面向認(rèn)知沖突的弗協(xié)調(diào)置信邏輯*

郝旭東

華東師范大學(xué)哲學(xué)系

xdhao@philo.ecnu.edu.cn

1 引言

如果將歐幾里德幾何的第五公設(shè)“平行公理”取消，代之以與其相沖突的命題，就會得到非歐幾何，如羅巴切夫幾何、黎曼幾何。類似地，如果在一個邏輯理論中矛盾律與排中律都成立，那么就稱之為亞氏（Aristotelian）邏輯；否則，若矛盾律或排中律在其中不成立，就稱之為非亞氏（non-Aristotelian）邏輯。如果所有陳述在一個理論中都為真，則稱其為不足道理論；否則，就稱之為足道理論。如果一個理論是不協(xié)調(diào)的（一般意義的矛盾律在其中失效，即一個命題及其否定在其中可以都真），并且還是足道的，就稱該理論是弗協(xié)調(diào)理論；并將其底層邏輯稱為弗協(xié)調(diào)邏輯（paraconsistent logic，又譯“次協(xié)調(diào)邏輯”“亞相容邏輯”等）。在弗協(xié)調(diào)邏輯中，一個命題及其否定不能推出任意命題。后文給出的邏輯系統(tǒng)C1D1本文將該邏輯系統(tǒng)稱作C1D，其中C1的含義是指其弗協(xié)調(diào)措施來自于達·科斯塔（N.C.A.da Costa）的正加型弗協(xié)調(diào)邏輯，D是英文單詞“doxic”的首字母。就是一種具有弗協(xié)調(diào)邏輯特性的多主體置信邏輯。

弗協(xié)調(diào)邏輯的先驅(qū)是波蘭的邏輯學(xué)家盧卡西維茨（J.?ukasiewicz）和俄國邏輯學(xué)家瓦西里耶夫（N.I.Vasiliev）。盧卡西維茨是第一個構(gòu)想形式化的弗協(xié)調(diào)邏輯的學(xué)者。1910年，他論證了亞里士多德的三段論原則是獨立于矛盾律的（[6]，第503頁），并建議構(gòu)建一種“非亞氏邏輯”。1912年，瓦西里耶夫設(shè)想了一種“想象邏輯（Imaginary logic）”，在這種非亞氏邏輯中，矛盾律不再一般有效（[12]，第127-163頁）。盡管盧卡西維茨和瓦西里耶夫沒有做弗協(xié)調(diào)邏輯的具體構(gòu)建工作，但他們的研究為弗協(xié)調(diào)邏輯奠定了重要的思想基礎(chǔ)。1948年，雅思科瓦斯基（S.Ja?kowski）在他的老師盧卡西維茨的影響下，構(gòu)建了第一個弗協(xié)調(diào)邏輯的形式系統(tǒng)（[5]，第143-157頁）：商討邏輯（Discussive logic）。雅思科瓦斯基的基本思想是把“真”解釋為“根據(jù)某人（在商討中）的立場真”。這類似于模態(tài)邏輯“在某可能世界中為真”的描述，只不過這個可能世界，是以該商討人為立場出發(fā)點的世界（[11]，第3-16頁）。這樣，一個公式及其否定都真，就不會導(dǎo)致任意公式為真的后果。

20世紀(jì)50年代，巴西邏輯學(xué)家達·科斯塔及其合作者獨立于雅思科瓦斯基開始了矛盾系統(tǒng)（Contradictory system）的研究，并且發(fā)展出了一些具有弗協(xié)調(diào)性質(zhì)（paraconsistency）的系統(tǒng)，比如命題演算Cn(1≤n≤ω)和謂詞演算ω)和，這是如今被研究和討論最為廣泛的弗協(xié)調(diào)邏輯系統(tǒng)（[4]，第790-911頁）。此外，達·科斯塔等學(xué)者還對雅思科瓦斯基的商討邏輯進行了擴充研究，得到了一階謂詞和高階謂詞商討邏輯系統(tǒng)。（[3]，第37-56頁）這些研究工作使得雅思科瓦斯基的商討邏輯更加完整和系統(tǒng)。50年代末，安德森（A.R.Anderson）和貝爾納普（N.Belnap）為處理實質(zhì)蘊涵怪論而給出了相干邏輯。相干邏輯的一個顯著特征就是要求前提和結(jié)論必須要具有一個相同的命題或謂詞參數(shù)。正是因為這個原則，相干邏輯就具有了弗協(xié)調(diào)邏輯的性質(zhì)。弗協(xié)調(diào)相干邏輯主要是由澳大利亞的邏輯學(xué)者盧特雷（R.Routley）（[7]，第51-68頁）、梅耶爾（R.K.Meyer）（[8]，第183-194頁）、普利斯特（G.Priest）（[9]，第219-241頁）等人研究并發(fā)展的。此外，阿魯達（A.I.Aruda）和達?科斯塔還給出了弗協(xié)調(diào)相干邏輯系統(tǒng)P和P*。（[1]，第33-49頁）總體來說，弗協(xié)調(diào)邏輯有三種類型：相干型，即上文所述的弗協(xié)調(diào)相干邏輯類型；棄合型，以雅思科瓦斯基所創(chuàng)立的商討邏輯為代表；正加型，即給正命題邏輯系統(tǒng)增加適當(dāng)?shù)姆穸ㄔ~，即著力于對經(jīng)典否定詞的修正，這是達·科斯塔開創(chuàng)的弗協(xié)調(diào)邏輯的主流方向，迄今更多地表現(xiàn)于與相干方向的結(jié)合，如普利斯特著名的LP（悖論邏輯）系統(tǒng)。

