數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效方法探析

劉啟洪

（羅定中學(xué)，廣東 羅定 527200）

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識和能力，發(fā)掘?qū)W生創(chuàng)造潛力的教育。教師在日常教學(xué)過程中，通過采用有效的教學(xué)方法，加強(qiáng)學(xué)生思想方法、思維能力的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教育所要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣

（一）學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中存在的典型問題

鳳凰衛(wèi)視著名主持人邱震海先生曾談到：“當(dāng)代年輕人最大的問題就是很多人還沒有意識到，他們身上的行為方式是有問題的，這是最大的問題。只要越來越多的人有這個意識，我們下一步的事情就比較好做?！币虼?，在教學(xué)過程中教師應(yīng)該多觀察，多與學(xué)生交流，找出學(xué)生存在的問題，并讓學(xué)生明白問題所在才是最重要的。現(xiàn)階段學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要存在以下幾個方面的問題：（1）記憶達(dá)不到要求；（2）對數(shù)學(xué)不感興趣，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有畏難情緒；（3）意志力薄弱，不能持久學(xué)習(xí)；（4）知識量儲存較大，但不能有效提取；（5）數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力較為欠缺。

對于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中存在的以上問題，我們應(yīng)對癥下藥，有針對性地對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，在教學(xué)中有目的、有計(jì)劃地開展教學(xué)活動。同時讓學(xué)生認(rèn)識到自己的不足之處，努力克服自身的缺點(diǎn)，不斷提高數(shù)學(xué)成績。

（二）重視數(shù)學(xué)問題本身的價(jià)值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性價(jià)值

問題，是數(shù)學(xué)已有理論體系中通過思維的內(nèi)部整理而反映出來的思維結(jié)果，恰到好處的問題不僅可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也是學(xué)生智慧生成的門戶。數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“拿一個有意義但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，通過這道題就像通過一道門戶，把學(xué)生引入到一個完善的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。”因此，教師在教學(xué)中可以選擇有價(jià)值的問題進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、討論、反思、總結(jié)并弄清問題本質(zhì)，提煉出數(shù)學(xué)思想，再進(jìn)一步進(jìn)行創(chuàng)造性應(yīng)用。香港中學(xué)數(shù)學(xué)教材有這樣一道例題：某企業(yè)有5個股東，100名工人，年底公布了公司的經(jīng)營業(yè)績，具體如表1所示。

表1 公司經(jīng)營業(yè)績情況表

圖1 股東和員工工資總額增長情況

圖2 股東和員工工資增長率變化情況

圖3 股東和員工工資增長對比

從上述圖表看，顯然表1和圖1為老板所畫，反映了股東紅利總額、工人工資總額與時間的函數(shù)關(guān)系，表示“有福同享，有難同當(dāng)，股東紅利與工人工資平行增長”。圖2為公司工會主席所畫，反映了股東紅利增長率，工人工資增長率與時間的函數(shù)關(guān)系，顯示“股東利潤增長較快，工人工資增長相對較慢”。圖3為工人所畫，直觀反映了“股東的人均紅利從1萬元增至2萬元，人均凈增1萬元；而工人的工資從1 000元增至1 500元，人均凈增僅500元。股東的平均收益遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于工人的工資增長，收入差距太大，工資太低了”。以上3種說法，都源于同一數(shù)據(jù)表，沒有造假，且都符合數(shù)學(xué)原理。教師用此題引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的一次函數(shù)知識，解釋企業(yè)中說法不一而又各自有理的現(xiàn)象，比起常見的“雞兔同籠”更具現(xiàn)實(shí)意義。此題不僅增進(jìn)了學(xué)生對函數(shù)知識的理解和掌握，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。這類題能讓學(xué)生在對所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生濃厚興趣的情況下，注意力更加集中，從而更容易接受并牢固掌握新知識，便于其靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題。

二、培養(yǎng)學(xué)生的主體能動性，使之獲得成功的體驗(yàn)

教學(xué)活動要盡量做到多向交流，讓成功的學(xué)生保持成功的心態(tài)，以利于獲得更大的成功；同時，要讓成功的學(xué)生去感染信心不足的學(xué)生，激發(fā)其實(shí)現(xiàn)和獲得成功的愿望。具體做法如下：一是鼓勵學(xué)生多提出問題，通過解決問題會讓學(xué)生理清模糊概念，清除知識障礙；二是要積極肯定學(xué)生，學(xué)生每完成一個學(xué)習(xí)任務(wù)，都需要花費(fèi)一定時間和精力，教師的積極肯定，能使學(xué)生獲得自我實(shí)現(xiàn)的喜悅，從而在心理上提升對學(xué)習(xí)的需求。學(xué)生有了心理上的需求，才有心理上的參與，才能達(dá)到行為上的參與。

