基于串并聯(lián)彈簧模型的混凝土黏聚律及裂縫擴(kuò)展全過程分析

卿龍邦王 苗郝冰娟

(河北工業(yè)大學(xué)土木與交通學(xué)院,天津 300401)

混凝土是一種多相、非均質(zhì)材料,由于制作過程存在攪拌、養(yǎng)護(hù)不足等問題,其內(nèi)部存在隨機(jī)分布的缺陷,如微孔洞、微裂縫等。在環(huán)境或荷載作用下,隨機(jī)分布的缺陷容易并聚為宏觀裂縫,進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的安全性。近年來,在混凝土裂縫擴(kuò)展模擬方面開展了大量的研究[1鄄4],其中Hillerborg等[4]提出的虛擬裂縫模型得到了廣泛應(yīng)用,該模型采用黏聚律描述裂縫尖端黏聚力與裂縫張開位移之間的關(guān)系,由于黏聚律是準(zhǔn)確模擬裂縫擴(kuò)展的關(guān)鍵,其合理獲取方法具有重要的研究意義。

目前,獲取黏聚律的方法主要有直接方法和間接方法[5]。直接方法采用單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線,將其變形等效分解為線彈性區(qū)和黏聚開裂區(qū)的變形[6],由此即可得到黏聚律。直接方法具有簡便、直觀的特點(diǎn)。利用直接方法的思路,以熱力學(xué)第二定律為基礎(chǔ),Cazes等[7]提出了一種基于能量等效原理獲取黏聚律的方法,即假定混凝土損傷模型和斷裂模型破壞過程中耗散的能量相等[8],利用損傷模型可得到斷裂模型的裂縫黏聚律。

然而,以上方法均未考慮混凝土的隨機(jī)特性。在反映混凝土材料的隨機(jī)特性方面有多種混凝土隨機(jī)損傷模型,其中較為典型的是平行單元模型[9鄄12]。平行單元模型采用單根桿件或彈簧表示微觀結(jié)構(gòu),無窮多根桿件或彈簧并聯(lián)表示宏觀結(jié)構(gòu),通過桿件或彈簧破壞時(shí)極限應(yīng)變服從的隨機(jī)變量來建立微觀結(jié)構(gòu)和宏觀結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上,李杰等[13鄄15]建立了串并聯(lián)彈簧隨機(jī)損傷模型,其核心思想是將單層的平行單元模型延伸至多層,進(jìn)而能夠更好地模擬應(yīng)力跌落等軟化現(xiàn)象。2014年,劉漢昆等[16鄄17]將非局部化理論引入到串并聯(lián)彈簧隨機(jī)損傷模型中,基于非局部理論進(jìn)行了混凝土單軸受拉建模分析,解決了串并聯(lián)彈簧模型中存在的層數(shù)敏感性問題。此后,在獲取隨機(jī)裂縫黏聚律方法研究方面,卿龍邦等[18]利用并聯(lián)彈簧隨機(jī)損傷模型,采用耗散能等效原理,得到了大壩混凝土的裂縫黏聚律,并利用得到的黏聚律模擬了裂縫擴(kuò)展全過程。

本文在已提出的裂縫黏聚律獲取方法[18]的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步開展混凝土黏聚律的研究,基于串并聯(lián)彈簧隨機(jī)損傷模型,采用耗散能等效原理,研究微彈簧斷裂應(yīng)變分別服從Weibull分布和對數(shù)正態(tài)分布時(shí)對混凝土裂縫黏聚律的影響,以及黏聚律受串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)的影響,并比較基于耗散能等效方法獲得的黏聚律和傳統(tǒng)位移等效方法獲得的黏聚律的區(qū)別。

1 位移等效方法和耗散能等效方法

1.1 位移等效方法

根據(jù)單軸拉伸試驗(yàn),將單軸拉伸變形分解為斷裂區(qū)的附加變形和斷裂區(qū)外的變形兩部分:

