大學(xué)物理熱學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)釋疑

鄭文珍

(衢州學(xué)院教師教育學(xué)院，浙江 衢州 324000)

熱學(xué)是理工科大學(xué)物理教學(xué)中的基本內(nèi)容之一[1]，它的基本理論和研究方法對(duì)提高學(xué)生的基本科學(xué)素養(yǎng)、增強(qiáng)邏輯思維和分析判斷能力、深刻把握宏觀世界的微觀機(jī)理等都有著其他課程無可替代的作用;對(duì)現(xiàn)代科技發(fā)展的物理支撐和新技術(shù)、新材料的開發(fā)應(yīng)用也有著十分重要的意義。但由于熱學(xué)內(nèi)容是學(xué)生第一次接觸到用宏觀實(shí)驗(yàn)規(guī)律和微觀統(tǒng)計(jì)理論兩種思維方式處理具體物理問題，概念眾多，思維跳躍性大，看似幾塊獨(dú)立的內(nèi)容而又相互關(guān)聯(lián)、相互制約，要弄清這些問題，對(duì)大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生來說，確實(shí)存在著較大的難度，甚至無所適從。如何解決這個(gè)矛盾，幫助學(xué)生更直觀地明了熱現(xiàn)象的物理本質(zhì)、建立起更明晰的熱物理圖像、突破學(xué)習(xí)中的困惑和難點(diǎn)，也就成了熱學(xué)教學(xué)中一個(gè)十分緊要的問題。在實(shí)際的教學(xué)過程中，筆者針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的困難，在充分強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念理解的同時(shí)，對(duì)部分內(nèi)容作了一定的拓展或延伸，重點(diǎn)釋疑，使學(xué)生能從不同角度理解熱現(xiàn)象的物理本質(zhì)，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)宏觀與微觀之間物理本質(zhì)聯(lián)系的理解，收到了較好效果。下面略舉幾例予以說明。

1　最概然速率vp與最概然動(dòng)能εp的關(guān)系

由麥克斯韋氣體分子按速率分布規(guī)律，在溫度為T的平衡態(tài)下，理想氣體分子的最概然速率vp定義為與速率分布函數(shù)f()v的極大值相對(duì)應(yīng)的速率。它表明，若把氣體分子的速率等間隔劃分，即取Δv一定，則理想氣體在該溫度下分布在vp附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)最多，容易得出[2]

也就是說，與最概然速率vp所對(duì)應(yīng)的分子動(dòng)能為k T。

但由麥?zhǔn)戏植悸?，很容易?dǎo)出氣體分子按動(dòng)能的分布規(guī)律為[3]

比較式(2)和式(4) ，顯見，與最概然速率vp所對(duì)應(yīng)的動(dòng)能ε(vp)并不等于最概然動(dòng)能εp。原因何在？面對(duì)這一矛盾的結(jié)果，學(xué)生往往感到茫然。仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)上述矛盾結(jié)果，其核心就在于是對(duì)哪個(gè)物理量取間隔，亦即是d v還是dε。f(v)是在速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率，是對(duì)速率v取間隔;而f(ε)則是在能量ε附近單位能量區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率，是對(duì)能量ε取間隔。上述兩種分布函數(shù)中的最概然值是對(duì)不同的統(tǒng)計(jì)間隔而言的，因而得出了不同的結(jié)果。所以我們?cè)谟懻摻y(tǒng)計(jì)分布函數(shù)的最概然值時(shí)一定要強(qiáng)調(diào)是對(duì)什么統(tǒng)計(jì)間隔而言的[4]，否則就會(huì)出現(xiàn)理解上的困難或概念上的不自洽。明白了這一點(diǎn)，上述問題也就從根本上得到了解決。

2　對(duì)η=1-的非近似證明

幾乎所有的大學(xué)物理教材在推導(dǎo)卡諾循環(huán)效率時(shí)都是利用理想氣體狀態(tài)方程、熱力學(xué)第一定律及絕熱過程相關(guān)方程得到這種方法物理過程清晰、簡(jiǎn)明易懂，很容易解決教學(xué)上求熱機(jī)效率的方法問題。但細(xì)究起來又出現(xiàn)了一個(gè)疑點(diǎn)：在作上述推導(dǎo)時(shí)都假定了熱容量C和絕熱指數(shù)γ皆為常數(shù)這一條件，但C實(shí)際上是一個(gè)與溫度有很大關(guān)系的物理量[2]。因此，從嚴(yán)格意義上來說上述推導(dǎo)結(jié)果只是一個(gè)近似的結(jié)果。在實(shí)際教學(xué)中，筆者在講述了上述推導(dǎo)方法后，又給出了一個(gè)改進(jìn)的證明，就是在證明過程中只利用熱力學(xué)第一定律和理想氣體狀態(tài)方程，而并不直接出現(xiàn)熱容量C和絕熱指數(shù)γ，從而避免了本是精確結(jié)果卻被近似化的尷尬。

