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    一個(gè)幾何不等式的加強(qiáng)與證明

    2018-07-07 18:50:14成克勤
    速讀·中旬 2018年5期
    關(guān)鍵詞:三邊平分線周長

    成克勤

    安振平在2011年第11期的《中學(xué)數(shù)學(xué)教育參考》(上半月刊)中給出了三十個(gè)有趣的不等式,下面是第30個(gè)不等式的加強(qiáng)與證明。

    第30個(gè)不等式:設(shè)[?ABC]的三邊長、半周長分別為a,b,c,p,面積為△,則有不等式:[ap-acosB-C4≥23?];筆者通過探究,發(fā)現(xiàn)此不等式成立,并可以加強(qiáng)為如下命題。

    命題:設(shè)[?ABC]的三邊長、半周長分別為a,b,c,p,面積為△,則有不等式:=[b+c2tanA2bc]≥4[tanA2][pp-acosB-C4]≥2[tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4][?],我們先給出如下兩個(gè)引理,引理1 若[?ABC]的面積[≥23?],為[?],角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c則[a2cos2][B-C2]+[b2cos2A-C2]+[c2cos2A-B2]≥4[tanA2+tanB2+tanC2][?]≥[43?],證明:設(shè)ha,Wa分別為三角形BC邊上的高和角平分線,那么由熟知的公式:[cosB-C2=haWa]和[Wa=2bcb+ccosA2]可得:

    [a2cos2B-C2?=a2-ha2?Wa2=4?Wa2=4b+c2·12bcsinA2bccosA22]

    那么有:[1?a2cos2B-C2+b2cos2A-C2+c2cos2A-B2]≥[4tanA2+tanB2+tanC2]≥[43]整理得[a2cos2][B-C2][b2cos2A-C2]+[c2cos2A-B2]≥[4tanA2+tanB2+tanC2]≥[43],以上過程用到了熟知的公式[tanA2+tanB2+tanC2≥3]。

    引理2:設(shè)a,b,c是[?ABC]的三邊長,Δ是[?ABC]的面積,記[a1=ab+c-a,b1=ba+c-b,c1=ca+b-c。]那么a1,b1,c1可以或?yàn)橐粋€(gè)三角形的三邊長,而且它的面積Δ1等于[?ABC]的面積Δ,a1,b1,c1的對(duì)角分別為[π2-A2,π2-B2,π2-C2]。

    不等式30的加強(qiáng)與證明:將引理中的a、b、c、A、B、C用新的三角形的三邊a1,b1,c1及三角A1、B1、C1替換得,[ap-acos2B-C4≥2tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4Δ≥23Δ],所以[ap-acosB-C4≥ap-acos2B-C4≥2tanπ-A4+tanπ-B4+tanπ-C4Δ≥23Δ],故命題成立.

    本文作者通過對(duì)原不等式的研究,發(fā)現(xiàn)此不等式可以進(jìn)一步推廣,得出更多性質(zhì),供參考。

    參考文獻(xiàn)

    [1]黃兆麟.數(shù)學(xué)問題解答[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016(3).

    [2]安寧,安振平.數(shù)學(xué)博客,一個(gè)幾何不等式的證明[J].

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