含微結(jié)構(gòu)二維固體中非對(duì)稱孤立波的存在條件*

王德鑫 那仁滿都拉

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院, 通遼 028043)

引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,非線性物理在實(shí)際應(yīng)用中越來(lái)越受到重視,孤立波作為非線性物理的一個(gè)重要分支也體現(xiàn)出了很高的研究?jī)r(jià)值.近年來(lái)人們研究發(fā)現(xiàn)微結(jié)構(gòu)固體中傳播的孤立波對(duì)微結(jié)構(gòu)固體材料的無(wú)損檢測(cè)具有重要意義.由于受科學(xué)技術(shù)手段的限制,在高維系統(tǒng)中孤立波的形成與傳播問(wèn)題的研究具有相當(dāng)?shù)碾y度,因此大部分研究都集中在一維情況下的控制方程[1-7].文獻(xiàn)[8]中通過(guò)計(jì)算,給出了一維場(chǎng)中的孤立波傳播模型,并說(shuō)明該系統(tǒng)所描述的孤立波具有非對(duì)稱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).文獻(xiàn)[9]利用平面動(dòng)力系統(tǒng)定性分析的方法,證明在微結(jié)構(gòu)固體中當(dāng)介質(zhì)中的參數(shù)和孤立波的速度滿足一定條件下,受微尺度非線性效應(yīng)的影響可以形成非對(duì)稱和對(duì)稱的孤立波. 文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)出了二維Mindlin介質(zhì)中波傳播的控制方程,在不同初始條件下,利用數(shù)值模擬的方法給出了相應(yīng)結(jié)果.

本文首先依據(jù)文獻(xiàn)[10]的研究工作,并根據(jù)Mindlin微結(jié)構(gòu)理論重新推導(dǎo)含微結(jié)構(gòu)的二維固體中波傳播的控制方程.然后利用行波變換,把復(fù)雜的非線性偏微分方程組簡(jiǎn)化為一非線性常微分方程.最后利用相圖分析方法和數(shù)值方法對(duì)孤立波的存在條件進(jìn)行討論、分析和驗(yàn)證.

1 控制方程

依據(jù)文獻(xiàn)[10]的研究,對(duì)含微結(jié)構(gòu)的二維固體控制方程的建立要基于兩個(gè)向量場(chǎng),即宏觀位移向量U(x,y,t)=u(x,y,t)i+v(x,y,t)j和微觀形變向量Θ(x,y,t)=ψ(x,y,t)i+φ(x,y,t)j,其中x,y是空間坐標(biāo),t是時(shí)間.本文只考慮正應(yīng)變,忽略微觀層面上的剪切應(yīng)變.因此,微結(jié)構(gòu)固體中縱波傳播的二維運(yùn)動(dòng)方程為[10]:

ρUtt=·σ+b

IΘtt=·η+τ

(1)

其中,U表示宏觀位移,σ表示宏觀應(yīng)力,b表示外部體力,Θ表示微形變,η表示微觀應(yīng)力,τ表示相互作用力,ρ和I分別表示的宏觀質(zhì)量密度和微慣性,它們可分別表示為

A6uxψ+A7uyφ+B6vxφ+B7vyψ+

(2)

利用自由能函數(shù),計(jì)算出σ,b,η和τ,并代入運(yùn)動(dòng)方程(1)可得:

(3)

為了把方程組(3)無(wú)量綱化,引入無(wú)量綱變量:

x=LX,y=LY,u=LU,v=LV,t=LT/c0,

δ=l2/L2

(4)

這時(shí)方程組(3)變?yōu)橄铝袩o(wú)量綱方程：

UTT=a1UXX+b1UYY+λ0VXY+c1ψX+

VTT=a2VXX+b2VYY+λ0UXY+c2φX+d2ψY,

δψTT=δa3ψXX+δb3ψYY+δλ1φXY-c3UX-

δφTT=δa4φXX+δb4φYY+δλ1ψXY-c4VX-

d4UY-e2φ,

(5)

其中的系數(shù)通過(guò)計(jì)算可以得到,部分系數(shù)關(guān)系如下：

(6)

分別把ψ和φ按照δ1/2的冪級(jí)數(shù)展開,再利用從屬原理[11]可得到:

(7)

(8)

把(7)和(8)式代入方程(5),并忽略高階小項(xiàng),可得到關(guān)于位移U和V的控制方程

(9)

2 行波變換

對(duì)控制方程(9)進(jìn)行如下行波變換:

V(x,y,t)=v(k1x+k2y-ωt),

U(x,y,t)=u(k1x+k2y-ωt),

ξ=k1x+k2y-ωt

則方程(9)變?yōu)?

vξξ=Fuξξ

整理得:

(10)

式中α1=(A-BF)/C,α2=E/C,α3=D/C.對(duì)方程(10)做變換uξ=ω,再對(duì)ξ積分一次可得:

ω2+α1ω+2α2ωξωξξ+α3ωξξ=0

(11)

求出方程(11)的精確解比較困難,故先求出微尺度非線性效應(yīng)為零(即α2=0)時(shí)的精確解.利用求解非線性方程的函數(shù)展開方法,求解可得

(12)

3含微結(jié)構(gòu)二維固體中非對(duì)稱孤立波的存在條件及證明

令ω=x,xξ=y以把上述方程(11)改寫為下面的平面系統(tǒng):

(13)

為了避免該系統(tǒng)中的奇直線y=-α3/2α2對(duì)相圖分析帶來(lái)的困難,做如下變換：

dξ=(2α2y+α3)dτ

在此變換下,系統(tǒng)(13)就變成二維Hamilton系統(tǒng)：

(14)

對(duì)系統(tǒng)(14)進(jìn)行首次積分,得到相應(yīng)的Hamilton函數(shù)：

(15)

在拓?fù)湟饬x下,除奇直線外,系統(tǒng)(13)和系統(tǒng)(14)有相同的相圖,所以只需要研究系統(tǒng)(14)相圖就可以了解系統(tǒng)(13)的相圖分布.可知系統(tǒng)(14)有下列幾個(gè)平衡點(diǎn)：(0,0),(-α1,0),(0,-α3/2α2)和(-α1,-α3/2α2).設(shè)E(x,y)為系統(tǒng)的任一平衡點(diǎn),J(x,y)表示系統(tǒng)(14)在平衡點(diǎn)E(x,y)處的Jacobi行列式的取值,該點(diǎn)的系數(shù)行列式用M(x,y)表示,則：

J(x,y)=detM(x,y)=(2x+α1)(4α2y+α3)

平面動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析理論表明,對(duì)于任意平衡點(diǎn)E(x,y)而言,當(dāng)J(x,y)<0時(shí),平衡點(diǎn)E(x,y)是鞍點(diǎn)；當(dāng)J(x,y)>0且跡T(M(x,y))=0時(shí),平衡點(diǎn)E(x,y)是中心點(diǎn)；當(dāng)J(x,y)=0且其Poincare指數(shù)為零時(shí),平衡點(diǎn)E(x,y)是尖點(diǎn).下面按A0的不同取值,分兩種情況討論：

情況1在A0=0的情況下,當(dāng)α1與α3異號(hào)時(shí)平衡點(diǎn)(-α1,-α3/2α2)和(0,0)是鞍點(diǎn),(-α1,0)和(0,-α3/2α2)是中心點(diǎn).此時(shí),通過(guò)相圖分析可以得出以下結(jié)論：

圖1 系統(tǒng)相圖與非對(duì)稱孤立波解(a)當(dāng)α1=0.9、α2=0.2、α3=-0.5時(shí)系統(tǒng)(13)的相圖和(b)存在微尺度非線性效應(yīng)時(shí)的孤立波(實(shí)線)與孤立波(12)(點(diǎn)線)的比較Fig.1 Phase diagram of system and asymmetric solitary wave solution(a)Phase diagram of system (13) when α1=0.9、α2=0.2、α3=-0.5; (b)Comparison of formed solitary wave presence of microscale nonlinear effect (solid line) and solitary wave(12) (dotted line)

由動(dòng)力系統(tǒng)的同宿軌道與偏微分方程的孤立波解之間的關(guān)系可知,此同宿軌道是滿足邊界條件|ξ|→∞,ω,ωξ,ωξξ→0的鐘型孤立波解.因此,可得到下面的結(jié)論1.