如圖1所示的卡諾循環(huán)，對(duì)1 mol理想氣體，p V=RT，即有p=。在a→b等溫膨脹過程中，系統(tǒng)吸熱，對(duì)外做功。系統(tǒng)吸收的熱量為

在b→c絕熱膨脹過程中，系統(tǒng)內(nèi)能減少，對(duì)外做功，所做的功為Wb→c=u( T1)-u( T2)。在c→d等溫壓縮過程中，外界對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)放熱Q2=|Wc→d|。系統(tǒng)所做功為

圖1　卡諾循環(huán)

在d→a絕熱壓縮過程中，外界對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)內(nèi)能增加。系統(tǒng)做功為Wd→a=u( T2)-u( T1)。

在一個(gè)循環(huán)過程中系統(tǒng)對(duì)外所做凈功為W=Wa→b+Wb→c+Wc→d+Wd→a，故

考慮到絕熱過程b→c和d→a，由式(8)，可得

對(duì)于一個(gè)循環(huán)，其特征是系統(tǒng)的內(nèi)能不變。而在卡諾循環(huán)中，兩個(gè)等溫過程系統(tǒng)的內(nèi)能不發(fā)生改變，所以有

將式(11)代入式(7)，得到

從而由式(12)及式(5)，可得卡諾循環(huán)的效率為

其結(jié)果與各教材結(jié)果一致。

但在以上證明中，因未直接應(yīng)用熱容量C和絕熱指數(shù)γ，故不用考慮具體的隨溫度變化的相關(guān)C和γ值，也就舍去了C和γ不隨溫度變化這一近似性前提，其結(jié)果也就顯得更有說服力。

3　范氏氣體的內(nèi)能和熱容量

在眾多的實(shí)際氣體物態(tài)方程中，范德瓦爾斯方程是最早和最有影響力的實(shí)際氣體物態(tài)方程[8];且因其形式相對(duì)簡(jiǎn)單、物理意義明確而受到廣泛應(yīng)用，并由此建立了低溫物理學(xué)，在今天的節(jié)流效應(yīng)中也有廣泛的應(yīng)用[9]。

對(duì)于1 mol范氏氣體，其物態(tài)方程為

式中，a、b為范氏修正量;v為氣體的摩爾體積。

(1)內(nèi)能

在考慮了氣體分子引力和體積的情況下，范氏氣體在膨脹時(shí)不僅要反抗外力做功，還要克服分子間的內(nèi)引力做功，此內(nèi)引力即為分子之間的吸引力。對(duì)1 mol范氏氣體，其由分子吸引力產(chǎn)生的內(nèi)壓強(qiáng)為當(dāng)氣體膨脹時(shí)，此內(nèi)力所做的功為?W=此功即為勢(shì)能的增量d EP，則

式中C為積分常數(shù)，若取v→∞時(shí)EP=0，則C=0，所以

由于氣體分子作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能只與溫度有關(guān)，故1 mol范氏氣體分子作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與1 mol理想氣體分子的動(dòng)能相同[3]，只由溫度決定，即EK=CV，mT。故對(duì)于1mol范氏氣體，其內(nèi)能為

上式表明，以范氏氣體為代表的實(shí)際氣體的內(nèi)能由溫度T和體積V共同確定，u=u(v ，T)。當(dāng)實(shí)際氣體的內(nèi)能保持不變時(shí)，體積的膨脹必然導(dǎo)致溫度的降低[10]，從而促成了節(jié)流制冷效應(yīng)的實(shí)現(xiàn)。

(2)范氏氣體的熱容量

考慮1 mol范氏氣體，根據(jù)熱力學(xué)第一定律及式(18)，它在一個(gè)物態(tài)變化過程中所吸收的熱量為

在一個(gè)等體過程中，v=常數(shù)，d v=0，故?QV=d u=CV，md T，所以

由式(20)可知，范氏氣體的定體摩爾熱容量CV，m與理想氣體的定體摩爾熱容量相同，是內(nèi)能對(duì)溫度的一階導(dǎo)數(shù)。如果忽略溫度變化對(duì)熱容量的影響，則范氏氣體的定體摩爾熱容量亦為一常數(shù)。

而在定壓情況下，對(duì)于1 mol范氏氣體，?Qp=其定壓摩爾熱容量C，為pm

對(duì)式(14)兩邊取微分，并注意到p=常數(shù)，可得

結(jié)合式 (14)、(22)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得 ?Qp=代入式(21)，從而得到范氏氣體的定壓摩爾熱容量為

式(23)表明，對(duì)于范氏氣體，其定壓摩爾熱容量并不滿足理想氣體所遵從的邁耶公式Cp，m=CV，m+R，也不再是一個(gè)常數(shù)，而是一個(gè)與溫度和體積直接相關(guān)的量，并且與溫度和體積呈現(xiàn)相對(duì)復(fù)雜的非線性關(guān)系。