培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，構(gòu)建數(shù)學(xué)生本課堂

李小斌

本文系2016年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目《高中數(shù)學(xué)生本課堂研究》（課題編號(hào)JCJYB16030146）的研究成果。

近幾年來，新課程改革已經(jīng)從單純的以數(shù)學(xué)知識(shí)技能目標(biāo)為主轉(zhuǎn)變成知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三維一體的目標(biāo)導(dǎo)向，以此全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

我們平時(shí)所說的數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思考以及創(chuàng)新能力、應(yīng)用能力等，就是通過教學(xué)賦予學(xué)生的一種學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)和品質(zhì)。

基于培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)下的生本課堂教學(xué)是通過有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多角度、多方面的變式探索研究，從而優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，下面以一節(jié)《三角函數(shù)求最值》為例，拋磚引玉。

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

基于學(xué)生已學(xué)過三角函數(shù)的基本知識(shí)和在必修一學(xué)習(xí)過一些函數(shù)求最值的情況下，將本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)和重難點(diǎn)設(shè)計(jì)如下：

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.通過例題探究出求三角函數(shù)最值的幾種常見類型及其求法。

2.經(jīng)歷三角函數(shù)求最值的過程，掌握發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法。

3.體會(huì)數(shù)學(xué)思想在解題過程中的應(yīng)用。

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】三角函數(shù)求最值的幾種常見類型及其求法。

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】歸納總結(jié)三角函數(shù)求最值的幾種常見類型及其求法。

二、課堂實(shí)錄

教學(xué)環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)回顧

師：根據(jù)我們學(xué)過的知識(shí)，請(qǐng)回答下列問題：

（1）說出y=sin x的單調(diào)性和最值；若x∈-■，■，則最值為多少？

（2）說出y=cosx的單調(diào)性和最值；若x∈-■，■，則最值為多少？

（3）說出sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx三者之間的關(guān)系。

（4）求最值的方法有哪些？

（學(xué)生回答上述問題，教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表述，并將與本課相關(guān)的重點(diǎn)知識(shí)板書于黑板一角。對(duì)表述正確的學(xué)生點(diǎn)贊打分，并為其所在小組加分。）

【設(shè)計(jì)意圖】為探究三角函數(shù)求最值做準(zhǔn)備。

教學(xué)環(huán)節(jié)2：自主探究

（教師投影）例1.求函數(shù)y=■sin（2+■）+1的最值。

探究1：求函數(shù)y=■sin（2x+■）+1，x∈-■，■的最值。

探究2：求函數(shù)f（x）=cos4x+2sinxcosx-sin4x+1在x∈-■，■上的最值。

學(xué)生先分小組討論學(xué)習(xí)，然后第一、第二、第三小組分別派代表演板，接著第四、第五、第六小組分別派代表對(duì)前面學(xué)生的演板進(jìn)行評(píng)價(jià)打分，最后教師根據(jù)學(xué)生表現(xiàn)進(jìn)行打分點(diǎn)評(píng)，給各組加分或減分，規(guī)范做題格式。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的反饋提升，規(guī)范學(xué)生做題格式，為后面題型解法探究作鋪墊。

師：能得到一般性的結(jié)論嗎？

學(xué)生分小組討論，由特殊到一般，歸納總結(jié)出上面三道題的共同特征。最后歸納總結(jié)出y=Asin（ωx+φ）+B型函數(shù)求最值的解決方法：根據(jù)題目先利用三角函數(shù)變換，將原函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）+B型，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生合情推理，由特殊到一般，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（教師投影）例2.求函數(shù)f（x）=sin2x-4sinx-3，x∈R的最值。

先讓學(xué)生獨(dú)立解題，并在練習(xí)本上寫出解題過程，教師巡視找出有特色的（規(guī)范的和不規(guī)范的以及用不同方法的），再通過投影儀將選出的學(xué)生的練習(xí)本投影，學(xué)生討論評(píng)判。最后為展示的學(xué)生評(píng)價(jià)打分，并給其所在小組加分或減分。

師：能得到一般性的結(jié)論嗎？

學(xué)生分組討論，派代表表達(dá)本組觀點(diǎn)。最后全班歸納總結(jié)出y=at2+bt+c型函數(shù)求最值的解決方法：先通過換元，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=at2+bt+c型（注意所換元的取值范圍），最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上求最值，從而求出原函數(shù)的最值。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過換元，將問題轉(zhuǎn)化，化不熟悉為熟悉，體會(huì)數(shù)學(xué)思想在解題中的運(yùn)用。

