和“關(guān)系性理解”[13]，斯根普的數(shù)學(xué)理解模型并沒有在數(shù)學(xué)內(nèi)容及其表征之間給出明確區(qū)分，因此，赫斯考威克斯（Hersconvics）等在信息加工理論和發(fā)生認識論原理的基礎(chǔ)上，提出理解類型層次理論，包括直觀理解、程序理解、抽象理解、形式理解[14]，杜賓斯基（Dubinsky）基于赫斯考威克斯等人的研究成果提出“數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)APOS理論”，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域影響也很大，包括操作（action）、過程（process）、對象（object）和圖式（schema）4個階段[15]．希伯特（Hiebert）和卡彭特（Carpenter）從認知心理學(xué)的視角，提出在數(shù)學(xué)概念理解過程中，需要外部表征與內(nèi)部表征[16]，當一個數(shù)學(xué)概念成為內(nèi)部表征網(wǎng)絡(luò)的一部分，才能說明這個數(shù)學(xué)概念被學(xué)生理解了[17]．萊什（Lesh）等在布魯納（Bruner）表征系統(tǒng)上，構(gòu)建了數(shù)學(xué)理解的表征轉(zhuǎn)化理論，數(shù)學(xué)概念可以通過書面符號、圖像、口頭語言、操作物、現(xiàn)實情境5種不同的表征方式來表征，同一表征方式或不同表征方式之間是互動或相互轉(zhuǎn)化的[18]．這與奧蘇貝爾（Ausubel）的意義學(xué)習(xí)理論一致，其實質(zhì)都是建立新知識與認知結(jié)構(gòu)之間的相互聯(lián)系．

有的學(xué)者提出“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型，該模型由8個不同理解水平組成（或8個不同階段），即：原始認識、產(chǎn)生表象、形成表象、性質(zhì)認知、形式化、觀察評述、構(gòu)造化、發(fā)明創(chuàng)造．這8個理解水平包括了人們理解某一數(shù)學(xué)知識（數(shù)學(xué)概念、公式、定理等）所經(jīng)歷的全過程[19]．還有的學(xué)者，用專家評定法確立數(shù)學(xué)理解層次結(jié)構(gòu)的理論模型，包括表象理解、解釋理解、建立聯(lián)系、思想運用和創(chuàng)造生成5個層次[20]．在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，人們通常把“理解”看成一種認知方式，一種獲得知識的手段．

3 研究方法

3.1 研究對象的選取

研究中，考慮樣本的代表性與方便性，采用選取教育、經(jīng)濟等條件處于中等水平的城市T中3類學(xué)校的高一學(xué)生作為研究對象．這是因為課標對高一學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的要求是重點理解函數(shù)概念．首先根據(jù)學(xué)校的師資力量、生源狀況、硬件條件、管理水平等因素，將學(xué)校分成3類，一類是優(yōu)質(zhì)校，二類是中等校，三類是薄弱校．然后在各類學(xué)校選取數(shù)學(xué)成績?yōu)橹械鹊陌嗉墸^中等，主要是從班級的平均分來鑒定的．以這些班級學(xué)生作為樣本，共發(fā)放測評問卷437份，有效問卷411，有效率是94.1%，研究對象分布如表1．

表1 研究對象的具體分布

3.2 測試工具的編制

基于以上數(shù)學(xué)理解的框架或模型，結(jié)合函數(shù)概念自身的特點，通過梳理已有相關(guān)研究，進行詞頻統(tǒng)計分析，其中頻率較高（15%以上）的關(guān)鍵詞包括：感知、認識、運用、描述、構(gòu)造、抽象、操作、過程、直觀．利用Likert五級量表，采用專家咨詢法對上述9個關(guān)鍵詞進行篩選，調(diào)查了31位專家，包括了10位數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域研究者，7位數(shù)學(xué)教研員，14位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，經(jīng)過兩次專家咨詢，結(jié)合反饋建議，最終將函數(shù)概念的理解水平確定為感知水平、釋義水平、關(guān)聯(lián)水平、抽象水平．對此框架加以論證，如表2所示，4個水平的平均分都在4分以上，從離散程度看，各水平的標準差在0.422~0.691之間（標準差均小于1），說明專家意見相對比較集中；各水平的變異系數(shù)在0.091~0.159之間（數(shù)值均較?。从硨＜胰后w對于函數(shù)概念的理解水平的測評協(xié)調(diào)程度較高．因此，在一定程度上說明了函數(shù)概念理解水平的科學(xué)性與合理性．

