淺談高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)

焦淑寧

摘 要：隨著新課改的深入，高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查逐漸加強(qiáng)，而三次函數(shù)問(wèn)題是中學(xué)教材研究導(dǎo)數(shù)的重要載體，所以三次函數(shù)成為命題中的新亮點(diǎn)。由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，因此，以三次函數(shù)為載體，背景新穎獨(dú)特，利用導(dǎo)數(shù)解決的問(wèn)題在考試中屢見(jiàn)不鮮。下面通過(guò)對(duì)考題進(jìn)行分析，以提高學(xué)生對(duì)三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；三次函數(shù)；導(dǎo)數(shù)

一、三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

例1.已知函數(shù)f（x）=4x3+3tx2-6tx+t-1，其中t∈R。

（1）當(dāng)t=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（2）當(dāng)t≠0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間。

解析：第一問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解決關(guān)鍵是求出切線的斜率；第二問(wèn)通過(guò)三次函數(shù)求導(dǎo)后得到二次函數(shù)，由于二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程根含字母，需要對(duì)兩個(gè)根進(jìn)行討論。

（1）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=4x3+3x2-6x，f（0）=0，f′（x）=12x2+6x-6，f′（0）=-6。所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-6x。

（2）f′（x）=12x2+6tx-6t2，令f′（x）=0，解得x=-t或x=■，因?yàn)閠≠0，以下分兩種情況討論：

①若t<0，f′（x）<0的解集是■-t；

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是-∞，■，（-t，+∞）；

f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是■，-t。

②若t>0，f′（x）>0的解集為（-∞，-t）∪■，+∞；

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-t），■，+∞；

f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是-t，■。

點(diǎn)評(píng)：本題是直接考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，需要對(duì)根進(jìn)行討論，增加了問(wèn)題的難度，此外利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)區(qū)間應(yīng)注意：在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問(wèn)題的過(guò)程中，只能在定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

二、三次函數(shù)的最值問(wèn)題

例2.設(shè)f（x）=-■x3+■x2+2ax

（1）若f（x）在■，+∞上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)0

解析：若對(duì)于三次函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]存在單調(diào)遞增區(qū)間，則只需f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的最大值大于0即可。第二問(wèn)顯然考查導(dǎo)數(shù)的逆向應(yīng)用，根據(jù)最小值利用待定系數(shù)法求得參數(shù)a，再求最大值。

（1）由f′（x）=-x2+x+2a=-x-■2+■+2a

當(dāng)x∈■，+∞時(shí)，f′（x）的最大值為f′■=■+2a；

令■+2a>0，得a>-■，所以，當(dāng)a>-■時(shí)，f（x）在■，+∞上存在單調(diào)遞增區(qū)間。

（2）令f′（x）=0，得兩根x1=■，x2=■。

所以f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞減，在（x1，x2）上單調(diào)遞增。

當(dāng)0

又f（4）-f（1）=-■+6a<0，即f（4）

所以f（x）在[1，4]上的最小值f（4）=8a-■=-■

得a=1，x2=2，從而f（x）在[1，4]上的最大值為f（2）=■。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)已知函數(shù)的最值確定參數(shù)的值或取值范圍，是導(dǎo)數(shù)的逆向應(yīng)用，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一大亮點(diǎn)，充分展現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的活力。最值一般在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取，利用這一特征可以快速解決最值問(wèn)題。

三、三次函數(shù)的極值問(wèn)題

例3 已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x-12a-4{a∈R}

（Ⅰ）證明：曲線y=f（x）在x=0處的切線過(guò)點(diǎn)

（2，2）；

（Ⅱ）若f（x）在x=x0處取得極小值，x0∈（1，3），求a的取值范圍。

解析：利用可導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)極值的基本方法：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)不斷且f′（x）=0，若在點(diǎn)x0附近左側(cè)f′（x）>0，右側(cè)f′（x）<0，則f（x0）為函數(shù)的極大值；若在點(diǎn)x0附近左側(cè)f′（x）<0，右側(cè)f′（x）>0，則f（x0）為函數(shù)的極小值。

【解析】（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+（3-6a），f′（0）=3-6a，又f（0）=12a-4

曲線y=f（x）在x=0的切線方程是：y-（12a-4）=（3-6a）x，在上式中令x=2，得y=2，所以曲線y=f（x）在x=0的切線過(guò)點(diǎn)（2，2）；

（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1-2a=0。

（i）當(dāng)-■-1≤a≤■-1時(shí)，f（x）沒(méi)有極小值；

（ii）當(dāng)a>■-1或a<-■-1時(shí)，由f′（x）=0得

x1=-a-■，x2=-a+■，

故x0=x2。由題設(shè)知1<-a+■<3。

當(dāng)a>■-1時(shí)，不等式1<-a+■<3無(wú)解。

當(dāng)a<-■-1時(shí)，解不等式1<-a+■<3得-■

綜合（i）（ii）得a的取值范圍是-■，-■-1。

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是求出導(dǎo)函數(shù)利用判別式確定參數(shù)a在哪個(gè)范圍存在極值，具體確定極小值點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式求解。

（作者單位：河南省洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)）