式中:駐l為總變形;l為拉伸試件原長;w為斷裂區(qū)變形;著0為斷裂區(qū)外的彈性應(yīng)變。

1.2 耗散能等效方法

Cazes等[7]根據(jù)耗散能等效原理[8]得到了獲取黏聚律的方法。如圖1所示,兩根長度相同的混凝土損傷桿和斷裂桿,兩端受相同拉伸力作用,加載過程中,損傷桿的變形沿桿長平均分布,而斷裂桿的非線性變形主要集中在桿中間的黏聚區(qū)。假定兩根桿在變形過程中任意瞬時(shí)耗散能增量相等:

式中:漬s為斷裂桿的耗散能;漬為損傷桿的耗散能。根據(jù)損傷桿與斷裂桿耗散能增量相同的原理,由損傷桿模型可建立斷裂桿模型黏聚區(qū)的黏聚律,即斷裂桿模型黏聚區(qū)的黏聚力與裂縫張開位移之間的關(guān)系。

圖1 損傷桿模型和斷裂桿模型

2 黏聚律獲取方法

2.1 串并聯(lián)彈簧隨機(jī)損傷模型

如圖2所示,串并聯(lián)彈簧隨機(jī)損傷模型由n個(gè)典型單元體(典型單元體由無數(shù)個(gè)等間距并聯(lián)的彈簧組成)串聯(lián)而成[9鄄12]。模型的高度為H=nh0,其中h0為材料特征高度。模型中每個(gè)微彈簧的彈性模量和橫截面積相同,駐i為第i個(gè)微彈簧斷裂時(shí)的極限應(yīng)變,是服從同一概率分布的隨機(jī)變量,常采用Weibull分布和對數(shù)正態(tài)分布[19]。

圖2 混凝土單軸受拉模型示意圖[13]

當(dāng)?shù)湫蛦卧w所受拉應(yīng)變?yōu)橹鴷r(shí),由于微彈簧斷裂而退出工作的彈簧面積Af為

式中:k為微彈簧個(gè)數(shù);Ai為第i個(gè)微彈簧的橫截面積;H(著-駐i)為 Heaviside函數(shù),滿足

典型單元體破壞面的損傷變量定義為D(著)=Af(著)/A,則名義應(yīng)力為

式中:A為典型單元體所有彈簧的總面積;E為彈性模量。

因?yàn)榛炷疗茐臅r(shí)的顯著特征是局部破壞,所以串并聯(lián)彈簧模型的破壞是由某個(gè)單元體斷裂產(chǎn)生的,此單元體稱為主裂紋單元體,其他單元體稱為非主裂紋單元體[13]。臨界應(yīng)變前,所有單元體應(yīng)變相同;臨界應(yīng)變之后,主裂紋單元體應(yīng)變繼續(xù)增加,非主裂紋單元體卸載,應(yīng)變不再增加。

臨界應(yīng)變前,所有典型單元體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系均可由式(5)表示。臨界應(yīng)變后非主裂紋單元體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中:為非主裂紋單元體應(yīng)變;著cer為臨界應(yīng)變。臨界應(yīng)變后主裂紋單元體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為式中^著為主裂紋單元體應(yīng)變。

a.斷裂應(yīng)變服從Weibull分布。Weibull分布的概率密度函數(shù)為

式中著0、m為相關(guān)參數(shù)。

b.斷裂應(yīng)變服從對數(shù)正態(tài)分布。對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為

式中分別為lnx的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

根據(jù)式(8)和式(9)中概率密度函數(shù),可得到如下應(yīng)力-應(yīng)變表達(dá)式[18]:

式 中為變量ln著服從均值為姿、方差為孜2的對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)。

2.2 基于面積等效的黏聚律獲取方法

根據(jù)損傷桿耗散能在其本構(gòu)關(guān)系中的體現(xiàn),可將損傷桿單位面積耗散能用圖3中陰影部分表示。

圖3 損傷桿耗散能示意圖

極限應(yīng)變之前不形成黏聚裂縫,處于彌散損傷狀態(tài)[19],損傷桿的耗散能為

極限應(yīng)變之后,材料出現(xiàn)局部破壞,損傷桿在變形過程中所耗散的能量為

式中:漬i為損傷桿第i步的耗散能,對于普通混凝土,材料特征高度h0應(yīng)至少大于斷裂過程區(qū)高度,Ba觩ant等[20]建議一般取 3 倍骨料最大粒徑;滓t、著t分別為損傷桿的極限應(yīng)力和極限應(yīng)變;滓i、著i分別為損傷桿在第i步的應(yīng)力和應(yīng)變;Si為圖3中ABCD連成的曲線所包圍面積的,其計(jì)算表達(dá)式為式中:著v、著v-1分別為損傷桿在第v步、第v-1步的應(yīng)變;滓v為損傷桿在第v步的應(yīng)力。

斷裂桿耗散能在其軟化曲線中的體現(xiàn)可由圖4中陰影部分的面積表示,當(dāng)串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)n=1時(shí),其表達(dá)式為

式中:漬s,i為斷裂桿第i步的耗散能;滓s,i為斷裂桿黏聚區(qū)第i步的應(yīng)力;棕z、棕z-1、棕i、棕i-1分別為斷裂桿在第z步、第z-1步、第i步和第i-1步的裂縫張開位移。

圖4 斷裂桿耗散能示意圖

得到損傷桿和斷裂桿的耗散能之后,根據(jù)式(2),可建立黏聚力與裂縫張開位移的增量表達(dá)式。

由于斷裂桿的應(yīng)力和損傷桿的應(yīng)力在相同變形下相同,即

將式(13)~(16)代入式(2),可得到n=1時(shí)斷裂桿裂縫張開位移與黏聚力的關(guān)系式,即黏聚律:

當(dāng)n>1時(shí),極限應(yīng)變前損傷桿的耗散能仍由式(12)表示。臨界應(yīng)變之前,主裂紋單元體耗散能和n-1個(gè)非主裂紋單元體耗散能都隨其應(yīng)變的增加而增加,總耗散能為兩部分耗散能之和,即

式中:分別為損傷桿在第i步的非主裂紋和主裂紋單元體應(yīng)變與應(yīng)力;分別為(著t,滓t)、()、()、(著t,0)4點(diǎn)與(著t,滓t)、(^著i,^滓i)、(^著i,0)、(著t,0)4點(diǎn)依次連接而成的曲線所包圍的面積,計(jì)算方法與Si類似。

臨界應(yīng)變之后,主裂紋單元體耗散能繼續(xù)增加,非主裂紋單元體因卸載耗散能不再增加,損傷桿總耗散能為主裂紋單元體耗散能和n-1個(gè)非主裂紋單元體在臨界應(yīng)變時(shí)的耗散能之和:

式中:滓cer為損傷桿的臨界應(yīng)力;Scer為圖3中(著t,滓t)、(著cer,滓cer)、 (著cer,0)和(著t,0)4 點(diǎn)依次連接而成的曲線所包圍的面積,計(jì)算方法與Si類似。

同理,將損傷桿耗散能式(18)和式(19)、斷裂桿耗散能式(15)代入式(2),即可得到n>1時(shí)斷裂桿的黏聚律,仍由式(17)表示。

3 利用黏聚律模擬裂縫擴(kuò)展全過程

采用文獻(xiàn)[21]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來對比分析耗散能等效方法與位移等效方法得到的黏聚律的區(qū)別,并基于獲得的黏聚律模擬裂縫擴(kuò)展全過程,驗(yàn)證采用耗散能等效方法獲取黏聚律時(shí)不受串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[21]中直接拉伸試驗(yàn),得到模型參數(shù)為m=2郾16、著0=129郾58伊10-6、姿=4郾76、孜=0郾6,對微彈簧斷裂應(yīng)變分別按服從Weibull分布和對數(shù)正態(tài)分布的情況進(jìn)行計(jì)算。不同串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)時(shí)單軸受拉本構(gòu)關(guān)系如圖5所示(為便于分析比較,將本構(gòu)關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)化)。

