支付模糊圖合作博弈分配模型及其應(yīng)用

蘇東風(fēng), 楊 潔

(1.福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 福建 福州　350116; 2.福建農(nóng)林大學(xué)管理學(xué)院, 福建 福州　350002)

0　引言

博弈論也稱(chēng)對(duì)策論, 合作博弈作為博弈論的重要分支, 主要研究局中人如何形成聯(lián)盟以及聯(lián)盟收益(支付)如何分配.傳統(tǒng)合作博弈中, 用實(shí)數(shù)表示聯(lián)盟收益的期望值, 即合作博弈的支付函數(shù)是清晰的.然而通常情況下, 合作博弈的聯(lián)盟收益是局中人在真正結(jié)盟之前對(duì)聯(lián)盟獲利的一種預(yù)判估值, 其受到現(xiàn)實(shí)環(huán)境不確定性、 信息不準(zhǔn)確性, 以及局中人主觀期望與風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度差異等因素影響, 聯(lián)盟收益估值幾乎都為模糊值[1-2].如, 常見(jiàn)聯(lián)盟收益往往因市場(chǎng)需求、 市場(chǎng)交易價(jià)格等不確定只能模糊估值, 往往有“銷(xiāo)售量在18萬(wàn)件左右”, “總收益大約是450萬(wàn)元”等表述.為此, 應(yīng)用模糊數(shù)表示聯(lián)盟期望收益, 即合作博弈的支付函數(shù)是模糊的, 可以提升決策的科學(xué)性.支付模糊合作博弈問(wèn)題自Mares[2]提出以來(lái), 不斷受到相關(guān)學(xué)者的關(guān)注[3-4], 特別是模糊支付合作博弈的Shapley值最為典型[5-7].但此類(lèi)合作博弈研究大都集中于“局中人可自由結(jié)盟”假設(shè), 其模糊解未體現(xiàn)出結(jié)盟的限制性.現(xiàn)實(shí)生活中, 由于局中人之間受到資源、 文化沖突或競(jìng)爭(zhēng)地位等因素的影響, 其合作結(jié)盟往往不是任意的, 而是具有某種限制約束性.

針對(duì)此類(lèi)情況, Myerson[8]用無(wú)向連通圖表示效用可以轉(zhuǎn)移的合作博弈, 以圖的頂點(diǎn)表示局中人, 以圖的邊表示局中人的交流聯(lián)系, 從而引入了具有交流結(jié)構(gòu)的合作博弈(也稱(chēng)“圖合作博弈”), 并提出著名的Myerson值.沿此思路, 部分學(xué)者開(kāi)展了一類(lèi)限制交流合作博弈的經(jīng)典A-T解研究.2008 年, Talman等[9]定義了無(wú)圈圖合作博弈的平均樹(shù)解(average tree solution , 簡(jiǎn)稱(chēng)為“A-T 解”)和子核心, 并討論A-T 解可能存在于子核心中的條件.Herings等[10]討論了A-T 解的分支有效性和分支公平性?xún)蓚€(gè)特殊性質(zhì).Mishra等[11]、 Béal等[12]深入論證了該解具有的優(yōu)良性質(zhì), 如在超可加合作博弈中A-T解存在于核心中, 但Myerson值卻不滿足； A-T 解邊際特征向量的計(jì)算量大大簡(jiǎn)化等.具有限制交流結(jié)構(gòu)圖合作博弈的研究雖然能體現(xiàn)“限制結(jié)盟”的特點(diǎn), 但研究主要集中于清晰確定信息的經(jīng)典研究之中.當(dāng)前, 僅少量圖合作博弈文獻(xiàn)涉及模糊信息.Jiménez-Losada等[13]定義了具有模糊交流結(jié)構(gòu)合作博弈的模糊Myerson值.聶翠平等[14]定義了聯(lián)盟模糊的圖合作博弈, 并對(duì)經(jīng)典A-T 解進(jìn)行推廣.文[15]則針對(duì)區(qū)間值模糊聯(lián)盟拓展了模糊A-T解.可見(jiàn), 目前關(guān)于模糊信息下圖合作博弈的研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于任意結(jié)盟假設(shè)下的模糊合作博弈研究.