總之，弗協(xié)調(diào)邏輯是如今被廣泛而深入研究的重要邏輯分支。（更多的細(xì)節(jié)內(nèi)容可參閱[4,10,11]）由于正加型弗協(xié)調(diào)邏輯盡量保留了經(jīng)典邏輯的很多與矛盾律無關(guān)的重要推理模式，所以本文的研究和討論范圍僅限于正加型弗協(xié)調(diào)邏輯。正是通過對正加型弗協(xié)調(diào)邏輯的長期考察與探究，我國學(xué)者張建軍提出了可以為弗協(xié)調(diào)邏輯“找到一種可以刻畫人類信念系統(tǒng)之‘容錯’性的‘置信語義’”（[15]，第614頁）的觀點。基于對這一觀點的認(rèn)同，本文以此為指針嘗試性地給出了弗協(xié)調(diào)多主體置信邏輯系統(tǒng)C1D的語法和語義，并證明了其可靠性和完全性。以其特征內(nèi)定理為切入點，通過透徹解析C1D容忍矛盾沖突的邏輯機制，詳盡闡釋其作為一種解悖方案的合理性與必要性，清晰展示其容忍信念沖突的特殊處理方式。

2 C1D的形式語言

將C1D的形式語言記作L0，它包括如下初始符號：

(1) 命題符p,q,r,s,···；

(2) 聯(lián)結(jié)詞?,∧,∨,→；

(3) 信念算子Biα(i∈N)；

(4)左右括號。其中，Bmp表示認(rèn)知主體m相信p。

公式的定義如下：

(1)任意的命題符是公式；

(2)如果α和β是公式，那么(α∧β)、(α∨β)、(α→β)、?α以及Biα(i∈N)是公式；

(3)只有按照步驟(1)和(2)得到的符號序列才是公式。

令Form(L0)表示所有公式的集合，用大寫希臘字母表示任意的公式集，小寫希臘字母表示任意的公式。另引入一些縮寫和語法符號：

(1)α?β表示(α→β)∧(β→α)；

(2)αo表示?(α∧?α)。αo的直觀含義是α遵守矛盾律，即α是舉措得當(dāng)?shù)模╳ell-behaved）；而若α∧?α成立，則稱α是舉措失當(dāng)?shù)模╞ad-behaved）（[4]，第799-800頁）；

(3)～α表示(?α∧αo)。(?α∧αo)直觀含義是遵守矛盾律的否定，即經(jīng)典否定；

(4)語法符號“?”仍表示形式可推演關(guān)系。

3 C1D的公理系統(tǒng)

下列(1)-(12)都是弗協(xié)調(diào)命題演算C1的公理模式（[4]，第800頁），(13)和

(14)則是關(guān)于認(rèn)知算子的公理模式。

C1D的推理規(guī)則有兩條：

R1： 由?α和?α→β，可以推出?β。

R2： 由?α，可以推出?Biα，(i=1,···,m，m∈N)。

4 C1D的語義

定義1框架F是一個多元組(W,R1,···,Rm)；其中，W是認(rèn)知世界或狀態(tài)的集合；Ri是W上的一個二元關(guān)系，i=1,···,m(m∈N)。

定義2一個關(guān)于i=1,···,m(m∈N)的賦值就是一個從(L0)×W到{1,0}的映射，對于α,β∈Form(L0)而言滿足以下條件（符號“?”的意思是“如果……，那么……”，符號“?”的意思是“當(dāng)且僅當(dāng)”）：