表2 函數(shù)概念理解水平的專家咨詢結(jié)果

為了保證學(xué)生測評的難易程度與區(qū)分度符合教育測量的標準，在編制測評題項過程中考慮研究對象的實際情況，難度較大的題目不多，大部分是基礎(chǔ)問題與中等難度的問題，各水平分測試的難度均控制在0.5左右，區(qū)分度在0.6左右．

下面，考察測評問卷各水平之間的關(guān)系，如表3所示，可以看出，組內(nèi)兩兩水平相關(guān)達到0.01的顯著性水平，相關(guān)系數(shù)在0.262~0.634之間，為高程度正相關(guān)．4個水平與總測評問卷之間相關(guān)系數(shù)在0.633~0.843之間，表明各層次與整個問卷一致，達到高程度正相關(guān)．

表3 各分析層次間的相關(guān)系數(shù)矩陣

表4 學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識分析層次信度分析結(jié)果

3.3 正測與評分標準

采取現(xiàn)場施測的方式，由數(shù)學(xué)教師在課堂上組織學(xué)生獨立完成，教師不給學(xué)生知識上的提示．研究對象完成所有測評大約需40分鐘左右．學(xué)生測評問卷的評分由一名高校教師和兩名中學(xué)教師共同完成．首先，3名教師共同制定評分標準和細則，為盡量避免由評分者主觀判斷帶來的偏差，每道測評題項為0、1、2、3、4五個分值，每個水平最低0分，最高10分．這種方法直觀、簡潔，既方便評分，又便于數(shù)據(jù)的收集與分析．然后，分別由兩名高一數(shù)學(xué)教師獨立完成評分，不一致的評分再由第三個教師評判．兩名教師的評分在95%以上一致，一致性程度較高．

4 研究結(jié)果

4.1 學(xué)生函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平的整體狀況

以此測評問卷測量所選學(xué)生樣本，結(jié)果如表5所示，可以看出，學(xué)生在函數(shù)概念4個數(shù)學(xué)理解水平上得分跨度較大，隨著水平的提升學(xué)生的分數(shù)逐漸降低，感知水平得分率最高（74.4%），抽象水平得分率最低（44.2%），考慮4個數(shù)學(xué)理解水平的層次性與測評問卷題目的難度，學(xué)生在感知水平與釋義水平的狀況比較好，可以說，整體上來看，所測學(xué)生對函數(shù)概念的整體感知、三要素等關(guān)鍵點的把握比較扎實，但是在關(guān)聯(lián)水平與抽象水平，學(xué)生的表現(xiàn)一般．

表5 高一學(xué)生函數(shù)概念理解的整體狀況

4.2 不同類型學(xué)校學(xué)生函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平的特征

對于函數(shù)概念理解水平而言，除了了解學(xué)生的整體狀況，不同類型學(xué)校的學(xué)生對函數(shù)概念的理解水平是否均衡，也是需要關(guān)注的．因此，接下來分析3類學(xué)校學(xué)生在函數(shù)概念理解水平上的差異．利用檢驗探討不同類型學(xué)校的學(xué)生在函數(shù)概念理解水平上的差異，結(jié)果見表6，可以看出，不同類型學(xué)校的學(xué)生在感知水平上沒有顯著差異，而在釋義水平、關(guān)聯(lián)水平與抽象水平上存在顯著差異．具體來講，如圖1所示，隨著水平的升高，各類學(xué)校在每個水平上的得分逐漸降低，一類學(xué)校的學(xué)生得分最高，二類學(xué)校的學(xué)生得分居中，三類學(xué)校的學(xué)生得分最低．

表6 不同類型學(xué)校學(xué)生函數(shù)概念理解的狀況

注：*表示<0.05

圖1 不同類型學(xué)校學(xué)生函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平變化趨勢

4.3 學(xué)生性別在函數(shù)概念理解水平上的差異

為了了解學(xué)生性別在函數(shù)概念理解水平上的差異，針對不同性別的學(xué)生對函數(shù)概念的理解水平做了檢驗，結(jié)果如表7所示．可以看出，學(xué)生性別在函數(shù)概念感知水平上、關(guān)聯(lián)水平、抽象水平?jīng)]有顯著差異，而在釋義水平上存在顯著差異，在感知水平、釋義水平女生得分高于男生，在關(guān)聯(lián)水平、抽象水平男生得分高于女生，如圖2所示．