鑒于現(xiàn)實(shí)合作結(jié)盟中約束性和模糊性的普遍存在, 本研究針對(duì)具有限制交流結(jié)構(gòu)的圖合作博弈, 通過(guò)引入λ截集置信水平, 提出一種具有支付模糊的圖合作博弈分配解模型, 建立公理化體系對(duì)此解的性質(zhì)進(jìn)行討論.此外, 將模型應(yīng)用到產(chǎn)學(xué)研協(xié)同創(chuàng)新收益分配實(shí)例中, 并與模糊Shapley值進(jìn)行比較分析.

1　模糊數(shù)及其λ截集

(1)

模糊數(shù)是實(shí)數(shù)的推廣, 而區(qū)間數(shù)是十分重要的一種模糊數(shù).區(qū)間數(shù)不僅具有集合的特征, 而且具有實(shí)數(shù)的某些性質(zhì).區(qū)間數(shù)有如下運(yùn)算規(guī)則：

2　具有限制結(jié)盟的模糊圖合作博弈及其A-T解

2.1　具有限制結(jié)盟的模糊圖合作博弈

三元組(N,v,L)表示經(jīng)典(清晰)圖合作博弈, 其中:N={1, 2, …,n}為有限局中人集合;v:2N→R為支付函數(shù);L?{{i,j}|i≠j,i,j∈N}為邊集, 表示局中人交流的集合, 在交流結(jié)構(gòu)中只有連通的節(jié)點(diǎn)才可能結(jié)成聯(lián)盟.若L={{i,j}|i≠j,i,j∈N}, 稱(chēng)(N,v,L)為具有完全交流結(jié)構(gòu)的合作博弈, 即各局中人可自由結(jié)盟.通常所說(shuō)的合作博弈便指的是這一類(lèi).若L?{{i,j}|i≠j,i,j∈N}, 則(N,v,L)為具有限制交流結(jié)構(gòu)的合作博弈, 即局中人不能自由結(jié)盟.此外, 不含任何圈的合作博弈稱(chēng)為無(wú)圈合作博弈.本研究討論此類(lèi)無(wú)圈且有限制交流結(jié)構(gòu)的圖合作博弈.

經(jīng)典交流結(jié)構(gòu)合作博弈中,n維A-T解AT(N,v,L)定義為[9]：

(2)

其中：i=1, 2, …,n, |BL|為BL的元素個(gè)數(shù).

針對(duì)聯(lián)盟收益的模糊性或者不確定性, 利用模糊數(shù)來(lái)表示不確定支付函數(shù)值, 引入具有支付模糊的圖合作博弈.

2.2　模糊圖合作博弈的A-T解及其性質(zhì)

(3)

(4)

根據(jù)定理1和區(qū)間模糊數(shù)相關(guān)運(yùn)算規(guī)則, 有：

(5)

(6)

同理, 可得：

(7)

證明對(duì)于任意i∈N,λ∈[0, 1]和B∈BL, 有：

由式(7), 有：

因此,

從而：

(8)

進(jìn)而, 根據(jù)式(5)和式(7), 有：

同理, 根據(jù)式(6)和式(8), 有：

因此, 可得：

從而：

根據(jù)式(3), 可知：

3　產(chǎn)學(xué)研協(xié)同創(chuàng)新收益分配應(yīng)用

3.1　合作結(jié)盟及其收益分配

假設(shè)最大聯(lián)盟{(lán)1, 2, 3} 形成, 根據(jù)式(1)可得不同置信水平λ下的局中人的收益值, 如表1所示.

表1不同置信水平λ下的協(xié)同創(chuàng)新聯(lián)盟收益

Tab.1Payoffsofcollaborativeinnovationalliancesunderdifferentconfidencelevelsλ(萬(wàn)元)

Lv λ({1})v λ({2})v λ({3})v λ({1, 2})v λ({2, 3})v λ({1, 2, 3}) 1.02.05.04.014.018.033.00.9[1.9, 2.1][4.8, 5.2][3.8, 4.1][13.6, 14.4][17.7, 18.4][32.2, 33.7]0.7 [1.7, 2.3][4.4, 5.6][3.4, 4.3][12.8, 15.2][17.1, 19.2][30.6, 35.1]0.5 [1.5, 2.5][4.0, 6.0][3.0, 4.5][12.0, 16.0][16.5, 20.0][29.0, 36.5]0.3 [1.3, 2.7][3.6, 6.4][2.6, 4.7][11.2, 16.8][15.9, 20.8][27.4, 37.9]0.1 [1.1, 2.9][3.2, 6.8][2.2, 4.9][10.4, 17.6][15.3, 21.6][25.8, 39.3]0 [1.0, 3.0][3.0, 7.0][2.0, 5.0][10.0, 18.0][15.0, 22.0][25.0, 40.0]

根據(jù)式(4)和式(5)可求出不同置信水平λ下聯(lián)盟{(lán)1, 2, 3}協(xié)同創(chuàng)新分配收益策略, 各局中人具體分配收益值如表2所示.