(1)V(α,w)=0?V(?α,w)=1

(2)V(??α,w)=1?V(α,w)=1

(3)V(βo,w)=V(α→β,w)=V(α→?β,w)=1?V(α,w)=0

(4)V(α→β,w)=1?V(α,w)=0或V(α,w)=1

(5)V(α∧β,w)=1?V(α,w)=1且V(β,w)=1

(6)V(α∨β,w)=1?V(α,w)=1或V(β,w)=1

(7)V(αo,w)=V(βo,w)=1?((α△β)o,w)=((▽α)o,w)=1；

其中△∈{∧,∨,→}，▽∈{?,Bi},i=1,···,m(m∈N)

(8)V(Biα,w)=1?對任一i(i=1,···,m，m∈N)，任一w′∈W，wRiw′?V(α,w′)=1

定義3一個關(guān)于認(rèn)知主體i(i=1,···,m，m∈N)的模型M=(W,R1,···,Rm,V)，其中，(W,R1,···,Rm)是一個框架，而V該框架的一個賦值。

定義4令M=(W,R1,···,Rm,V)是任一模型，F(xiàn)=(W,R1,···,Rm)是任一框架，α是Form(L0)中的任一公式，w是W中的任一信念世界認(rèn)知狀態(tài)：

(1)若V(α,w)=1，則稱α在w中真，記作M?αw；若V(α,w)=0，則稱α

在w中假，記作M?αw；

(2)公式α在M中是可滿足的，當(dāng)且僅當(dāng)，存在w∈W使得V(α,w)=1；

(3)公式α在M中是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，對于任一w∈W都有V(α,w)=1；

(4)公式α在F上是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，對于任一(W,R1,···,Rm)上的V都有V(α,w)=1。

定義5(C1-變形) 令α是Form(L0)中的任一公式，C1-變形記作α′，它其實就是對公式刪除所有認(rèn)知算子的結(jié)果。嚴(yán)格來說，C1-變形就是一個從一個公式到另一個公式的映射：

5 C1D的一些定理和推論

由于C1D包含了C1所有公理模式和推理規(guī)則所以C1D是C1的真擴張，所以C1的定理都將是C1D-定理；也將包含經(jīng)典邏輯命題演算的所有正推理模式和正定理。例如，在C1D中有C1的如下的定理1-4。（[4]，第797-803頁）

定理1?α→α

定理2在C1D中有：

(1)若α∈Γ，則Γ?α；

(2)若有Γ?α和Γ??，則有??α；

(3)若有??α和??α→β，則有??β；

(4)若有Γ?α和?，α?β，t則有Γ,??β。

定理3在C1D中有：

(1)若有Γ1?α，Γ2?α→β，Γ1,Γ2??，則有??β。特別地

當(dāng)Γ1=?，若有?α，Γ2?α→β，Γ2??，則有??β；

當(dāng)Γ2=?，若有Γ1?α，?α→β，Γ1??，則有??β；

(2)若有Γ?α1→α2，Γ?α2→α3,···，Γ?αm-1→αm，則有Γ?α1→αm；

(3)Γ?α∧β當(dāng)且僅當(dāng)，Γ?α且Γ?β；

(4)若Γ?α，則Γ?α∨β且Γ?β∨α；

(5)若Γ,α?γ且Γ,β?γ，則有Γ,α∨β?γ；

(6)若Γ,α?β，則Γ?α→β（演繹定理）；

(7)若Γ?αo，Γ?α→β，Γ?α→?β，則Γ??α。

定理4?α→β?(?Biα→Biβ)，i=1,···,m(m∈N)。

定理5在C1D中有:

(1)?αo??(Biα)o，i=1,···,m(m∈N)；

(2)?α??Biα，i=1,···,m(m∈N)。

證明：

(1)由于有?αo，因而就存在一個有窮的公式序列α1,···,αh，使得αh=αo，并且對于任一j(l≤j≤h)使得αj滿足下列條件之一：

(a)αj是C1D的一個公理；或者

(b)存在l,k＜j使得αj可以從αl和αk(=αl→αj)通過規(guī)則R1得到；

(c)存在l≤j使得αj(=Biαl)可以從αi通過規(guī)則R2得到。

這樣，由公理(13)αo→(Biα)o，從αm(=αo)，使用R1，可得(Biα)o。

因此，公式序列α1,···,αh,(Biα)o就是?(Biα)o的證明。

(2)類似于(1)的證明，通過形式可推演的定義易證，略。 □

推論1任一C1D-定理的C1-變形都是C1-定理。

證明：類似于模態(tài)邏輯中P-變形的證明，施歸納于證明長度即可。該推論說明，若α是C1D-定理，則α′一定是C1-定理；若α不是C1-定理，則α′就不是C1D-定理。 □

