淺談近年高考中換元法在函數(shù)中的應(yīng)用

王豫平

一、復(fù)合函數(shù)問題

在解決復(fù)合函數(shù)f[h（x）]=g（x）求f（x）時，如果將h（x）的表達(dá)式直接代入f（x），就會造成自變量過于龐大和復(fù)雜，通常利用換元法令t=g（x）從中解出x的值，代入g（x）進(jìn)行換元，這樣就把原式化為初等函數(shù)模型，再利用函數(shù)模型性質(zhì)從而解決問題。

例1 （2015山東理數(shù)）設(shè)函數(shù)f（x）=3x-1，x<12x，x≥1，則滿足f（f（a））=2f （a）的a的取值范圍（）

A.■，1 B.[0，1]

C.■，+∞ D.[1，+∞）

分析：函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，要解決該問題則需要分別討論不同的定義區(qū)間，如果直接解決該問題，那么自變量就會變得很復(fù)雜，從而增加了解題的難度。但是這時用換元法令t=f（x），從而把問題轉(zhuǎn)換為一般的分段函數(shù)模型就好解決多了。

解：令t=f（a），則原式可化為f（t）=2t

當(dāng)t<1時，3t-1=2t

設(shè)g（t）=3t-1-2t，則g′（t）=3-2tln2

當(dāng)t<1時，g′（t）>0

所以g（t）在（-∞，1）上是增函數(shù)，即有

g（t）

則方程3t-1=2t無解

當(dāng)t≥1時，2t=2t

由f（t）≥1，即3a-1≥1

解得a≥■且a<1

或a≥1，2a≥1

解得a≥0，即a≥1

綜上可得a≥■，所以C答案正確。

二、三角函數(shù)問題

解決三角函數(shù)問題無疑需要各個知識點(diǎn)的正確連接，通常要把相關(guān)知識點(diǎn)合理運(yùn)用。把一個角用其他兩角代換，或把一個三角函數(shù)式用與其等價的三角函數(shù)式代換等，從而將其化簡減少變元的個數(shù)。如果分開討論變元很麻煩時，不妨利用換元法將其化為初等函數(shù)模型解決問題。

例2 （2016江蘇數(shù)學(xué)）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是______。

分析：在三角形ABC中∠A+∠B+∠C=π，從而tanA=-tan（B+C），所以原式可化為關(guān)于tanB，tanC兩個變量的式子，如果分開討論tanB，tanC的值域再確定tanAtanBtanC的最值則很麻煩，但是由于tanB，tanC都是大于0的，不妨利用換元法令t=tanB·tanC，把問題轉(zhuǎn)換為關(guān)于t的一元二次函數(shù)模型求最值問題，就簡單多了。

解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinB·cosC+cosB·sinC

sinA=2sinBsinC

可得sinBcosC=cosBsinC=2sinBsinC①

因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，所以有

cosB>0，cosC>0

在①式兩側(cè)同時除以cosBcosC，可得

tanB+tanC=2tanBtanC，

又因?yàn)閠anA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=

-■②

則tanAtanBtanC=-■×tanBtanC

由tanB+tanC=2tanBtanC

可得tanAtanBtanC=-■

令t=tanB·tanC

由A，B，C為銳角可得tanA>1，tanB>0，tanC>0

由②式得1-tanBtanC>0

解得t>1，

tanAtanBtanC=-■=-■，■-■=■-■2-■，由t>1，得-■≤■-■<0

因此tanAtanBtanC的最小值為8，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時取等號，此時tanB+tanC=4，tanBtanC=2

解得tanB=2+■，tanC=2-■，tanA=4（或tanB，tanC互換）

此時A，B，C均為銳角符合題意。

三、綜合對數(shù)函數(shù)問題

在解決一些綜合性的對數(shù)函數(shù)問題時，如果直接利用對數(shù)性質(zhì)也不容易解決，很難看出這道題目的實(shí)質(zhì)，不妨試將其換元，也許就容易看出原問題的本質(zhì)，是考查學(xué)生哪個方面知識的掌握的能力，再聯(lián)系學(xué)習(xí)過的方程模型或初等函數(shù)模型的性質(zhì)，通過解決方程思想、函數(shù)思想解決問題，最后還原問題得出答案。

例3 （2015上海理數(shù)）方程log2（9x-1-5）=log2（3x-1-2）+2的解________。

分析：本題主要是求對數(shù)等式的解，雖然直接計算也能做出來，但是計算式子比較復(fù)雜，都含有不同的指數(shù)式，并且每個獨(dú)立的元素都不同，加大了運(yùn)算能力的考查，也很難看出問題的實(shí)質(zhì)是利用方程思想解決問題。仔細(xì)觀察式子中都有3x-1，不妨考慮將其化為標(biāo)準(zhǔn)一元二次方程模型解決，這樣不僅思路清晰而且計算簡捷。

解：令t=x-1，則原對數(shù)等式可化為

log2（9t-5）=log2（3t-2）+2，

又因?yàn)?=log24

所以log2（9t-5）=log24（3t-2）

從而有9t-5=4（3t-2）

令3t=y，則有y2-4y+3=0

解得y1=1，y2=3，

當(dāng)y=1時，t=0，代入上式得

1-5≠-8等式不成立

當(dāng)y=3時，t=1，代入上式得

9-5=4（3-2），等式成立。

所以t=1滿足式子，即x=2原等式成立。

四、多元函數(shù)問題

在函數(shù)問題中如果出現(xiàn)兩個以上的未知變量時，就得采取換元方法去解決。如果直接討論解決問題時，不僅會增加計算量，也會加大問題的難度系數(shù)。一般把問題化為熟悉的問題解決，再通過知識之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)為所要解決問題的答案。例如利用換元法把已知條件和問題朝著熟悉的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換從而解決原問題。

例4 （2011浙江理科數(shù)學(xué)）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是__________。

分析：本題根據(jù)已知條件很難有思路解決，不過如果設(shè)t=2x+y，得到y(tǒng)=t-2x，求2x+y的最大值也就是t的最大值問題。再根據(jù)方程有解的必要條件，Δ？叟0，從而解決通過換元得到的有關(guān)t的一元二次方程，間接解決問題。

解法1：因?yàn)?x2+y2+xy=1，所以（2x+y）2-3xy=1

設(shè)t=2x+y得到y(tǒng)=t-2x，從而得到t2-3（t-2x）x=1

即6x2-3tx+t2-1=0

因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，所以Δ=9t2-24（t2-1）=-15t2+24≥0

解得-■≤t≤■

所以2x+y的最大值是■。

解法2：由于已知條件可化為

■+y2+■x2=1

也就是cos2θ+sin2θ=1

設(shè)■+y=cosθ，■x=sinθ，

從而得到x=■sinθ，y=cosθ-■，

所以2x+y=■sinθ+cosθ-■=■sinθ+cosθ=■sin（θ+φ）

由于tanφ=■

所以sin（θ+φ）=1時2x+y的最大值是■。

換元思想在函數(shù)問題中有很強(qiáng)的理解表達(dá)能力。數(shù)學(xué)本來就是高度符號化的一門學(xué)科，每一種符號之間都有密切的聯(lián)系，這就為解題方法提供了很大的發(fā)展空間，也提供了換元的一定條件。生活中的問題，常常也需要轉(zhuǎn)換問題來解決原問題，更是說明好的方法不是單向的，也可以在每個方面都有其作用體現(xiàn)。老師對學(xué)生的啟蒙作用更要從各個方面進(jìn)行，好的方法能幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，更能加深知識點(diǎn)對其的滲透力、感召力。

（作者單位：貴州省遵義航天高級中學(xué)）