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    均勻重力場中質(zhì)點在光滑圓柱面上的撓曲線運動

    2018-07-11 02:21:26
    物理與工程 2018年3期
    關(guān)鍵詞:圓柱面重力場質(zhì)點

    李 力

    (重慶清華中學(xué),重慶 400054)

    在理論力學(xué)和分析力學(xué)課程里,通常研究質(zhì)點的平面曲線運動。這些做平面曲線運動的質(zhì)點,多數(shù)被約束在二維平面上,也有一些被約束在二維曲面上。約束在二維曲面上發(fā)生的一般的空間撓曲線運動,卻很少涉及??臻g曲線不僅有彎曲的性質(zhì),而且還有扭轉(zhuǎn)從而離開平面形式的性質(zhì)。前一性質(zhì)用曲率描述,后一性質(zhì)則用撓率刻畫。平面曲線的撓率恒等于零,反之,撓率恒等于零的曲線必是平面曲線。所謂撓曲線,就是撓率不恒為零的曲線[1],這種空間撓曲線運動的處理,不可避免地要用到更多的數(shù)學(xué)方法,比如微分幾何的曲線、曲面論,某些特殊函數(shù)的知識等。

    本文研究了均勻重力場中的質(zhì)點在光滑圓柱面上的撓曲線運動,用牛頓定律或拉格朗日方程推導(dǎo)質(zhì)點的運動微分方程,然后解得質(zhì)點脫離圓柱面的位置滿足的方程以及脫離前的運動時間,最后導(dǎo)出用橢圓積分表示的撓曲線運動軌跡的參數(shù)解析表達式。

    1 質(zhì)點在光滑圓柱面上的運動微分方程

    在如圖1所示的光滑1/4圓柱面以及圓柱坐標系(ρ,φ,z)中,質(zhì)點的初位置在圓柱面的最上端A(R,0,0),初速度v0在過A點的水平切面內(nèi),與Oz軸夾角為α,沿Oz、Oy軸的分速度分別為v1,v2。顯然有初始條件?z0=v1=v0cosα,R?φ0=v2=v0sinα,即

    圖1 質(zhì)點在光滑圓柱面上的撓曲運動

    順便指出,用拉格朗日方程也可以簡便地推導(dǎo)出(3)、(4)兩式,此處不再贅述。

    2 z和?φ的推導(dǎo)

    由式(4)積分,并考慮初始條件,得?z=v1,故

    因?φ>0,故取

    3 脫離位置與脫離時間

    將式(6)代入式(2),并令 N=0、φ=φm,有

    由于在A點不脫離圓柱面,須v2< g R,從而式(3)右端另外,若v=0,則脫離2位置cosφm=,這正是理論力學(xué)課程中熟悉的結(jié)論[3]。

    故式(7)化為

    得到脫離時間

    其中F(k,φ)是勒讓德第一類橢圓積分[4],即而φm由式(8)定出。

    4 運動軌跡方程的解析表達式

    為了得到在圓柱面上的運動軌跡方程,只需在式(10)中作代換T→t,φm→φ,并同式(5)聯(lián)立,即得用橢圓積分表示的撓曲線運動軌跡的參數(shù)解析表達式為

    或者直接寫成

    按照微分幾何曲線論[1],得到運動軌跡在直角坐標系中以時間t為參數(shù)的曲線表達式為

    如果以z為參數(shù),則曲線的參數(shù)方程可寫為

    其中φ(t),φ(z)分別是由式(11)和式(12)所定義的φ與t、φ與z之間的函數(shù)關(guān)系。

    5 結(jié)語

    研究均勻重力場中的質(zhì)點在光滑圓柱面上的撓曲線運動,有一定的理論意義和應(yīng)用價值。本文用牛頓定律或拉格朗日方程推導(dǎo)質(zhì)點的運動微分方程式(2)~(4),然后解得質(zhì)點脫離圓柱面的位置滿足的方程(8)以及脫離前的運動時間式(10),最后導(dǎo)出用橢圓積分表示的撓曲線運動軌跡的解析參數(shù)表達式(11)~(14)。

    因為圓柱面上過A點的沿v0方向的平面截線是橢圓,而式(11)~(14)表明運動軌跡并非橢圓,所以質(zhì)點做撓曲線運動;又由變分法可知,圓柱面上的測地線(即短程線)是螺旋線[5],故質(zhì)點的運動軌跡也不是測地線。另外,用微分幾何可以證明,在只受曲面法向約束力時,質(zhì)點必沿測地線運動[6],而我們討論的本問題還要考慮均勻重力場的作用,因此更為復(fù)雜。由此可以看出,均勻重力場中的質(zhì)點,在任意形狀的光滑曲面上的空間撓曲線運動,求解起來有相當?shù)碾y度,一般而言是不容易得到或者根本不存在解析表達式的。

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