一種非最小相位過程的PI-PD控制器整定方法

牛瑤瑤, 張井崗

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

非最小相位過程是指在右半S平面存在零點(diǎn)、極點(diǎn)或者有時滯環(huán)節(jié)的被控過程。非最小相位過程在工業(yè)中常見于以下系統(tǒng)：精餾塔、鍋爐汽包水位的控制系統(tǒng)等。其中，具有右半S平面零點(diǎn)并且含有時滯的非最小相位過程更為典型。因?yàn)橛野隨平面零點(diǎn)的存在，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的起始階段方向與最終穩(wěn)態(tài)階段方向相反，從而使控制器輸出正反饋信號；在被控對象受到外界干擾影響的情況下，因?yàn)闀r滯的存在，控制器消除干擾的影響較為緩慢，結(jié)果導(dǎo)致了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間較長且超調(diào)量較大。采用傳統(tǒng)的控制策略，不能讓此類被控過程達(dá)到理想地控制效果。

對于非最小相位過程，許多學(xué)者進(jìn)行了大量的仿真和分析。依據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)中的特征方程，文獻(xiàn)[1]研究出兩種新型結(jié)構(gòu)的PID控制器，但利用該方法整定的控制器僅與過程模型參數(shù)有關(guān)，不便應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中。針對這一問題，文獻(xiàn)[2-3]給出了一種IMC-PID控制器的解析策略，僅有一個可調(diào)參數(shù)。文獻(xiàn)[4-5]分別利用Smith預(yù)估補(bǔ)償控制結(jié)構(gòu)，討論分析了直接分解與全通分解的整定策略，并且比較了兩種分解策略對系統(tǒng)的影響，但文獻(xiàn)的控制結(jié)構(gòu)較復(fù)雜。文獻(xiàn)[6]提出將控制過程分為負(fù)調(diào)的抑制階段和輸入的跟蹤階段，利用遺傳算法優(yōu)化控制器參數(shù)，但該控制器需要設(shè)計(jì)7個參數(shù)。文獻(xiàn)[7]給出了一種模糊PID控制器的設(shè)計(jì)方法，也使用遺傳算法優(yōu)化參數(shù)。文獻(xiàn)[8]為改變不穩(wěn)定零點(diǎn)，采用了內(nèi)?？刂茦O點(diǎn)鏡像映射的策略，雖然可調(diào)參數(shù)僅有一個，但并未對其魯棒性進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[9]利用PID參數(shù)兩步整定法確定參數(shù)，但系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間過長。文獻(xiàn)[10]采用Smith預(yù)估控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)PI-PD控制器，該策略降低了系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量，縮短了調(diào)節(jié)時間，但未明確給出參數(shù)Kc，TI的選擇方法，且該控制結(jié)構(gòu)較復(fù)雜。

針對非最小相位過程，本文基于PI-PD控制給出一種參數(shù)整定策略。該策略基于內(nèi)?？刂圃?，給出了PI與PD控制器的參數(shù)整定公式。本文所提出的策略參數(shù)調(diào)整方便，仿真結(jié)果證實(shí)了該策略的有效性。

1 內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)

圖1為內(nèi)?？刂频慕Y(jié)構(gòu)框圖，其等效結(jié)構(gòu)框圖如圖2.圖中R是控制系統(tǒng)的輸入信號，D是干擾信號，Y是輸出信號，Gp(s)是系統(tǒng)的被控過程對象，Gm(s)是系統(tǒng)的被控過程數(shù)學(xué)模型，Gc(s)是反饋控制器，Q(s)是內(nèi)模控制器。

圖1 內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)

Fig.1IMCcontrolstructure

圖2 內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)等效圖

Fig.2IMCequivalentstructure

由圖1和圖2可知：

(1)

對于圖1，系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)為：

(2)

當(dāng)模型精確時，也就是Gp(s)=Gm(s)，系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性為：