推論2對于i=1,···,m(m∈N),下述公式不是C1D-定理：

證明：首先 (1)Bi?(α∧?α)不是C1D-定理。因為其C1-變形是?(α∧?α),而?(α∧?α)不是C1-定理（[4]，第801頁），所以，根據(jù)推理1，Bi?(α∧?α)就不是C1D-定理。(2)-(10)的證明類似。 □

6 C1D的可靠性和完全性

定理6C1D的所有公理在任意框架上有效。

證明：首先根據(jù)定義2和4易驗證公理(1)-(12)在任意框架上有效。下面驗證公理(13)和(14)在任意框架上有效：

(1) 公理 (13)αo→(?α)o∧(Biα)o(i=1,···,m，m∈N)在任意框架上有效。首先，根據(jù)定義2和4易驗證公理αo→(?α)o在任意框架上有效。其次，驗證αo→(Biα)o在任意框架上有效：

- 當(dāng)V(αo,w)=0，根據(jù)定義 2(3)，則有V(αo→(Biα)o,w)=1；

- 當(dāng)V(αo,w)=1，根據(jù)定義 2(7)，則有V((Biα)o,w)=1；

這樣根據(jù)定義2(3)，可得V(αo→(Biα)o,w)=1。由于w是任意的，因此，根據(jù)定義4可知，αo→(Biα)o在任意框架上有效。因此，αo→(?α)o∧(Biα)o(i=1,···,m，m∈N)在任意框架上有效。

(2)公理(14)Bi(α→β)→(Biα →Biβ)(i=1,···,m，m∈N)在任意框架上有效。

假若公理 (16)Bi(α→β)→(Biα→Biβ)(i=1,···,m，m∈N)并非在任意框架上有效，那么就有(W,R1,···,Rm)?Bi(α →β)→(Biα→Biβ)(i=1,···,m，m∈N)，于是就存在一個模型 (W,R1,···,Rm,V)使得(W,R1,···,Rm,V) ?Bi(α→β)→(Biα→Biβ)(i=1,···,m，m∈N)；即，存在w∈W使得V(Bi(α→β)→(Biα→Biβ),w)=0；于是就有

于是，對于任一則有

于是，對于任一則有

由于④和⑧會導(dǎo)致荒謬，所以假設(shè)不成立。故，公理(14)Bi(α→β)→(Biα→Biβ)(i=1,···,m，m∈N)在任意框架上有效。 □

定理7對于i=1,···,m，m∈N，令F是任一框架類，

(1)若α和α→β在F上有效，則B在F上有效；

(2)若α在F上有效，則Biα在F上有效。

證明：(1)的證明類似于模態(tài)邏輯中的證明，略。

(2)的證明：若α在F上有效，令(W,R1,···,Rm)是中的任一框架，V是該框架上的任一賦值。于是，對于任一w∈W，則有V(A,w)=1；因此可得，對于任一w′∈W，wRiw′?V(α,w′)=1；于是就有對于i=1,···,m，V(Biα,w)=1；由于w的任意性，所以就有 (W,R1,···,Rm)?Biα；由于 (W,R1,···,Rm)的任意性，因此就有對于i=1,···,m，F(xiàn) ?Biα；即，對于i=1,···,m，Biα在 F上有效。 □

定理8C1D是可靠的，即，若?C1Dα，則?C1Dα。

證明：首先，根據(jù)定理6，公理模式在C1D-框架上有效。其次，定理7表明C1D的推理規(guī)則在任一框架上有效。所以，C1D是可靠的。 □

定義6

(1)對于任一公式集，令，若，則稱Γ是演繹封閉的。

(2)稱Γ是不足道的，當(dāng)且僅當(dāng)，；否則，稱之為足道的。

(3)稱Γ是不協(xié)調(diào)的，當(dāng)且僅當(dāng)，有公式A使得Γ?A且Γ??A。否則，稱之為協(xié)調(diào)的。顯然，空集是總是協(xié)調(diào)的。

