不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性的判別

劉小寧 劉 岑 陳 帆 劉 兵 楊 帆 張紅衛(wèi)

(1.武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 湖北 武漢:430205；2.湖北輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢:430070)

在工程實(shí)踐中，人們往往采用試驗(yàn)方法獲得有關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定試驗(yàn)材料的性能指標(biāo)。例如，通過(guò)拉伸試驗(yàn)獲得金屬材料的屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度與斷后伸長(zhǎng)率試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)沖擊試驗(yàn)獲得標(biāo)準(zhǔn)試樣吸收能量數(shù)據(jù)，然后分析與確定材料相應(yīng)性能的指標(biāo)，作為金屬結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)的依據(jù)。

試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性是指同批次或者不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)在允許范圍內(nèi)，能真實(shí)反映材料相應(yīng)性能的性質(zhì)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性是確定材料相應(yīng)性能指標(biāo)的基礎(chǔ)。為保證試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性，我國(guó)采用有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)[1-8]規(guī)范鋼材的冶煉、加工與試驗(yàn)。相同材料的同一性能試驗(yàn)數(shù)據(jù)常常是波動(dòng)的，影響波動(dòng)范圍大小的主要因素[9-10]有如下3個(gè)，一是標(biāo)準(zhǔn)試樣，包括標(biāo)準(zhǔn)試樣的材料、材料的加工處理方法與取樣位置，以及標(biāo)準(zhǔn)試樣的結(jié)構(gòu)、尺寸與加工精度；二是試驗(yàn)環(huán)境，包括試驗(yàn)機(jī)器與儀器的精度與試驗(yàn)溫度等；三是操作人員的技術(shù)水平。3個(gè)因素完全相同的試驗(yàn)為同批次試驗(yàn)，第1個(gè)因素相同而其他兩個(gè)不同的，是不同批次試驗(yàn)。文獻(xiàn)[11-13]基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論中t分布知識(shí)，建立了同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性的判別方法；目前尚未見(jiàn)到對(duì)不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性判別方法的研究。

為此，文中應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論中的F分布與t分布知識(shí)[14-21]，建立了判別不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性的方法，基于兩種金屬材料低擊沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)，在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，分析了3批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性；基于材料性能基本符合正態(tài)分布假設(shè)，確定了橋梁用鋼Q500qE與某船用耐蝕鋼低溫沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)均值、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)取值區(qū)間。

1 構(gòu)建基本方法

1.1 構(gòu)建不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性的判別方法

假設(shè)R為金屬材料沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)、屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度與斷后伸長(zhǎng)率之一，通過(guò)沖擊試驗(yàn)或者拉伸試驗(yàn)，獲得m個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中第i個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與精密度分別為：

(1)

(2)

1.1.1 第i個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性

第i個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)屬于同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)，其同質(zhì)性的判別參數(shù)為：

(3)

判據(jù)為：

|tij|≤tni-1,0.5α

(4)

式中：tni-1,0.5α為t分布系數(shù)，由自由度(ni-1)與0.5α查得。

如果tij滿足式(4)，則有(1-α)的把握認(rèn)為，Rij與同批次的其它(ni-1)個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有同質(zhì)性。

文中取α=0.02，所用的t分布系數(shù)值見(jiàn)表1[14-15]。

表1 t分布系數(shù)

1.1.2 不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性

不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性，是指使用不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)材料性能指標(biāo)均值與標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，其均值與標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)分別無(wú)顯著差異。因此，材料性能指標(biāo)基本符合正態(tài)分布，是判別不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性的前提。

①標(biāo)準(zhǔn)差之間無(wú)顯著差異的判別方法。當(dāng)μA與μB無(wú)顯著差異時(shí)F分布是比較標(biāo)準(zhǔn)差σA與σB是否存在顯著差異的工具，判別參數(shù)為：

(5)

在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差σA與σB無(wú)顯著差異的判據(jù)為：

F1-0.5α,nA-1,nB-1≤FAB≤F0.5α,nA-1,nB-1

(6)

式中：F1-0.5α,nA-1,nB-1與F0.5α,nA-1,nB-1為F分布系數(shù)，分別用(1-0.5α)、(nA-1)、(nB-1)與0.5α、(nA-1)、(nB-1)查得；nA與nB分別為第A與第B批次同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)量。

其中

本文取α=0.02，所用的F分布系數(shù)值見(jiàn)表2[14-15]。

表2 F分布系數(shù)