(3)

系統(tǒng)的干擾抑制特性為：

(4)

對于圖2，設(shè)定值跟隨特性為：

(5)

干擾抑制特性為：

(6)

2 內(nèi)模PID控制器的設(shè)計(jì)

典型的非最小相位的傳遞函數(shù)為：

(7)

其中，Kp、a、τ、T1和T2均大于零。

由上式可知，傳遞函數(shù)中包含一個右半S平面零點(diǎn)，為了使控制器具有PID控制器的形式，將右半S平面零點(diǎn)當(dāng)作時滯部分來處理[11]，故可得：

-as+1≈e-as

(8)

則式(7)可寫成：

(9)

其中：θ=τ+a

(10)

根據(jù)設(shè)計(jì)內(nèi)?？刂破鞯姆椒?，把被控對象模型分解為全通部分Gm+(s)和最小相位部分Gm-(s).即

Gm+(s)=e-θs

(11)

(12)

內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)為如下形式：

Q(s)=[Gm-(s)]-1f(s)

(13)

為使Q(s)是可實(shí)現(xiàn)的，改進(jìn)系統(tǒng)的干擾抑制特性，利用其零點(diǎn)抵消Gp(s)中兩個慣性環(huán)節(jié)中對應(yīng)的兩個極點(diǎn)，故選擇四階形式的濾波器：

(14)

λ為濾波器時間常數(shù)；β1，β2為待定系數(shù)。

根據(jù)式(4)可知，為了使(1-GmQ)的零點(diǎn)與Gp(s)中兩個慣性環(huán)節(jié)中對應(yīng)的兩個極點(diǎn)相消，可采用下式確定β1和β2.

(1-GmQ)

(15)

由上式可得：

(16)

(17)

將式(12)、(13)和(14)代入式(1)，可得：

(18)

Gc(s)分母的Maclaurin展開式含有積分項(xiàng)，故為：

(19)

近似地將前三項(xiàng)寫成PID形式為：

(20)

由此可得：

kc=g′(0)

(21a)

(21b)

(21c)

將式(18)和(19)代入上式整理可得：

(22a)

(22b)

τD=

(22c)

以上三式就是PID控制器的參數(shù)，其中僅含有一個可調(diào)參數(shù)λ.λ的值越大，控制系統(tǒng)的響應(yīng)越慢，λ的值越小，控制系統(tǒng)的響應(yīng)越快。

3 PI-PD控制器的設(shè)計(jì)

Ibrahim Kaya針對不穩(wěn)定過程設(shè)計(jì)出PI-PD控制結(jié)構(gòu)[12]，該結(jié)構(gòu)中PI控制器被置于前向通道中，PD控制器被置于副反饋回路中，本文將此結(jié)構(gòu)應(yīng)用于非最小相位過程中。PI-PD控制器的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3PI-PD控制器結(jié)構(gòu)圖

Fig.3PI-PDcontrolstructure

假定PI與PD控制器的表達(dá)式分別為：

(23)

GPD(s)=Kf(1+TDs)

(24)

式中，Kc與TI是PI控制器的比例系數(shù)與積分時間常數(shù)，Kf與TD是PD控制器的比例系數(shù)與微分時間常數(shù)。圖3的等效結(jié)構(gòu)圖如圖4.

圖4PI-PD控制器的等效結(jié)構(gòu)圖

Fig.4PI-PDcontrolequivalentstructure

由上圖可以看出，相對于內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)上多了一個設(shè)定值濾波器。故PI-PD控制器減小了超調(diào)量。

由式(23)和(24)可知GPI+GPD的表達(dá)式為：

(25)

顯然，GPI+GPD具有PID控制器的形式。故PI-PD控制器參數(shù)可以利用PID控制器參數(shù)推出。根據(jù)內(nèi)模控制原理得到的PID控制器Gc(s)為式(20)，比較式(20)和式(25)可得PI控制器和PD控制器的參數(shù)如下：

