高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐探索

朱斌

摘 要 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生更好的理解初中數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生更好的將理性思維上升為感性思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效。為此，文章結(jié)合湘教版高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)例，具體分析數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐策略，旨在更好的促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；實(shí)踐教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）04-0216-02

數(shù)形結(jié)合思想方法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的解題思想，具體內(nèi)涵是將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言和形象直觀幾何圖形結(jié)合在一起開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)，目的是在代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程中將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀、形象，進(jìn)而更好的促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用范圍很廣，體現(xiàn)在解析幾何、三角函數(shù)、排列組合等方面內(nèi)容。為此，文章對(duì)數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行分析。

一、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)類(lèi)型，數(shù)列問(wèn)題的解答需要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，即在學(xué)習(xí)的過(guò)程中學(xué)生不僅需要掌握各個(gè)數(shù)列公式，而且還需要了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系。比如在湘教版高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著這樣一道數(shù)學(xué)題：“假設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，其中a3=12，S12>0，S13<0，求S1—S12中的最大值，說(shuō)明原因?！苯獯穑焊鶕?jù)題意了解到數(shù)列an是等差數(shù)列，假設(shè)Sn=An2+Bn（A、B分別是常數(shù)，其中A≠0，）解答得出Sn的圖像是分布在二次函數(shù)y=Ax2+Bx上的圖像，圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)題目中給的條件S12>0，S13<0，由此能夠得出y=Ax2+Bx圖像上存在的兩點(diǎn)，分別是（12，S12），（13，S13），它們的位置一般在x軸上上方和下方，同時(shí)能夠得到二次函數(shù)的圖像開(kāi)口朝下，圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，具體圖像如圖1所示，假設(shè)函數(shù)圖像和x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)是（m，0），12

在學(xué)習(xí)這道題目的時(shí)候，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生記住各個(gè)函數(shù)的公式，而且還需要理解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)合思想的應(yīng)用有效解決這個(gè)問(wèn)題。

二、數(shù)形結(jié)合思想在集合學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

集合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，數(shù)學(xué)結(jié)合思想在高中集合學(xué)習(xí)中的應(yīng)用能夠?qū)?nèi)外聯(lián)系問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)確的表達(dá)，提升學(xué)生解答集合問(wèn)題的質(zhì)量和效率?；跀?shù)形結(jié)合思想集合問(wèn)題的解答能夠?qū)?shù)量關(guān)系以方程圖形的方式表現(xiàn)出來(lái)，之后通過(guò)解答方程來(lái)得到答案。在集合類(lèi)型題中，對(duì)于一些解答比較復(fù)雜的題目可以采用拋物線(xiàn)的方式來(lái)解答。比如在湘教版高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有這樣一個(gè)題目：已知有兩個(gè)集合分別是M={（x，y）x2+y2=1，x∈R，y∈R}求解集合M∩N中存在幾個(gè)元素？對(duì)于這種集合類(lèi)型題的解答一般會(huì)選擇簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，即通過(guò)將兩個(gè)方程合并成方程組的形式進(jìn)行解答，在解答之后得到x和y的數(shù)值。這種解題方式比較復(fù)雜。數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用能夠?qū)⒎匠蘹2+y2=1比作一個(gè)圓，將方程x2-y=0表示成一個(gè)拋物線(xiàn)，通過(guò)這種方式能夠題目變成x2+y2=1代表的圓和x2-y=0代表的拋物線(xiàn)之間有幾個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，借助圖形轉(zhuǎn)換方式能夠得到正確答案，提升自己解答問(wèn)題的效率。

另外應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問(wèn)題還有一種方式是指將抽象的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的圖形，能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)集合知識(shí)的直觀理解。和韋恩圖相比，數(shù)軸主要是處理一些比較模糊的集合問(wèn)題在。集合以不等式形式存在的時(shí)候，可以利用數(shù)軸解決他們的交集、并集、補(bǔ)集問(wèn)題。比如已知集合A={x 00，2a<5的結(jié)論，求解之后得到0