(4)稱一足道集Γ是極大的，當(dāng)且僅當(dāng)，對任意公式α，若α/∈Γ則?！葅α}是不足道的。

引理1令Γ?Form(L0)，α∈Form(L0)，則有：

(1)如果有Γ?α∧～α，那么有Γ是不足道的；

(2)如果Γ是不足道的，那么存在公式α使得Γ?α∧～α；

(3)Γ?α，當(dāng)且僅當(dāng)，Γ∪{～α}是不足道的；

(4)如果Γ是極大足道的且α/∈Γ，那么Γ∪{α}?α∧～α；

(5)如果Γ是極大足道的且α/∈Γ，那么?！葅α}??α。

引理2令Γ?Form(L0)，α,β∈Form(L0)，若Γ是極大足道集，則有：

(1)Γ?α，當(dāng)且僅當(dāng)，α∈Γ；

(2)若α∈Γ，則～α/∈Γ；若～α∈Γ，則α/∈Γ；

(3)α∈?；颉痢师＃?/p>

(4)若?α，則α∈Γ；

(5)若α∈Γ，α→β∈Γ，則β∈Γ。

引理3令Γ?Form(L0)，α,β∈Form(L0)，若Γ是極大足道集，則有：

(1)若βo,(α→β),(α→?β)∈Γ，則?α∈Γ；

(2)α→β∈Γ，當(dāng)且僅當(dāng)，α/∈Γ或β∈Γ；

(3)α∧β∈Γ，當(dāng)且僅當(dāng)，α∈Γ且β∈Γ；

(4)α∨β∈Γ，當(dāng)且僅當(dāng)，α∈?；颚隆师?；

(5)Ifα∈Γ且(?α)/∈Γ，z則(??α)∈Γ；若α/∈Γ且(?α)∈Γ，則(??α)/∈Γ；

(6)若αo,βo∈Γ，則 (α→β)o∈Γ，(α∧β)o∈Γ，(α∨β)o∈Γ，(?α)o∈Γ，(Biα)o∈Γ(i=1,···,m，m∈N)。

證明：引理1(1)到3(5)都是C1-定理，因而它們也都是C1D-定理。下面證明引理3(6)是C1D-定理。

同理，由公理(12)和(13)，易證(6)的其余內(nèi)容也成立。 □

引理4每一個足道集都可以擴張成極大足道集。

證明：與經(jīng)典邏輯林頓巴姆引理的證明類似，略（[16]，第39-40頁）。 □

引理5Γ?α，當(dāng)且僅當(dāng)，α是maxΓ中任一極大足道集的元素，即，?X∈maxΓ(α∈X)，特別地，當(dāng)Γ=?時，?α，當(dāng)且僅當(dāng)，α是任一個極大足道集的元素。

證明：首先，有

其次，有

因而，就有Γ?α??X∈maxΓ(α∈X)。

所以，當(dāng)Γ=?，就有?α??X∈maxΓ(α∈X)。 □

定義7是一個典范模型（canonical model），其中

引理6V滿足定義2的(1)-(7)。

證明：首先，我們可以使用引理3(1)來驗證滿足定義2(4)。即驗證若有，則有。

給定，則

類似地，使用引理3(2)-(6)，可以驗證滿足定義2(2)-(7)?！?/p>

引理7是C1D-模型。

證明：根據(jù)引理6，驗證滿足定義2(1)-(7)。

下面我們驗證滿足定義2(8)。Biβ1,···,Biβp∈X為已知，根據(jù)引理 3(3)，則有

由①和②，可得，即，滿足定義2(8)。因此，是C1D-模型。 □

定理9 C1D是完全的，即，若?C1Dα，則?C1Dα。

證明：若已知?C1Dα，假設(shè)?C1Dα，根據(jù)引理5，就存在一個極大足道集w使得α/∈w。因為，所以就有。同時，由于是C1D-框架，所有就有。這與已知不符，所以假設(shè)不正確，因而，就有?C1Dα。 □

7 結(jié)論

弗協(xié)調(diào)多主體置信邏輯C1D為我們提供了處理矛盾沖突的一種簡單易行的邏輯途徑。那么，為什么C1D可以容忍認(rèn)知領(lǐng)域的矛盾沖突呢？下面，我們就在給出答案的同時，也通過實例分析的方式顯示C1D在實用方面的邏輯價值。

7.1 C1D可以作為相信者悖論解悖方案

相信者悖論最早是由伯奇（T.Burge）在1978年提出的（[2]，第21-35頁），它是一種典型的認(rèn)知悖論。類似于說謊者悖論，它也源自一個自指的陳述；通過邏輯的推導(dǎo)，就可以得到一個嚴(yán)格意義的悖論Biα??Biα。在此，我們僅以最簡單的方式對之進行可以滿足我們說明C1D性質(zhì)的描述（更多細(xì)節(jié)見[14]，第176-180頁）。類似于說謊者悖論，相信者悖論也是由一個自指性語句構(gòu)成的，我們將該語句用α表示，它斷言：認(rèn)知主體i不相信α；用公式可將α定義為：