（教師投影）探究：求函數(shù)f（x）=sinx+cosx-sinxcosx，x∈R的最小值。

先讓學(xué)生分組討論后，在練習(xí)本上寫出解題過程。但教師在巡視的過程中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生束手無策。于是讓部分有點(diǎn)思路的同學(xué)展示思路，在此過程中學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)無法解決問題。接著教師引導(dǎo)學(xué)生看黑板上最初復(fù)習(xí)回顧時(shí)的板書，引導(dǎo)學(xué)生思考可以通過哪些量之間的關(guān)系來做題。最終學(xué)生發(fā)現(xiàn)sinx+cosx與sinxcosx之間有等式關(guān)系，可通過換元，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，從而找到解決方法。

師：既然找到了方法，那么大家在練習(xí)本上寫出解題過程吧。

學(xué)生快速地在練習(xí)本上寫出解題過程。

師：這和剛才的例2解決方法一樣嗎？

生：一樣。

最后學(xué)生歸納總結(jié)出y=at2+bt+c這類題型的解決方法：先通過換元，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=at2+bt+c型（注意所換元t的取值范圍），最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上求最值，從而求出原函數(shù)的最值。

【設(shè)計(jì)意圖】例2與探究表面上看不是一類題，但實(shí)際是同一類型，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)。

師：y=Asin（ωx+φ）+B型函數(shù)與y=at2+bt+c型函數(shù)求最值的方法一樣嗎？

學(xué)生思考后，生甲：不一樣，因?yàn)樗鼈冾愋筒煌?。生乙：一樣，但我說不清楚原因。（學(xué)生笑）

最后教師引導(dǎo)學(xué)生找到兩種題型的相同之處：無論是化同角化同名，還是換元，都是多元問題單元化，化不熟悉為熟悉。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)不同題型之間的聯(lián)系，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

教學(xué)環(huán)節(jié)3：課堂小結(jié)

本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了什么？你掌握了哪些知識(shí)？你運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想來解決問題？

各組派代表對(duì)本節(jié)課進(jìn)行回顧小結(jié)，教師對(duì)各組回答情況進(jìn)行打分，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)黑板上留下的板書完善答案。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的幾種題型的解法進(jìn)行回顧，進(jìn)行反思，從中發(fā)現(xiàn)哪種題型還沒掌握，課下有目的地解決未掌握的問題，并體會(huì)數(shù)學(xué)思想在解題中的運(yùn)用。

最后，教師針對(duì)本節(jié)課各組成員的表現(xiàn)以及得分情況進(jìn)行總結(jié)。對(duì)表現(xiàn)好的個(gè)人及小組進(jìn)行表揚(yáng)及嘉獎(jiǎng)，對(duì)得分不是很理想的個(gè)別組給予激勵(lì)。

教學(xué)環(huán)節(jié)4：布置作業(yè)

（1）已知函數(shù)f（x）=log2（1+sinx）+log2（1+cosx），求當(dāng)x∈[-■，0]時(shí)，f（x）的最大值。

（2）已知函數(shù)f（x）=2-4sinx-cos2x，x∈R，求f（x）的最大值。

（3）求函數(shù)f（x）=2-4asinx-cos2x，x∈R的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生反思和評(píng)價(jià)，更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本節(jié)課案例主要是通過學(xué)生分組討論，進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，通過例題探究出求三角函數(shù)最值的幾種常見類型及方法。在經(jīng)歷三角函數(shù)求最值的過程中，掌握發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，并體會(huì)數(shù)學(xué)思想在解題過程中的應(yīng)用。

在整個(gè)教學(xué)過程中以學(xué)生為本，教師只是一個(gè)引導(dǎo)者。在教學(xué)的過程中對(duì)學(xué)生做答以及各個(gè)小組的表現(xiàn)進(jìn)行打分，激發(fā)各個(gè)小組的競爭意識(shí)，從而提高各個(gè)小組成員學(xué)習(xí)的積極性。尤其是在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生將其在解題過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤思路與正確思路或常規(guī)解法與簡便解法之間進(jìn)行對(duì)比，找出錯(cuò)誤原因或簡便解法的好處，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有了進(jìn)一步的提升，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

按照“課程標(biāo)準(zhǔn)”要求，生本課堂的教學(xué)并不能只關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生采用的學(xué)習(xí)方法以及呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)過程，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的各項(xiàng)能力，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更為靈活有效。我認(rèn)為如何有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生充分發(fā)揮其主觀能動(dòng)性和積極性，進(jìn)而提高他們的數(shù)學(xué)能力，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。而如何落實(shí)在實(shí)際教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還需要我們?nèi)ピ谏菊n堂中繼續(xù)探討研究。

（作者單位：河南省鄭州市第十一中學(xué)）