心中有“數(shù)”不得意忘“形”

吳柳玉

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石。在解決數(shù)學(xué)問題時，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。

所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面。一是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不僅要掌握學(xué)科有關(guān)知識，更重要的是能力的培養(yǎng)和提高。近幾年高考，往往通過圖形、圖表的識別、判斷、分析，來考查學(xué)生的分析問題和解決問題能力。而在解題過程中，如能適時、巧妙地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，則可起到事半功倍的效果。筆者歸納了高中數(shù)學(xué)習(xí)題中滲透數(shù)形結(jié)合思想的常見題型，并對其進行了簡要解析。比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)。二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。”寥寥數(shù)語把數(shù)形結(jié)合說得淋漓盡致。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題中的本質(zhì)。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，教學(xué)中教師應(yīng)注重對學(xué)生的觀察、操作、分析思維能力的培養(yǎng)，更應(yīng)不斷地滲透數(shù)學(xué)思想方法，將此作為教學(xué)的核心，為學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，使學(xué)生終身受益。

一、數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識分為三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。在高中數(shù)學(xué)解析幾何這一模塊中，處理問題的常見方法有代數(shù)法和幾何法。代數(shù)法是從“數(shù)”的角度解決問題，幾何法從“形”的角度解決問題，這兩種方法相輔相成，相得益彰?，F(xiàn)舉例如下：

例題：若直線y=x+k與曲線x=■恰有一個公共點，求實數(shù)k的取值范圍。

解：（數(shù)形結(jié)合法）曲線x=■是單位圓x2+y2=1的右半圓（x≥0），k是直線y=x+k在y軸上的截距。

在同一坐標(biāo)系中畫出兩曲線圖象如圖所示，可知：直線與曲線相切時，k=-■，由圖形可得k=-■或-1

利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，它在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨特的指導(dǎo)作用。

以數(shù)論形是解析幾何側(cè)重的手法，其思考方法就是幾何條件解析化，即幾何條件（形）——等量關(guān)系（數(shù)）——代數(shù)方程（式），它是求曲線方程的關(guān)鍵和困難之處。

筆者總結(jié)出轉(zhuǎn)換數(shù)與形的三條途徑：

1.通過坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動，以動求解。

2.轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點，把問題轉(zhuǎn)化到另一個角度來考慮，如轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點間的距離等。

3.構(gòu)造，比如構(gòu)造一個幾何圖形，構(gòu)造一個函數(shù)，構(gòu)造一個圖表等。

二、數(shù)形結(jié)合在求解值域或最值問題中的應(yīng)用

“數(shù)形結(jié)合”是求解數(shù)學(xué)問題的一種常用的思維方法。教師在教學(xué)中經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”的情境，不僅可以溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機地結(jié)合起來，力圖在這種結(jié)合中尋找到解題的思想與方法，同時又有利于開拓學(xué)生解題思路，發(fā)展學(xué)生的形象思維能力。

總之，數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，從以上的例子中可以發(fā)現(xiàn)，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越。由于“數(shù)形結(jié)合”具有形象直觀、易于接受等優(yōu)點，且對于溝通知識間的聯(lián)系，活躍課堂氣氛，開闊學(xué)生思路，發(fā)展智能，提高數(shù)學(xué)水平有著獨到的作用，作為一線的教師，我們要積極挖掘教材中“數(shù)形結(jié)合”的例題與習(xí)題，注重引導(dǎo)學(xué)生動腦筋，設(shè)計確切的數(shù)學(xué)模型，創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”的情境，多加強學(xué)生形象思維的訓(xùn)練，進而促進學(xué)生從形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生爭取做到心中有“數(shù)”，腦中有“形”，以開拓他們的思維視野。這樣，我們就一定能逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，把學(xué)生逐步培養(yǎng)成具有創(chuàng)造思維能力和開拓精神的創(chuàng)造型人才。

（作者單位：廣西柳州市鋼一中學(xué)）