表2　不同置信水平λ下的協(xié)同創(chuàng)新分配收益策略

類(lèi)似地, 可求出不同協(xié)同創(chuàng)新聯(lián)盟組合下的分配收益策略.

3.2　結(jié)果與方法對(duì)比

可見(jiàn), 在此支付模糊下的協(xié)作創(chuàng)新收益分配策略是可行的, 如當(dāng)置信水平λ=0.5時(shí), 高?？煞峙涞玫绞找鏋?.00～8.33萬(wàn)元, 企業(yè)可分配得到收益為14.50～21.17萬(wàn)元, 科研機(jī)構(gòu)可分配得到收益為6.33～11.17萬(wàn)元.此外, 隨著置信水平λ的取值越大, 收益分配的區(qū)間范圍越小.

當(dāng)前, 合作博弈的Shapley值方法是應(yīng)用最普遍的方法, 但該解是基于可任意結(jié)盟假設(shè), 求解過(guò)程需要得知所有子聯(lián)盟收益值.針對(duì)此類(lèi)情況, 有學(xué)者認(rèn)為若局中人之間無(wú)合作, 其聯(lián)盟收益便是單干收益之和, 即v({1, 3})=v({1})+v({3}), 進(jìn)而利用Shapley值進(jìn)行收益分配.本研究中, 若置信水平λ=1, 基于Shapley值的各局中人具體收益分配為：φ1(v1)=7.5萬(wàn)元,φ2(v1)=15.0萬(wàn)元,φ3(v1)=10.5萬(wàn)元.對(duì)比結(jié)果, AT1(v1,L)<φ1(v1), AT2(v1,L)>φ2(v1), AT3(v1,L)<φ3(v1).可知, A-T解法相比較于Shapley值法, 企業(yè)分配收益有所增加, 而高效和科研機(jī)構(gòu)分配收益有所減少, 這源于企業(yè)的無(wú)可替代地位.此結(jié)論從理論角度解釋為在社會(huì)創(chuàng)新活動(dòng)中, 收益最大的往往是企業(yè)類(lèi)組織.由此可見(jiàn), 局中人在聯(lián)盟中的獲利能力不僅取決于它對(duì)聯(lián)盟收益的邊際貢獻(xiàn), 還取決于在聯(lián)盟中所處的地位, 地位越重要越稀缺其所得分配則越多.

4　結(jié)語(yǔ)

聯(lián)盟組建及其合作行為均基于對(duì)未來(lái)獲利情況的預(yù)判, 因此預(yù)期支付估值由模糊數(shù)替代精確值更為合理可信.本研究針對(duì)合作具有結(jié)盟限制情形, 通過(guò)引入λ截集置信水平研究支付模糊的圖合作博弈, 并給出相應(yīng)的模糊A-T解分配模型, 能有效刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)結(jié)盟情境中的約束性和模糊性.但由于區(qū)間數(shù)運(yùn)算規(guī)則, 模糊解的區(qū)間范圍被不斷擴(kuò)大, 不滿足類(lèi)似于經(jīng)典解的有效性公理.針對(duì)這一問(wèn)題, 定義相對(duì)有效性的概念, 并證明模糊解滿足相對(duì)有效性公理.此外, 由于模糊解是一個(gè)范圍值, 只要清晰聯(lián)盟支付被包含于模糊聯(lián)盟支付中, 那么清晰分配解也一定包含于模糊分配解中.因此, 此解是經(jīng)典A-T解函數(shù)關(guān)于支付函數(shù)的自然模糊延拓推廣.今后將進(jìn)一步根據(jù)實(shí)際問(wèn)題探討更加貼近現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的模糊合作博弈.