三、數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合方法解決不等式問(wèn)題的基本思路是需要寫(xiě)出相應(yīng)不等式代表的函數(shù)，之后畫(huà)出函數(shù)圖形。通過(guò)觀察圖像和坐標(biāo)交點(diǎn)以及圖像和圖像之間的交點(diǎn)解決不等式問(wèn)題。文章以湘教版高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合證明不等式為例具體分析數(shù)學(xué)結(jié)合方法在不等式中的應(yīng)用。有這樣一道題目：假設(shè)關(guān)于x和y的不等式組2x-y+1>0，x+m<0，y-m>0代表的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)p（x0，y0），能夠滿(mǎn)足x0-2y0=2，求m的取值范圍。解答如下：建立平面直角坐標(biāo)系，之后將題目給出的已知條件和結(jié)論以圖形的方式畫(huà)出，在現(xiàn)行的區(qū)域范圍內(nèi)存在m<-2m-1，加上要求可行區(qū)域內(nèi)的直線(xiàn)y=1/2x-1上的點(diǎn)，如果邊界點(diǎn)在直線(xiàn)的上方，那么（-m，m）在直線(xiàn)y=1/2x-1，下方就能夠得到結(jié)論，最終得到不等式組m<-2/3.對(duì)于這道題目的解答，如果解答是從解不等式入手，在具體解答的時(shí)候比較復(fù)雜，通過(guò)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠提升題目解答效率，簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

四、數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法解答三角函數(shù)問(wèn)題主要分為運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求三角函數(shù)的值域、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決有關(guān)三角函數(shù)的證明問(wèn)題幾種類(lèi)型。數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用能夠提升解題效率，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在湘教版高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)中有這樣一道數(shù)學(xué)題：“已知三角函數(shù)y=sinθ+2/cosθ-3，求解值域”，具體解題：將函數(shù)變形為y=sinθ-（-2）/cosθ-3，這個(gè)時(shí)候可以將函數(shù)y看作是一個(gè)固定點(diǎn)M（3，-2）和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)p（cosθ，sinθ）之間連線(xiàn)的斜率k進(jìn)行考慮，假設(shè)x=cosθ，y=sinθ，根據(jù)三角函數(shù)公式sin2θ+cos2θ=1，得到x2+y2=1，得到出動(dòng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)軌跡代表半徑為1的圓，因而能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍箜旤c(diǎn)M和單位圓上任意一個(gè)點(diǎn)p連線(xiàn)斜率k的取值范圍。在整合之后得到方程kx-y-3k-2=0，根據(jù)圖2得出：圓心到直線(xiàn)的距離≤1，列出式子|-3k-2|/〖√k〗^2+（-1）2≤1，求出k的值的集合是函數(shù)的值域，通過(guò)屬性轉(zhuǎn)換，問(wèn)題能夠得到有效解決。

五、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

和代數(shù)的抽象知識(shí)相比，幾何圖形的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)復(fù)雜的情況。為此，在高中幾何圖形教學(xué)中，教師可以適當(dāng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將空間和圖形有效結(jié)合，從而為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供更加的便利，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)解析結(jié)合問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)，應(yīng)用屬性結(jié)合思想解決解析幾何問(wèn)題的時(shí)候要按照以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：第一是應(yīng)用方程代數(shù)式表示題目圖形；第二是對(duì)題目中的方程或者代數(shù)進(jìn)行變形、討論；第三是將方程或者代數(shù)計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀握Z(yǔ)言。比如在湘教版高中數(shù)學(xué)中有這樣一個(gè)題目：已知在坐標(biāo)系中有兩個(gè)圖形，一個(gè)是橢圓，方程表達(dá)是x2/a2+y2/b2=1，一個(gè)是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)0的圓，半徑是〖√a〗^2+b2，橢圓的短軸長(zhǎng)是2，離心率是√6/3，求解橢圓和圓的方程。解答：根據(jù)題意畫(huà)出如圖4所示的圖形，根據(jù)圖形來(lái)尋找解題方式。根據(jù)已知條件得出a=√3，c=√2，求解出橢圓方程和圓的方程。

六、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合解題思想是數(shù)學(xué)解題中常用的解題方法，在具體應(yīng)用中能夠?qū)⒊橄蟮闹R(shí)具體化，降低學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和理解，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，為此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要教師結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，將數(shù)形結(jié)合思想充分應(yīng)用到其中，從而更好的促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]謝添威.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探析[J].文理導(dǎo)航（中旬），2018（02）：17.

[2]李墨涵.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用探討[J].考試周刊，2018（12）：78.

[3]吳濤.初探高中數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（01）：129.