(2+1)維AKNS方程的可積性研究*

郝曉紅 程智龍

(1.安徽信息工程學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部, 蕪湖 241000) (2.蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 蘇州 215009)

引言

近幾十年來,可積系統(tǒng)的研究以及非線性偏微分方程的求解越來越受到一些專家學(xué)者的關(guān)注.一些有效的求精確解的方法不斷被引用,如雙線性方法、齊次平衡法、以及黎曼θ函數(shù)法[1-7]等等.

1996年,Lambert,Gilson,Nimmo建立了多項式與雙線性算子之間的關(guān)系,通過轉(zhuǎn)換關(guān)系得到雙線性變換,這個方法很有效地避免了在求變換過程中使用交換公式繁瑣的計算,簡潔實用.并且直接對其做變換線性化還可以得到方程的Lax對,在此基礎(chǔ)上,我們來研究(2+1)維AKNS方程[8-9]:

4uxt+uxxxy+8uxyux+4uyuxx+αuxx=0

(1)

其中α為一個常數(shù),表示該系統(tǒng)方程具有耗散作用.方程(1)是Ablowitz,Kaup,Newell和Segur(AKNS)他們所發(fā)現(xiàn)的.令y=x,α=0,則(1)可以退化為位勢KdV方程.?zer用improved tanh方法得出其行波解[9],Wazwaz用簡化的雙線性方法得出其孤子解[10].本文應(yīng)用雙多項式系統(tǒng)研究其可積性:如B?cklund變換,孤子解以及Lax對等等.

1 多項式應(yīng)用于AKNS方程

1.1 Bell多項式

設(shè)f=f(x1,x2,…,xn)是具有n個變量的C∞函數(shù),則稱:

Yn1x1,…,nlxl(f)≡Yn1,…,nl(fr1x1,…,rlxl)

(2)

為Bell多項式.其中:

當(dāng)f=f(x,t,y)時,對應(yīng)的(2+1)維Bell多項式為:

Yx,y,t=fx,y,t+fx,yft+fx,tfy+fxfy,t+fxfyft,

在上述定義中,

yn1x1,…,nlxl(v,w)=Yn1,…nl(f)|fn1x1,…,nlxl

則Bell多項式可以表示為函數(shù)具有v和w的形式.

同時y多項式和Hirota雙線性D算子之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

yn1x1,…nlxl(v=lnF/G,w=lnFG)

(3)

其中n1+n2+…nl≥1.而且,當(dāng)F=G時,

(4)

這樣P多項式就可以寫成含q的函數(shù)形式,如:

P2x(q)=P3x,y(q)=q3x,y+3q2xqxy

(5)

由性質(zhì)(4)和(5)就能得出其雙線性形式,接下來將Bell多項式y(tǒng)n1x1,…,nlxl(v,w)分離成P多項式和Y多項式的組合:

=yn1x1,…nlxl(v,w)|v=lnF/G,w=lnFG

=yn1x1,…,nlxl(v,v+q)|v=lnF/G,q=2lnG

Y(n1-r1)x1,…,(nl-rl)xl(v),

(6)

注意:

這意味著一個Bell多項式y(tǒng)n1x1,…,nlxl(v,w)可以通過Hopf-Cole變換v=lnψ(即ψ=F/G)進行線性化.

1.2 雙線性表達式

為了能夠得出方程(1)的雙線性形式,首先引入一個變量q,使得:

u=cqx+φ(y)

(7)

在這里c=c(t)是關(guān)于變量t的任意函數(shù).將(7)代入(1),則可得如下形式:

+4(qxyq3x+4φ(y))q3x+αq3x=0

(8)

其中φ(y)′=φ(y),再對x積分一次得:

(9)

(10)

(11)

因此,(10)化為:

(12)

由定義(3),(11)與(12)就可以寫成如下P-多項式的形式:

P4x(q)-Pxz(q)=0

(4φ(y)+α)P2x(q)=0

(13)

最后,由于性質(zhì)(4)如果做變換:

q=2lnG?u=cqx+φ(y)=(lnG)x+φ(y)

(14)

則(13)可以化為如下AKNS方程(1)的雙線性形式:

(15)

其中φ(y)為任意的函數(shù),這是一個新的雙線性方程.