現(xiàn)在的問題是：認(rèn)知主體i相信還是不相信α？在接受C1D的規(guī)則R2以及公理Biα→α的基礎(chǔ)上，則有如下推斷：

一方面，若有Biα，根據(jù)公理Biα→α，則有α；而α即為“認(rèn)知主體i不相信α”，即有?Biα。因此，就有Biα→?Biα。另一方面，若?Biα，由于“認(rèn)知主體i不知道α”正是α，即有α；于是根據(jù)規(guī)則R2，可得Biα。所以，就有?Biα→Biα。這就是說，如果Biα為真，那么它就為假；如果Biα為假，那么它就為真。于是，我們就得到了一個矛盾等價式Biα??Biα。這就是造成了相信者悖論。

出現(xiàn)這種真矛盾（dialetheia或true contradiction）2“真矛盾”是普利斯特用來闡釋其LP系統(tǒng)語義的特有術(shù)語（[11]，第4頁）。該術(shù)語用來描述那些形如α∧?α，但并沒有在實際上導(dǎo)致包含它的理論變得不足道的公式。此處，我們擴展了真矛盾概念的范圍。因為絕大多數(shù)嚴(yán)格意義的邏輯悖論的語形都是α??α，既然弗協(xié)調(diào)邏輯將悖論歸為真矛盾，那么真矛盾的范圍就應(yīng)該包括那些形如α??α，但實際上并沒有導(dǎo)致包含它的理論變得不足道的那些公式。會有怎樣的后果？

我們知道，如果去掉C1D的公理模式(9)-(13)，就可以得到一個基于經(jīng)典邏輯的置信邏輯系統(tǒng)，這是一種經(jīng)典認(rèn)知邏輯（即，基于經(jīng)典邏輯的認(rèn)知邏輯）。由于公式(α??α)→β是經(jīng)典邏輯的定理，因而利用公理(16)和R2易證其包含信念算子的形式(Biα??Biα)→Biβ也將是經(jīng)典認(rèn)知邏輯的定理。這即是說，經(jīng)典認(rèn)知邏輯不允許認(rèn)知主體同時相信一個陳述及其否定；換言之，以經(jīng)典認(rèn)知邏輯為基礎(chǔ)，存在相信者悖論的后果就是相信所有陳述。這就意味著相信者悖論在包含它的知識信念系統(tǒng)中爆炸了，從而導(dǎo)致了該知識信念系統(tǒng)的理性崩潰；而導(dǎo)致相信所有陳述的理論顯然是毫無意義或不足道的。

但實際上，在我們的知識信念領(lǐng)域中，存在著很多認(rèn)知悖論。很多時候我們不能因為在某理論中出現(xiàn)了這種悖論，就斷然認(rèn)為該理論在事實上全無意義、毫不足道。例如，盡管在素樸集合論中有羅素悖論，但這種集合論仍然可以很好地幫助我們解決初等數(shù)學(xué)以及日常思維領(lǐng)域中的相關(guān)問題。面對各種形如Biα??Biα的認(rèn)知悖論，為了避免相信一切的后果，我們的邏輯基礎(chǔ)顯然就不能是經(jīng)典認(rèn)知邏輯；就必須是一種可以容忍悖論，但同時又不會導(dǎo)致爆炸性后果的邏輯。C1D正是這樣的邏輯；因為根據(jù)推論2，公式(Biα??Biα)→Biβ將不再是該系統(tǒng)的定理；所以，以C1D為基礎(chǔ)邏輯，相信者悖論就不會導(dǎo)致相信一切的爆炸性后果。

但同時我們也應(yīng)當(dāng)清楚地知道，C1D方案并沒有真正解決悖論問題，它只是容忍了悖論。更準(zhǔn)確地說，經(jīng)典邏輯的思路是“解?！保笪覀兘鉀Q和消除悖論；而C1D方案是要“容?！保瑸榈氖羌词共幌Ｕ?，也不會導(dǎo)致理性崩潰。其思路的合理性在于，解決和消除相信者悖論或其它認(rèn)知悖論的確很重要，但直到現(xiàn)在，也沒有哪種方案可以令各方都完全滿意。在徹底解決這些悖論之前，面對這些認(rèn)知悖論的事實存在，既然我們在事實上沒有失去邏輯理性，那么我們就需要一種可以容忍悖論的基礎(chǔ)邏輯。在含有悖論的前提下，弗協(xié)調(diào)認(rèn)知邏輯C1D并沒有像經(jīng)典認(rèn)知邏輯那樣，進而就要求我們?nèi)ハ嘈乓磺?；因而，這就十分有利于成為那些雖然含有某些認(rèn)知悖論，但在某些方面仍有價值和意義的認(rèn)知理論的基礎(chǔ)邏輯。