（一）培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能，掌握解題方法，讓學(xué)生體會解題成功的喜悅

學(xué)生解題能力不強(qiáng)，且缺乏數(shù)學(xué)解題技能，因此，在日常教學(xué)中，教師要重視對學(xué)生基本數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)。如果將解題過程比作珍珠項(xiàng)鏈，那么概念、公式、法則、定理等同于珍珠，而數(shù)學(xué)解題技能就是將“珍珠”串起來的線。我們要通過教學(xué)教會學(xué)生取得將“珍珠”串起來的“線”。解題不僅是對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行反復(fù)運(yùn)用的過程，同時也是形成數(shù)學(xué)技能的過程。學(xué)生在實(shí)際探索中遇到問題，并越過障礙，思維才會暢通，其思維能力與水平才能提高，數(shù)學(xué)技能得到有效提升，才能給學(xué)生以“數(shù)學(xué)美”的感受。

筆者認(rèn)為，探究數(shù)學(xué)定理的二級結(jié)論，有利于培養(yǎng)學(xué)生解題的技能，也有助于提高學(xué)生的解題速度。以下是筆者在某次限時訓(xùn)練中選用的1道練習(xí)題。

例1 已知點(diǎn)F1,F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在點(diǎn)P與點(diǎn)F2關(guān)于直線對稱，則該雙曲線的離心率為（ ）。

方法1 如圖4，與漸近線垂直的直線F2Q可設(shè)為聯(lián)立方程，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為PF2中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知點(diǎn) P在 雙 曲 線上，即化簡后可得e=。

圖4 示意圖

用此種方法運(yùn)算較為繁瑣，要求學(xué)生具備扎實(shí)的基本功和較高的運(yùn)算求解能力，大部分同學(xué)達(dá)不到此要求。

方法2 可先求出點(diǎn)F2(c,0)到直線的距離可得 |PF1|=2a,由雙曲線定義知 |PF2|- |PF1|=2b-2a=2a,即b=2a,b2=4a2,c2=5a2,e=。

對比這兩種方法,方法2簡捷很多。在方法2基礎(chǔ)上對本題進(jìn)一步研究，還可以歸納出兩個有用的二級結(jié)論。

結(jié)論1 由焦點(diǎn)向漸近線引垂線，焦點(diǎn)到漸近線的距離為b,垂足到原點(diǎn)的距離為a。

結(jié)論2 由焦點(diǎn)向漸近線引垂線，垂足在雙曲線的準(zhǔn)線上。

例2 （2014新課標(biāo)）已知F是雙曲線C:x2-my2=3m(m＞0)的一個焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為（ ）。

顯然，將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，再利用二級結(jié)論“雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長b”，可以直接得到答案A，可見利用二級結(jié)論解題方便又快捷。

（二）培養(yǎng)學(xué)生“閱讀、表達(dá)、動手、反思”的習(xí)慣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

“閱讀”是指閱讀數(shù)學(xué)課本，通過閱讀體會定義的形成過程，能夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)，使學(xué)生能從別人的成果里發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。

“表達(dá)”是指使用數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力。就目前而言，學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力較差，從筆者參加的2012年高考數(shù)學(xué)閱卷情況看，學(xué)生在答題表述方面存在較多問題。鑒于此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)多給學(xué)生到黑板前演示的機(jī)會，讓學(xué)生將所能想到、能解決的步驟寫到黑板上，供同學(xué)們一起交流，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的書寫表達(dá)習(xí)慣。

“動手”是指讓學(xué)生自己積極參與數(shù)學(xué)問題的探討或動手制作一些數(shù)學(xué)模型、教具，甚至做一些建筑物的測量。例如：讓學(xué)生利用所學(xué)的正余弦定理測量河對岸兩建筑物之間距離，這既讓學(xué)生體會到正余弦定理的工具作用，又體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)建模成功的喜悅；又如，在學(xué)生動手做正四棱錐的過程中，學(xué)生能很容易體會到其正視圖的邊長就是四棱錐的斜高。

“反思”是指學(xué)生經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，對所學(xué)及收獲的知識進(jìn)行學(xué)習(xí)反思。教師要鼓勵學(xué)生對解題的思路、解題的方法、涉及的知識點(diǎn)等進(jìn)行反思，使其能積累解題的經(jīng)驗(yàn)，能形成對解決同類題目的解題技巧。

（三）建立學(xué)習(xí)互助小組，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和團(tuán)隊(duì)意識