表7 不同性別學(xué)生函數(shù)概念理解的狀況

注：*表示<0.05

圖2 不同性別學(xué)生函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平的變化趨勢

5 研究結(jié)論

5.1 高一學(xué)生函數(shù)概念理解水平有待提高

研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解的感知與釋義兩個水平上的得分率在50%以上，而在關(guān)聯(lián)與抽象兩個水平上的得分率不足50%，這表明，學(xué)生對函數(shù)概念的理解水平并沒有研究者事先預(yù)想的優(yōu)異，從調(diào)查結(jié)果中來看，高一學(xué)生能夠很好地達到對函數(shù)概念的感知水平，但是后面3個理解水平（釋義、關(guān)聯(lián)與抽象）表現(xiàn)一般．這可能是因為函數(shù)概念本身是抽象的、復(fù)雜的，高一學(xué)生能夠基于初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，將函數(shù)的變量定義法遷移到對應(yīng)定義法中，能根據(jù)函數(shù)定義判斷哪些關(guān)系是函數(shù)，哪些不是函數(shù)．但是對于函數(shù)三要素，尤其是對應(yīng)關(guān)系的理解，還存在一定的困難．學(xué)生對函數(shù)概念的理解水平處在初級階段，對函數(shù)的認識是間斷的、模糊的，表現(xiàn)為非系統(tǒng)性．函數(shù)的概念具有很強的辯證性，其中包括變量、變化、運動、聯(lián)系、有限、無限等辯證的概念，學(xué)生還不能夠從辯證思維來理解函數(shù)概念．從教育心理學(xué)的視角來看，數(shù)學(xué)概念具有二重性，函數(shù)不僅可以理解成為一種靜態(tài)的對象與結(jié)構(gòu)，還是動態(tài)的變化過程．學(xué)生在基礎(chǔ)題目上表現(xiàn)比較好，而在創(chuàng)新題目上表現(xiàn)一般．學(xué)生對函數(shù)的理解停留在直觀的、具體的函數(shù)層面，還未更好地達到釋義、關(guān)聯(lián)與抽象水平．

5.2 學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)是影響函數(shù)概念理解水平的重要因素之一

對高一學(xué)生對函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平的研究發(fā)現(xiàn)，不同類型學(xué)校之間的學(xué)生在釋義水平、關(guān)聯(lián)水平、抽象水平上存在顯著差異．一類學(xué)校在4個水平上的得分率均在50%以上，二類學(xué)校在抽象水平上的得分率僅為47.7%，三類學(xué)校在釋義、關(guān)聯(lián)、抽象3個水平上的得分率均不足50%，尤其在抽象水平的得分率僅為26.4%，就學(xué)生的函數(shù)概念整體理解水平而言，一類學(xué)校高于二類學(xué)校，二類學(xué)校高于三類學(xué)校．造成這種差異的原因可能有以下3個方面的原因．第一，不同類型學(xué)校在生源、師資、校園文化、培養(yǎng)機制等方面不同．第二，函數(shù)自身的獨特特征．這里主要分析第二個原因：學(xué)生對函數(shù)概念的理解過程是函數(shù)概念發(fā)展過程的一個縮影，中國初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念主要采用“變量說”，而高中階段主要采用“對應(yīng)說”，這遵循了函數(shù)概念的歷史發(fā)展順序，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，積累了一些關(guān)于變量關(guān)系的基本活動經(jīng)驗，每個理解水平的達成都需要一定的知識基礎(chǔ)．由于受到初中對函數(shù)概念理解的影響，學(xué)生一時難以調(diào)整采用對應(yīng)關(guān)系定義函數(shù)的觀念．理解水平的高低是由學(xué)生聯(lián)系知識點的多少來決定，從廣度上看，函數(shù)與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的橫向鏈，拓寬了學(xué)生的學(xué)習(xí)范圍，這給學(xué)生的理解帶來困難．教育心理學(xué)研究也表明，學(xué)生對抽象概念的學(xué)習(xí)必須借助于一定的經(jīng)驗，通過特殊實例的分析，抽象出概念的本質(zhì)屬性，再推廣到一般的概念中去[12]．這與研究所發(fā)現(xiàn)的一致．