7.2 C1D可以作為含有沖突信念理論的基礎(chǔ)邏輯

如果信念領(lǐng)域出現(xiàn)了矛盾狀況，我們就說出現(xiàn)了信念沖突。這是經(jīng)典邏輯所不能容忍的，因為公式(α∧?α)→β是經(jīng)典邏輯的定理。這就意味著，如果矛盾是成立的，那么就會導(dǎo)致任意陳述的成立?；蛘哒f，經(jīng)典邏輯認(rèn)為矛盾狀況就意味著不足道；如果一個理論出現(xiàn)了矛盾狀況（沖突、不協(xié)調(diào)），那就意味著理論的不足道和無意義。這即是說，經(jīng)典邏輯要求不能有矛盾；如果理論本身不排除矛盾，就會導(dǎo)致該理論在邏輯上變得毫無價值。所以，經(jīng)典邏輯顯然就不適于處理這種雖然不協(xié)調(diào)但足道的狀況。面對這種狀況，我們就需要那種可以將不協(xié)調(diào)與不足道區(qū)別對待的邏輯。

不能有矛盾沖突的要求本來也無可厚非，但在我們現(xiàn)實的世界，存在很多弗協(xié)調(diào)（即不協(xié)調(diào)但足道）的狀況；特別是在認(rèn)知領(lǐng)域中，弗協(xié)調(diào)的狀況幾乎就是常態(tài)，甚至可以說是不可避免的。于大而言，不同的民族、文化、宗教信仰、社會階層等之間，在觀念和信仰上存在著某種天然的不一致。于小而言，某個認(rèn)知主體或認(rèn)知共同體也不可能保證其知識信念始終都協(xié)調(diào)一致、始終沒有矛盾沖突。這就有個問題：在解決矛盾沖突之前，存在矛盾沖突的現(xiàn)階段，我們是否真的就相信了任意陳述？顯然沒有。也就是說，在這種情況下，我們的理性思維所依賴的基礎(chǔ)邏輯應(yīng)當(dāng)是一種可以容忍沖突，但同時又不會導(dǎo)致爆炸性后的邏輯。而此處所給出的弗協(xié)調(diào)認(rèn)知邏輯C1D正是這樣一種邏輯。

比如，當(dāng)一個認(rèn)知主體j因為某種原因同時相信了一個陳述及其否定，用邏輯語言可以將之描述為Bj(α∧?α)或Bjα∧Bj?α。如果該認(rèn)知主體的基礎(chǔ)邏輯是經(jīng)典認(rèn)知邏輯（即，由經(jīng)典邏輯通過擴充認(rèn)知算子及其相關(guān)公理和推理規(guī)則而得到的認(rèn)知邏輯），由于公式(α∧?α)→β是經(jīng)典邏輯的定理，所以使用公理(14)和R2易證Bj(α∧?α)→Bjβ和(Bjα∧Bj?α)→Bjβ也將是定理。這兩條定理的直觀含義是說，如果認(rèn)知主體同時相信了一個陳述及其否定，那么他在邏輯上就必須相信任意的陳述。這就意味著，若以經(jīng)典認(rèn)知邏輯為基礎(chǔ)，認(rèn)知主體在進行有意義的認(rèn)知活動之前，這種認(rèn)知的矛盾沖突必須被清除掉。否則，其結(jié)果就會導(dǎo)致其它所有的認(rèn)知活動在邏輯上喪失了必要。

但實際的情況并非如此。即使一個認(rèn)知主體接受了一個陳述及其否定，他仍然保持著足夠的理性，仍然可以進行有意義的認(rèn)知活動。這就是說，面對信念中的不協(xié)調(diào)，我們并沒在事實上失去邏輯的理性，進而真地就去相信任意的陳述。此時，認(rèn)知主體理性的基礎(chǔ)邏輯顯然不是經(jīng)典認(rèn)知邏輯，而是一種可以包含信念沖突且不會導(dǎo)致相信任意陳述的邏輯。根據(jù)推論2，上述的兩個公式Bj(α∧?α)→Bjβ和(Bjα∧Bj?α)→Bjβ已不是C1D的定理，所以弗協(xié)調(diào)置信邏輯就具有了這種容忍認(rèn)知沖突但同時又不會導(dǎo)致爆炸性后果機制，因而就可以作為弗協(xié)調(diào)認(rèn)知理論的一種基礎(chǔ)邏輯。