(26a)

(26b)

(26c)

TD=(1+ε)τD

(26d)

ε為可調(diào)參數(shù)，且ε=Kc/Kf，將(22a)、(22b)和(22c)分別代入(26a)、(26b)、(26c)和(26d)可得：

(27a)

(27b)

(27c)

TD=(1+ε)·

(27d)

由上式可知，PI-PD控制器中僅含兩個可調(diào)參數(shù)λ和ε.ε可取任何實(shí)數(shù)，調(diào)整ε便可獲得PI-PD控制器的參數(shù)。ε的值越大，控制系統(tǒng)的響應(yīng)越快，ε的值越小，控制系統(tǒng)的響應(yīng)越慢。

4 魯棒性分析

在模型精確的情況下，根據(jù)圖4可知系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)為：

(28)

補(bǔ)靈敏度函數(shù)為：

(29)

若l(s)是模型可乘性不確定性上界，則被控過程Gp(s)在模型失配情況下可表示成：

Gp(s)=Gm(s)(1+l(s))

(30)

由小增益定理[13]可得控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定的充要條件為：

‖T(s)l(s)‖∞=sup|T(s)l(s)|<1

(31)

故獲得良好魯棒穩(wěn)定性的條件為：

(32)

將式(9)、(18)、(29)代入式(32)可得：

(33)

設(shè)s=jω，模型存在不確定性△Kc，△T1，△T2，△θ則可得到系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的條件為：

(34)

從上式可看出，針對模型不確定性，可通過調(diào)節(jié)控制器參數(shù)λ的大小使其滿足式(34)，以此來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可調(diào)參數(shù)ε無關(guān)。對于可調(diào)參數(shù)λ的取值應(yīng)同時滿足閉環(huán)系統(tǒng)的干擾抑制特性和魯棒穩(wěn)定性。

5 仿真實(shí)例對比及分析

5.1 PID控制和PI-PD控制兩種方法的比較

考察文獻(xiàn)[10]中的非最小相位過程：

為了比較PI-PD控制器與PID控制器的控制作用的不同，兩種方法選取相同的λ.采用PI-PD控制器時，選取參數(shù)λ=5，ε=0.5，采用PID控制器時，選取參數(shù)λ=5.系統(tǒng)的設(shè)定值輸入r(t)=1(t)，擾動信號輸入d(t)=-0.2(t-150)，對系統(tǒng)采用PID控制器及PI-PD控制器兩種方法進(jìn)行仿真，輸出響應(yīng)如圖5.

圖5 采用PI-PD和PID控制器的系統(tǒng)輸出響應(yīng)

Fig.5ThesystemresponsewithPI-PDandPIDcontroller

從圖5中可以看出，利用PI-PD控制器抑制了系統(tǒng)輸出的超調(diào)，縮短了調(diào)節(jié)時間，故PI-PD控制器優(yōu)于PID控制器。

5.2 仿真實(shí)例對比

考察文獻(xiàn)[4]中的非最小相位過程：

將本文方法和文獻(xiàn)[4]方法進(jìn)行比較。為了比較的公平性，調(diào)整參數(shù)使兩種方法在模型精確的條件下設(shè)定值跟隨特性的ISE值相同，進(jìn)而比較模型精確的條件下的干擾抑制特性和模型失配條件下的系統(tǒng)的動靜態(tài)特性。本文方法選取參數(shù)λ=1.35，ε=1，文獻(xiàn)方法選取參數(shù)Kc=0.826，TI=4.283，TD=1.011.系統(tǒng)的設(shè)定值輸入為r(t)=1(t)，擾動信號輸入為d(t)=-0.5(t-40)，圖6與圖7分別為模型精確條件下，系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制特性。圖8與圖9分別為模型失配(模型參數(shù)Kp，a，T1，T2，τ分別增大20%)的條件下，系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性和干擾抑制特性。系統(tǒng)的ISE值比較如表1.