圖2 系統(tǒng)相圖與非對(duì)稱孤立波解(a)當(dāng)α1=-1、α2=0.6、α3=1.2時(shí)系統(tǒng)(13)的相圖和(b)存在微尺度非線性效應(yīng)時(shí)的孤立波(實(shí)線)與孤立波(12)(點(diǎn)線)的比較Fig.2 Phase diagram of system and asymmetric solitary wave solution(a)Phase diagram of system (13) when α1=-1、α2=0.6、α3=1.2; (b)Comparison of formed solitary wave presence of microscale nonlinear effect (solid line) and solitary wave(12) (dotted line)

2)由相圖2(a)可以看出,當(dāng)A0=0,α1<0,α3>0時(shí),在相平面上同樣存在一條不被奇直線分割的同宿軌道.它是從鞍點(diǎn)(0,0)出發(fā),繞中心點(diǎn)(0,-α3/2α2)又回到鞍點(diǎn)的同宿軌道.它位于y軸的右側(cè),相對(duì)x軸也是非對(duì)稱的.同理可得這一同宿軌道存在時(shí)需要滿足的條件：

同樣,根據(jù)平面動(dòng)力系統(tǒng)同宿軌道與偏微分方程的解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得到結(jié)論2.

3)由平面動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析理論可知,在其他條件下,在含微結(jié)構(gòu)的二維固體中不可能存在滿足邊界條件|ξ|→∞,ω,ωξ,ωξξ→0的孤立波.

情況2在A0=-α1的情況下,當(dāng)α1與α3同號(hào)時(shí)平衡點(diǎn)(0,-α3/2α2)和(-α1,0)是鞍點(diǎn),(-α1,-α3/2α2)和(0,0)是中心點(diǎn). 此時(shí),通過(guò)分析相圖結(jié)構(gòu)可得出以下結(jié)論：

1)由相圖3(a)可以看出,當(dāng)α1>0,α3>0時(shí),相平面上存在一條從鞍點(diǎn)(0,-α3/2α2)出發(fā)繞中心點(diǎn)(0,0)又回到該鞍點(diǎn)且不被奇直線分割的同宿軌道,它存在于原點(diǎn)周圍,與x軸非對(duì)稱.此同宿軌道存在時(shí)所要滿足的條件是：

因此,可得到如下結(jié)論：

圖3 系統(tǒng)相圖與非對(duì)稱孤立波解(a)當(dāng)α1=1、α2=0.6、α3=1.2時(shí)系統(tǒng)(13)的相圖和(b)存在微尺度非線性效應(yīng)時(shí)的孤立波(實(shí)線)與孤立波(12)(點(diǎn)線)的比較Fig.3 Phase diagram of system and asymmetric solitary wave solution(a) Phase diagram of system (13) when α1=1、α2=0.6、α3=1.2; (b)Comparison of formed solitary wave presence of microscale nonlinear effect (solid line) and solitary wave(12) (dotted line)

于是,可得到結(jié)論4.

圖4 系統(tǒng)相圖與非對(duì)稱孤立波解(a)當(dāng)α1=-0.9、α2=0.2、α3=-0.5時(shí)系統(tǒng)(13)的相圖和(b)存在微尺度非線性效應(yīng)時(shí)的孤立波(實(shí)線)與孤立波(12)(點(diǎn)線)的比較Fig.4 Phase diagram of system and asymmetric solitary wave solution(a) Phase diagram of system (13) when α1=-0.9、α2=0.2、α3=-0.5; (b)Comparison of formed solitary wave presence of microscale nonlinear effect (solid line) and solitary wave(12) (dotted line)

3)由平面動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析理論可知,在其他條件下,在含微結(jié)構(gòu)的二維固體中不可能存在滿足邊界條件:|ξ|→∞,ω→A0,ωξ,ωξξ→0的孤立波.

4 結(jié)論

本文在文獻(xiàn)[10]工作的基礎(chǔ)上,根據(jù)Mindlin微結(jié)構(gòu)理論重新建立了含微結(jié)構(gòu)的二維固體中波傳播的控制方程.利用行波變換,把復(fù)雜的非線性偏微分方程組簡(jiǎn)化為一非線性常微分方程,并利用動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析方法和數(shù)值方法,分析了含微結(jié)構(gòu)的二維固體中孤立波的存在條件和幾何特征,進(jìn)而證明了在適當(dāng)條件下含微結(jié)構(gòu)的二維固體中可以形成非對(duì)稱的鐘型孤立波和非對(duì)稱的反鐘型孤立波. 含微結(jié)構(gòu)的二維固體中非對(duì)稱鐘型孤立波的存在,對(duì)于微結(jié)構(gòu)固體材料的無(wú)損檢測(cè)提供了更具實(shí)際的理論依據(jù),進(jìn)一步增強(qiáng)了孤立波可用于對(duì)固體材料進(jìn)行無(wú)損檢測(cè)的可能性[12,13].

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