M-矩陣最小特征值的新下界

李艷艷

（文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663099）

1 預(yù)備知識(shí)

若矩陣的所有元素都非負(fù)，就稱為非負(fù)矩陣，記作A≥0，ρ(A)表示A的譜半徑；若是矩陣的非主對(duì)角元素非正，且逆矩陣為非負(fù)矩陣，就稱A為M-矩陣，τ(A)表示A的最小特征值，且有性質(zhì)CD=(cijdij)，稱為C和D的Hadamard積。

設(shè)B=(bij)是M-矩陣，引入如下一些符號(hào)

引理1[1]設(shè)E，D，H∈Rn×n，其中E，D是正對(duì)角矩陣，I為單位矩陣，則

引理2[2]設(shè)H=(hij)為任意的n階方陣，則H的特征值都位于區(qū)域

引理3[3]設(shè)B=(bij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則B-1=(βij)滿足

引理4[4]設(shè)B=(bij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則B-1=(βij)滿足

2 主要結(jié)果

首先利用非負(fù)矩陣和矩陣Hadamard積的性質(zhì)，構(gòu)造了不改變矩陣譜半徑的非負(fù)矩陣，其次通過應(yīng)用引理2中的圓盤定理，得到了M-矩陣最小特征值的4個(gè)只與矩陣元素有關(guān)的新估計(jì)試。

定理 1 設(shè)A=(aij)≥ 0，B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，則有

證明 ：令，對(duì)于非負(fù)矩陣F-1AF，存在正向量v=(v1,v2,…vn)，使得，即

令)，則

且GB-1=(tij)=

由引理1知，(FV)-1，AB-1(FV)=(FV)-1A(DU)B-1=GB-1，即ρ(AB-1)=ρ(GB-1)=λ。

應(yīng)用引理2中的第一個(gè)特征值包含域知，存在i使得

又因?yàn)?，所?/p>

即結(jié)論成立。

同理，可得下面的定理2。

定理 2 設(shè)A=(aij)≥ 0，B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，則有

定理 3 設(shè)B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，則有

證明：在定理1中令A(yù)為元素全為1的矩陣J，則

又由矩陣B的性質(zhì)，得

同理可得

定理 4 設(shè)A=(aij)≥ 0，B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，則有

證明：類似定理1的證明，應(yīng)用引理2中的第二個(gè)特征值包含域，知存在i使得

則即

定理 5 設(shè)A=(aij)≥ 0，B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，則有

定理 6 設(shè)B=(bij)∈Mn，B-1=(βij)，則有

證明：在定理1中令A(yù)為元素全為1的矩陣J，則

又由矩陣B的性質(zhì)，得

3 數(shù)值算例

例1，A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，由定理3，定理6分別得τ(A)≥ 0.1988，τ(A)≥ 0.2013，τ(A)≥ 0.1863，τ(A)≥0.1993，但由文獻(xiàn)[5]得τ(A)≥0.1749。該例說明了本文的結(jié)果一定情況下改進(jìn)了現(xiàn)有的估計(jì)式。

[1]Horn R A,Johnson C R.Matrix analysis[M].New York:Cambridge University Press,1995：2-24.

[2]Horn R A,Johnson C R.Topics in Matrix analysis[M].New York: Cambridge University Press,1991：34-49.

[3]王峰.非奇異M-矩陣的逆矩陣和M-矩陣的Hadamard積的最小特征值下界估計(jì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013（2）：13-15.

[4]Feng Wang,Deshu Sun.New bounds for the minimum eigenvalue ofM-matrices[J].Open Mathematics Research Article,2016,14:1007-1013.

[5]Chaoqian Li,Yaotang Li,Ruijuan Zhao.New inequalities for the minimum eigenvalue ofM-matrices[J].Linear and Multilinear Algebra,2013(9)：1267-1279.