5.3 學(xué)生性別在學(xué)生函數(shù)概念的數(shù)學(xué)理解水平上存在階段性差異

研究發(fā)現(xiàn)：在函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解的感知與釋義兩個水平上，女生的得分率分別是69.0%與62.7%，男生的得分率分別是65.2%與57.4%，女生比男生表現(xiàn)好．而在函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解的關(guān)聯(lián)與抽象兩個水平上，男生的得分率分別是50.5%與46.2%，女生的得分率分別是48.4%與42.2%，男生比女生表現(xiàn)好．這表明，男生在知識結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建與抽象能力方面要優(yōu)于女生，而女生在對函數(shù)概念的感性認識與要素理解上要優(yōu)于男生．學(xué)生的性別對于函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平具有階段性的影響．這一發(fā)現(xiàn)可能與數(shù)學(xué)具體內(nèi)容有關(guān)，關(guān)聯(lián)與抽象兩個理解水平更需要學(xué)生對函數(shù)概念的深層次感悟，需要學(xué)生建立相關(guān)知識之間的邏輯關(guān)聯(lián)，用函數(shù)抽象地對某一類事物或現(xiàn)象關(guān)于變量與對應(yīng)的本質(zhì)屬性進行刻畫．造成這種結(jié)果的原因可能在于高考評價對成績的追求，多數(shù)教師與學(xué)生采用題海戰(zhàn)術(shù)，重視解題技巧，沒有對基本概念與基礎(chǔ)知識進行深刻理解，盲目地機械性應(yīng)用，旨在掌握解題方法，而非建立“知識網(wǎng)”．研究所得結(jié)論給廣大研究者一定的啟示：函數(shù)概念的教學(xué)在男女性別上應(yīng)該具有針對性，女生注重知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)與抽象能力的培養(yǎng)，而男生應(yīng)該加強對函數(shù)三要素理解的提升．

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The Empirical Research on Mathematical Understanding Level of the Concepts of Function for the Students of Senior One

GU Xiao-pei1, 2, MA Yun-peng1, ZHU Li-ming3

(1. Northeast Normal University Faculty of Education, Jilin Changchun 130024, China;2. Anshan Normal University Institute of Education, Liaoning Anshan 114005, China;3. Tangshan Normal University Faculty of Education, Hebei Tangshan 063000, China)

From Christian Felix Klein’s calling for the concepts of functions to Freudenthal’s promoting realistic mathematics education, the concepts of functions gradually became the soul of mathematics curriculum, and had drawn great attention to the researchers of mathematics education both at home and abroad. As the core of mathematics literacy was put forward, the concept of function, as an important carrier of abstract core literacy of mathematics, was a major concern. In order to understand high school students’ current understanding of the concepts of mathematical functions, this study investigated 437 high school students of different types of schools through tests in T city, in which mainly investigated their level of understanding of perception, definition, image and abstractness to the functions of concepts. The results showed that the overall situation of the understanding of the concept of function of high school students was ordinary, but the level was not balanced between different types of schools. The better the schools were, the higher level of understanding the students have. In addition, different genders had periodic variations in understanding level.

the concepts of functions; core mathematics literacy; mathematics education; understanding level

2018–02–20

遼寧省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度研究基地專項課題——能力本位的卓越教師培養(yǎng)實踐研究（JG15ZXY05）；河北省教育廳人文社會科學(xué)重點項目——河北省小學(xué)生課業(yè)負擔(dān)測評模型構(gòu)建與應(yīng)用研究（SD182012）；河北省高等學(xué)校人文社會科學(xué)研究項目——數(shù)學(xué)新手型教師關(guān)鍵能力生成機制的跟蹤研究（SZ18058）

谷曉沛（1974—），女，遼寧鞍山人，東北師范大學(xué)博士生，鞍山師范學(xué)院副教授，主要從事課程與教學(xué)論、數(shù)學(xué)教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）03–0025–05

谷曉沛，馬云鵬，朱立明．高一學(xué)生函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平的實證研究——以T城市為例[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（3）：25-29．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]