具體說來可以這樣操作：以“二二二”形式，即兩名優(yōu)等生、兩名中等生、兩名后進(jìn)生互相搭檔。為方便探討，可以按就近原則編排小組。要求各小組成員要積極主動合作。不能只是流于形式，全體小組成員都要動手動腦，主動幫扶那些知識理解不透徹的同學(xué)。美國緬因州國家實(shí)驗(yàn)室經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)得出一個被稱作“學(xué)習(xí)金字塔”的研究成果。研究成果指出，聽講、閱讀、聲音、圖片、示范、演示等被動學(xué)習(xí)的東西兩周以后平均留存率低，而小組討論、實(shí)際演練、做中學(xué)、馬上應(yīng)用、教別人等主動學(xué)習(xí)的東西兩周以后的留存率較高，所以教師要促成學(xué)生主動學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在做中學(xué)、學(xué)中教，學(xué)會后馬上應(yīng)用知識教其他學(xué)生，優(yōu)勢互補(bǔ)，以此達(dá)到共同進(jìn)步。通過這種方法，后進(jìn)生在同伴的幫助下更容易取得較大的進(jìn)步。

三、以身傳教，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范答題意識，鞏固學(xué)習(xí)成果

（一）利用“樸素衣柜原理”，認(rèn)識將數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化的重要性

在日常教學(xué)中，個別教師只是不斷地往學(xué)生腦子里灌輸知識，而沒有教學(xué)生如何梳理、歸納知識，這往往讓學(xué)生在考試時對知識的提取出現(xiàn)問題，很多曾經(jīng)學(xué)過的知識也提取不出來，導(dǎo)致解題失敗。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識的傳授可以從“樸素衣柜原理”中找到靈感：將春夏秋冬的衣物分衣柜存放，與四季衣物一起存放相比，哪個更容易提取？答案無疑是前者。因此，教師應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會將知識系統(tǒng)化，這樣學(xué)生在考試時就容易將知識提取出來。

以下是我在處理數(shù)列與不等式問題時所選用的例題，在教學(xué)時，我們可以幫助學(xué)生歸納以下兩種主要的模式。

例3 求證

分析 n=1時成立;n≥2時，對進(jìn)行適當(dāng)放縮即可化為可裂公式命題得證。

例4 （2012廣東改編）對an=3n-2n,求證

分析 對an=3n-2n,n=1時，不等式成立；n≥2時，往等比數(shù)列方向進(jìn)行放縮；an=3n-2n=3n-1+2(3n-1-2n-1)＞3n-1,即

命題得證。

筆者認(rèn)為，幫助學(xué)生歸納數(shù)列與不等式問題時，主要應(yīng)從兩個方向入手，方向1放縮到可裂公式，再用裂項(xiàng)相消求和即可；方向2：放縮為等比數(shù)列，再用等比數(shù)列求和即可。除了以上兩種模型外，進(jìn)一步歸納梳理還有以下一些常用的放縮結(jié)論：

教師幫助學(xué)生對知識進(jìn)行條理化梳理、歸納，學(xué)生便可以快速提取知識，有效解決放縮法問題。

（二）抓規(guī)范，促運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)得分意識

數(shù)學(xué)是邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)感悟總是與學(xué)習(xí)的規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)聯(lián)系在一起的。在教學(xué)過程中，教師要對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動進(jìn)行嚴(yán)格要求，要講清楚數(shù)學(xué)規(guī)范解答的作用和意義，要指導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)規(guī)范的行為、培養(yǎng)規(guī)范作答的好習(xí)慣。從高考閱卷經(jīng)驗(yàn)來看，無論高考題難易，高考的評分標(biāo)準(zhǔn)都會充分為考生考慮，同時我們也看到，考生往往會在答題規(guī)范和表述方面失分較多，考生缺乏相應(yīng)的得分意識，因此要特別重視考生的規(guī)范作答，如符號規(guī)范、說理規(guī)范等。在解答題方面，教師在日常教學(xué)中，就應(yīng)力求學(xué)生規(guī)范作答。此外，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范作答的能力需要一個過程，教師在上課時板書要詳細(xì)，語言表達(dá)要和板書進(jìn)行合理對接，讓學(xué)生從教師的語言和板書中獲得思維語言與動作語言對接的感受，從而獲取規(guī)范作答的經(jīng)驗(yàn)。

（三）悉心輔導(dǎo)，耐心批改

學(xué)生對新學(xué)的知識較易忘記，對新公式、新定理不能靈活運(yùn)用。對容易混淆的知識點(diǎn)，在課后教師應(yīng)多提醒，在時間允許的情況下，教師要對部分學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行面對面批改，指出錯誤及表達(dá)不夠規(guī)范的地方，并幫助他們梳理知識。另外，現(xiàn)場輔導(dǎo)可以讓學(xué)生把握方向，調(diào)整學(xué)習(xí)策略，讓他們在層次分明的練習(xí)中歸納知識、融會貫通，這樣學(xué)生的基礎(chǔ)得到了夯實(shí)，學(xué)習(xí)成績就會逐步提高。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)該學(xué)會綜合運(yùn)用多種方法激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，進(jìn)而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

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