圖6 模型精確時系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性

Fig.6Set-pointtrackingcharacteristicwithnominalsystem

圖7 模型精確時系統(tǒng)的干擾抑制特性

Fig.7Disturbancerejectioncharacteristicwithnominalsystem

圖8 模型失配時系統(tǒng)的設(shè)定值跟隨特性

Fig.8Set-pointtrackingcharacteristicwithperturbedsystem

圖9 模型失配時系統(tǒng)的干擾抑制特性

Fig.9Disturbancerejectioncharacteristicwithperturbed

表1ISE值比較

Tab.1ComparisonofISEperformanceindex

方法模型精確模型失配設(shè)定值跟隨性能干擾抑制性能設(shè)定值跟隨性能干擾抑制性能本文方法4.9580.3765.8940.636文獻(xiàn)[4]方法4.9610.5845.9710.845

從圖表可以得出，本文方法優(yōu)化了控制系統(tǒng)的動態(tài)性能以及魯棒性，比文獻(xiàn)[4]中所提策略更具優(yōu)越性。

6 結(jié)論

針對非最小相位過程，給出了一種PI-PD控制結(jié)構(gòu)的參數(shù)整定策略。經(jīng)仿真分析，采用PI-PD控制器有效減小了系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量，減少了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間，使控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性和魯棒性。本文提出的方法控制結(jié)構(gòu)較簡單、參數(shù)較少且調(diào)節(jié)方便，容易推廣使用。

參考文獻(xiàn)：

[1] CHIEN I L, CHUNG Y C, CHEN B S, et al. Simple PID Controller Tuning Method for Processes with Inverse Response Plus Dead Time or Large Overshoot Response Plus Dead Time[J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2003, 42(20)：4461-4477.

[2] CHEN P, ZHANG W, ZHU L. Design and Tuning Method of PID Controller for A Class of Inverse Response Processes[C]// American：American Control Conference, 2006. IEEE, 2006.

[3] SHAMSUZZOHA M, LEE M. Tuning of Integrating and Integrating Processes with Dead Time and Inverse Response [J]. Aiche Journal, 2006, 12(2)：1482-1485.

[4] JENG J C, LIN S W. Robust Proportional-Integral-Derivative Controller Design for Stable/ Integrating Processes with Inverse Response and Time Delay[J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2012, 51(6)：2652-2665.

[5] JENG J C, LIN S W. PID controller tuning based on Smith-type compensator for second-order processes with inverse response and time delay[C] // Asia：Control Conference. IEEE, 2011：1147-1152.

[6] 何真,陸宇平,鄭成軍. 一種新的非最小相位系統(tǒng)的控制方法[J]. 信息與控制,2006,12(5)：560-563.

[7] 施壯,陳勝利,屈穎. 一類非最小相位系統(tǒng)的智能控制[J]. 自動化技術(shù)與應(yīng)用,2008，34(1)：30-33.

[8] 尚繼良,王曉燕,于瑋. 非最小相位系統(tǒng)中的內(nèi)?？刂芠J]. 青島科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2007,26(3)：253-255.

[9] 馬增輝. 一類非最小相位系統(tǒng)的 PID 控制器整定方法[J]. 信息與控制, 2015, 44(2)： 147-151.

[10] KAYA I. PI-PD controllers for controlling stable processes with inverse response and dead time[J]. Electrical Engineering, 2016, 98(1)：55-65.

[11] SKOGESTAD S. Simple analytic rules for model reduction and PID controller tuning[J]. Journal of Process Control, 2003, 13(4)：291-309.

[12] KAYA I. A PI-PD controller design for control of unstable and integrating processes[J]. Isa Transactions, 2003, 42(1)：111-121.

[13] MANFREDMORARI,EVANGHELOSZAFIRIOU. Robust process control[M]. American：Prentice Hall, 1989.