淺析初中數(shù)學(xué)最短路徑問題

徐根寶

在我校八年級最近組織的一次考試中數(shù)學(xué)試卷上有這樣一道題：

問題：如圖1，在長方形ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC上兩個動點(diǎn)且PQ=2，當(dāng)BP=________時，四邊形APQE的周長最短。

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本題對學(xué)生來說，有一定難度，得分率較低，分析學(xué)生失分的主要原因在于學(xué)生未能完全領(lǐng)會一個很重要的數(shù)學(xué)模型——飲馬問題，即求最短路徑問題。

新課標(biāo)理念下的數(shù)學(xué)命題出現(xiàn)了改革創(chuàng)新的趨勢，許多幾何問題源自于書本知識的延伸和拓展，解決此類問題，要求學(xué)生熟練掌握書本上的知識，在此基礎(chǔ)上獲得解題途徑。

為此，我對本題進(jìn)行了一番分析、探究和歸納，以期在以后的教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生突破難點(diǎn)，順利解決問題。

1.知識儲備

（1）軸對稱；（2）兩點(diǎn)之間線段最短；（3）垂線段最短。

2.分析問題

找原型：如圖2，直線l外有不重合的兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得AC+BC的長度最短。

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解題過程：作出B點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，利用軸對稱性質(zhì)可得CB′=CB，這樣問題轉(zhuǎn)化為C點(diǎn)在何處時AC與CB′的和最小，由兩點(diǎn)之間線段最短可知C點(diǎn)在AB所連的線段與l的交點(diǎn)處時，AC+CB′有最小值。

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上述解法告訴我們，要在A、B以外的直線l上找一點(diǎn)C，使得AC+BC最短，只需利用軸對稱變換，將A、B中的一點(diǎn)A（或B）對稱變換為A′（或B′），連接A′B交l于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)。

3.解決問題

在AD上截取線段AF=PQ=2，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)Q作FQ的平行線交BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)G作BC的平行線交DC的延長線于H，如圖4。

∵ GF=DF=6

EH=2+4=6=GH

∠B=90°

∴ △GEH是等腰直角三角形

∴ ∠GEH=45°

設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x

在△CQE中，∵ ∠QCE=90°，∠CEQ=45°

∴ CQ=CE即6-x=2，得x=4

∴ 當(dāng)BP=4時，四邊形APQE的周長最短。

4.拓展與延伸

如圖5，在直角坐標(biāo)系中有四個點(diǎn)A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D（n，0）。要使四邊形ABCD的周長最短：

（1）在圖中作出符合要求的C、D兩點(diǎn)。

（2）求出m、n的值。

分析：要使四邊形ABCD的周長最短，由于AB長為定值，故只要求BC+CD+AD的和最小時，四邊形ABCD的周長最短，與前文所述問題一致，我們只要設(shè)法將BC、CD、AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上即可。

解：分別作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′交x軸、y軸于D、C兩點(diǎn)，則AD=A′D，BC=B′C

∴ BC+CD+AD=B′C+CD+A′D=A′B′

∴ 四邊形ABCD的周長為AB+A′B′為最短，通過計(jì)算可得四邊形ABCD的周長為：

l=AB+A′B′=2■+8■

5.直通中考

關(guān)于最短路徑問題，這些年各地中考試卷中多有涉及，有的題較簡單，通過簡單的畫圖、判斷可得出正確結(jié)論，有的難度較大，特別是在綜合性較高的壓軸題中，要充分利用已知條件作圖，并利用軸對稱知識結(jié)合方程組才能解決問題。

（作者單位：安徽省蕪湖市南陵縣春谷中學(xué)）