圖5 混凝土單軸受拉本構(gòu)關(guān)系

依據(jù)前文提出的黏聚律獲取方法,分析在串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)n取不同值時(shí)黏聚律的變化規(guī)律。當(dāng)n=1時(shí),分別采用耗散能等效方法和位移等效方法獲得的黏聚律見圖6;當(dāng)n>1時(shí),基于Weibull分布得到的黏聚律如圖7所示,基于對數(shù)正態(tài)分布得到的黏聚律如圖8所示。

圖6 試驗(yàn)實(shí)例黏聚律(n=1)

圖7 試驗(yàn)實(shí)例黏聚律(n>1,斷裂應(yīng)變服從Weibull分布)

圖8 試驗(yàn)實(shí)例黏聚律(n>1,斷裂應(yīng)變服從對數(shù)正態(tài)分布)

由圖6可知,在相同的裂縫張開位移下,基于Weibull分布得到的黏聚律的耗散能小于基于對數(shù)正態(tài)分布的情況;采用耗散能等效方法獲得的黏聚律和采用位移等效方法獲得的黏聚律相同。由圖7和圖8可知,采用耗散能等效方法獲得的黏聚律受串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)影響較小,隨著模型層數(shù)的增加,所獲得的黏聚律逐漸逼近模型層數(shù)為1時(shí)的情況,最后幾乎重合。可見當(dāng)n=1時(shí),采用耗散能等效方法與采用位移等效方法獲得的黏聚律相同;當(dāng)n>1時(shí),采用耗散能等效方法獲得的黏聚律不依賴于模型層數(shù)。

為探討串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)對混凝土裂縫擴(kuò)展全過程的影響,基于上述計(jì)算得到的黏聚律,選取文獻(xiàn)[21]中編號為SL43鄄3的大壩混凝土三點(diǎn)彎曲梁試件進(jìn)行模擬計(jì)算,試件長、寬、高分別為1600 mm、200 mm和400 mm,初始縫長為156 mm,縫高比為0郾39,抗拉強(qiáng)度為 2郾052 MPa,彈性模量 35郾0 GPa。以斷裂應(yīng)變服從對數(shù)正態(tài)分布時(shí)的黏聚律為例,分別基于耗散能等效方法和位移等效方法獲得的黏聚律模擬了大壩混凝土裂縫擴(kuò)展全過程,計(jì)算得到的荷載-裂縫張開位移(P鄄CMOD)曲線如圖9所示。

圖9 三點(diǎn)彎曲梁試件荷載-裂縫張開位移曲線

由圖9(a)可以看出,不同串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)時(shí)計(jì)算得到的荷載-裂縫張開位移曲線幾乎重合,并與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好;采用位移等效方法獲得的黏聚律(圖9(b))模擬裂縫擴(kuò)展結(jié)果離散性較大?？梢?隨著串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)的增加,采用耗散能等效方法獲得的黏聚律模擬裂縫擴(kuò)展時(shí),荷載裂縫張開位移曲線基本不受模型層數(shù)影響,較大程度上減輕了模型層數(shù)敏感性問題,驗(yàn)證了本文方法的合理性。

4 結(jié) 論

a.基于串并聯(lián)彈簧隨機(jī)損傷模型,結(jié)合耗散能等效原理,獲得了混凝土裂縫黏聚律。

b.黏聚律受微彈簧斷裂應(yīng)變服從的概率密度函數(shù)影響?；赪eibull分布得到的黏聚律耗散能小于基于對數(shù)正態(tài)分布得到的黏聚律耗散能。

c.采用耗散能等效方法得到的黏聚律基本不受串并聯(lián)彈簧模型層數(shù)影響,解決了在獲取裂縫黏聚律時(shí)的模型層數(shù)敏感性問題。

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