1.3 B?cklund變換,孤子解與Lax對

設(shè)q與q′為(12)的兩個不同的解

q=2lnF,q′=2lnG

(16)

類似,引入兩個新變量:

(17)

考慮如下二分離條件:

E(q′)-E(q)=E(v+w)-E(w-v)

=8vxt+2v3x,y+4w2xvx,y+4wx,yv2x+

R(v,w)=0

(18)

其中:

R(v,w)=2w2xvxy-2w3xvy-4w2x,yvx-4vxv2xvy-

很顯然,(18)是方程(12)的兩個不同的解q和q′之間的關(guān)系.這二分離條件可以被認為是在一個附加的約束條件下轉(zhuǎn)化為B?cklund變換.

為了能夠使R(v,w)化為含有對x偏導(dǎo)的y-多項式,則需要取一個特定約束為:

(19)

其中λ為任意常數(shù),則在約束條件(19)下,R(v,w)可以化為如下形式:

R(v,w)=2w2xvxy-2w3xvy-4w2x,yvx-

(20)

在此我們應(yīng)用了如下關(guān)系:

結(jié)合(18)～(20),我們得到一個含y-多項式的組合:

y2x(v,w)-λ=0,

?x[4yt(v)+y2x,y(v,w)+(4φ(y)+α)yx(v)+

3λyy(v)]=0

(21)

對第二個方程中得變量x積分一次,有性質(zhì)(3),得到了方程(15)的雙線性B?cklund變換:

(22)

通過此BT,我們可以很容易的求出其孤子解.接下來我們以一孤子解與二孤子解為例.

(23)

(24)

這對應(yīng)著方程(1)的一孤子解,其一孤子解為:

(25)

其中φ(y)′=φ(y)

如果取φ(y)=ly,則其一孤子解為:

(26)

這與[10]中的(33)式取得結(jié)果一致.

(27)

其中:

令:

G2=1+eη1+eη2+eη1+η2+A12

(28)

這與二孤子解對應(yīng):

u=ln[1+eη1+eη2+eη1+η2+A12]xφ(y)

(29)

為了能夠描述函數(shù)φ(y)對AKNS方程的波動傳播所造成的影響,我們以一孤子解與二孤子解為例,圖1與2中函數(shù)φ(y)分別取:φ(y)=sin(y),sech(y),tanh(y).

圖1 一孤子解在(x,y)軸上分別取參數(shù):(a)t=1,k=0.3,φ(y)=sin(y),(b)t=2,k=0.3,φ(y)=sech(y), (c)t=2,k=0.3,φ(y)=tanh(y)Fig.1 Selection of the parameters in the axis of x and y for onesoliton solution, where (a)t=1,k=0.3,φ(y)=sin(y), (b)t=2,k=0.3, φ(y)=sech(y), (c)t=2,k=0.3,φ(y)=tanh(y)

圖2 二孤子解在(x,y)軸上分別取參數(shù):(a)t=1,k1=-0.5,k2=0.2,φ(y)=sin(y), (b)t=2,k1=-0.5,k2=0.2,φ(y)=sech(y), (c)t=2,k1=-0.5,k2=0.2,φ(y)=tanh(y)Fig.2 Selection of the parameters in the axis of x and y for twosoliton solution, where (a)t=1,k1=-0.5,k2=0.2, φ(y)=sin(y), (b)t=2, k1=-0.5,k2=0.2, φ(y)=sech(y),(c)t=2, k1=-0.5,k2=0.2, φ(y)=tanh(y)

由Hopf-Cole變換v=lnψ

(30)

參照(30),則(21)可以化為一組Lax表示:

Lψ=0

Mψ=0

(31)

其中:

(32)

Lψ=ψxx+(2ux-λ)ψ=0

Mψ=4ψt+(4uy+α)ψx+(2ux+3λ)ψy+ψxxx=0

(33)

很容易驗證其相容性條件:

[L,M]=4uxt+uxxxy+8uxyux+4uyuxx+αuxx=0

(34)

此即為AKNS方程(1).

2 結(jié)論

本文應(yīng)Bell多項式方法,研究了一類(2+1)維AKNS方程的可積性問題:通過引入變換得出AKNS方程的雙線性表達式以及B?cklund變換,同時得出其孤子解,且用圖描繪出不同函數(shù)的孤子解,說明AKNS方程在不同函數(shù)的作用下其具有不同形式的形狀.最后給出其Lax對,通過Lax對可以推導(dǎo)出方程,從而證明了AKNS方程的可積性.

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