更進一步地說，以經(jīng)典認(rèn)知邏輯為基礎(chǔ)不能同時相信一個陳述及其否定的原因在于：在經(jīng)典認(rèn)知邏輯中，公式(Bjα∧Bj?α)沒有模型；即，不存在某個認(rèn)知世界w，使得(Bjα∧Bj?α,w)=1。這是顯而易見的。因為若有(Bjα∧Bj?α,w)=1，則有(Bjα,w)=1且(Bj?α,w)=1。而根據(jù)經(jīng)典認(rèn)知邏輯對否定詞的賦值定義，這是不可能的。所以，公式(Bjα∧Bj?α)在經(jīng)典認(rèn)知邏輯中為是不可滿足式。所以，根據(jù)經(jīng)典認(rèn)知邏輯的要求，認(rèn)知主體就不可以同時相信一個陳述及其否定。這是我們對信念系統(tǒng)所追求的一種理想狀態(tài)；在這種理想狀態(tài)中，我們的信念是協(xié)調(diào)一致的，是不存在任何矛盾沖突的。

然而，我們之所以稱之為“理想狀態(tài)”，就是因為在許多的實際情境中，我們很難確保認(rèn)知個體或著某個認(rèn)知共同體的知識或信念沒有沖突。在C1D中，一般意義的矛盾律受到了限制，于是一個陳述及其否定（該否定為弗協(xié)調(diào)否定，而不是經(jīng)典否定）則可以同時成立。更具體地說，根據(jù)定義2(1)，C1D允許(Bjα,w)=1且 (Bj?α,w)=1；所以根據(jù)定義 2(5)，(Bjα∧Bj?α,w)可以為 1（但不是一定為1）。也即是說，如果以弗協(xié)調(diào)置信邏輯C1D為基礎(chǔ)，認(rèn)知主體就可以相信一個陳述及其（弗協(xié)調(diào)）否定。同時，又不會因此而導(dǎo)致爆炸性后果，因為公式(Bjα∧Bj?α)→Bjβ已不再是系統(tǒng)C1D的定理。如果以弗協(xié)調(diào)置信邏輯C1D為基礎(chǔ)，我們就可以既容忍認(rèn)知沖突，又不會在邏輯上失去理性而去相信一切。

總而言之，在知識和信念占重要地位的認(rèn)知領(lǐng)域，出現(xiàn)矛盾沖突的情形幾乎是以常態(tài)方式而存在的。經(jīng)典認(rèn)知邏輯要求我們必須要將它們解決掉，這樣的要求無可厚非，也是必要的。如果這些認(rèn)知的矛盾沖突可以被及時而恰當(dāng)?shù)亟鉀Q，那是最理想的結(jié)果。但實際上，解決這些知識信念的矛盾沖突不僅需要耗費大量辛勤的智力活動，更重要的是也需要耗費相當(dāng)長的時間。此外，還存著某些在某種層面上無需考慮其影響，也無需考慮將之解決的那種知識信念的矛盾沖突（比如，羅素悖論在初級集合論學(xué)習(xí)層面或日常生活層面上，就無需考慮其影響）。面對這些尚未解決或在一定層面上無需解決的矛盾沖突，我們在邏輯上是否真的就處于“相信一切”的混亂狀態(tài)呢？顯然沒有。實際上，認(rèn)知主體在容忍它們的狀態(tài)下，仍然可以順利地進行著理性思考，因而其基礎(chǔ)邏輯顯然就應(yīng)該是一種弗協(xié)調(diào)性質(zhì)的認(rèn)知邏輯。弗協(xié)調(diào)多主體置信邏輯C1D可以容忍那些形如Bj(α∧?α)、(Bjα∧Bj?α)或(Bjα??Bjα)的知識信念沖突，因而就可以為那些包含知識信念矛盾沖突的理論提供的一種可靠的基礎(chǔ)邏輯。維特根斯坦曾經(jīng)預(yù)言和期望一種可以包含矛盾的演算（[13]，第171頁），如果把弗協(xié)調(diào)邏輯看作是這種演算的開端，那么弗協(xié)調(diào)置信邏輯或許正好展示了這種演算在信念領(lǐng)域的實踐應(yīng)用。

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