②均值之間無(wú)顯著差異的判別方法。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差σA與σB無(wú)顯著差異時(shí)，均值μA與μB否存在顯著差異的判別參數(shù)為：

(7)

其中

(8)

在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)，均值μA與μB無(wú)顯著差異的判據(jù)為：

|tAB|≤tnA+nB-2,0.5α

(9)

式中：tnA+nB-2,0.5α為t分布系數(shù)，由自由度(nA+nB-2)與0.5α查得。

文中取α=0.02，所用的t分布系數(shù)值見(jiàn)表1[14-15]。

若m個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)相互之間同時(shí)滿足式(6)與式(9)，表明在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)，m個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有同質(zhì)性。對(duì)于非同質(zhì)性的無(wú)效數(shù)據(jù)可采用文獻(xiàn)[11-13]方法剔除，并重新判別同質(zhì)性有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

值得注意的是，式(6)與式(9)中的α，是將同質(zhì)性批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤剔除的風(fēng)險(xiǎn)概率，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)，小概率事件在有限的m個(gè)批次試驗(yàn)中不可能發(fā)生，因此文中取α=0.02，即在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，判別試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性，對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)概率為2%。

1.2 根據(jù)同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定性能指標(biāo)取值區(qū)間

若m個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)中有m/批是同質(zhì)的，第i個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)中有ni/個(gè)是同質(zhì)的，則同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總量N為：

N個(gè)同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與精密度分別為：

(10)

(11)

在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)，若材料性能R基本符合正態(tài)分布，則其分布參數(shù)的取值區(qū)間按如下方法確定。

1.2.1 均值的取值區(qū)間

材料性能R的均值μ在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)取值范圍為：

μ∈[μmin，μmax]

(12)

其中

(13)

(14)

式中：μ為材料性能R的均值；μmin與μmax分別為μ在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)的下限與上限；tN-1, 0.5α為t分布系數(shù)，由自由度(N-1)與0.5α查得。

α=0.02時(shí)，文中所用的t分布系數(shù)值見(jiàn)表1。

1.2.2 標(biāo)準(zhǔn)差的取值區(qū)間

材料性能R的標(biāo)準(zhǔn)差σ在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)取值范圍為：

σ∈[σmin，σmax]

(15)

其中

(16)

(17)

α=0.02時(shí)，文中所用的χ2分布系數(shù)值見(jiàn)表3[14-15]。

表3 χ2分布系數(shù)

1.2.3 變異系數(shù)的取值區(qū)間

材料性能R的變異系數(shù)C在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)取值范圍為：

C∈[Cmin，Cmax]

(18)

其中

Ctmin=σmin/μmax，Cmax=σmax/μmin(19)

式中：C為材料性能R的變異系數(shù)；Cmin與Cmax分別為C在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)的下限與上限。

2 工程實(shí)例

2.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

文獻(xiàn)[10]采用V形缺口的標(biāo)準(zhǔn)試樣，通過(guò)沖擊試驗(yàn)，分別測(cè)得3個(gè)批次(m=3)橋梁結(jié)構(gòu)鋼Q500qE在-40℃與某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)，每個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)為10個(gè)(n1=n2=n3=10)，每個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)以及平均值與精密度其見(jiàn)表4和表5。

表4 Q500qE鋼的沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)(-40℃)

2.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性判別

取α=0.02，文中在雙側(cè)置信度為98%時(shí)判別試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性。

2.2.1 同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性判別

表5 某船用耐蝕鋼的沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)(-20℃)

2.2.2 不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性判別

①Q(mào)500qE鋼。將表4相同批次的平均值與精密度數(shù)據(jù)代入式(5)、式(7)與式(8)，可得到不同批次的判別參數(shù)，見(jiàn)表6。

表6 Q500qE鋼同質(zhì)性判別參數(shù)及計(jì)算值

由表2數(shù)據(jù)可知，F(xiàn)0.99,9,9=0.153與F0.01,9,9=6.541，表6中判別參數(shù)F12、F13與F23均不小于F0.99,9,9，并且不大于F0.01,9,9，即滿足式(6)，表明3個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)無(wú)顯著差異。

由于自由度(nA+nB-2)=10+10-2=18，由表1數(shù)據(jù)可知t18,,0.01=2.552，表6中判別參數(shù)t12、t13與t23的絕對(duì)值均小于t18,,0.01，即滿足式(9)，表明3個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間對(duì)均值的無(wú)偏估計(jì)無(wú)顯著差異。

根據(jù)以上分析，橋梁結(jié)構(gòu)鋼Q500qE在-40℃的3個(gè)批次共30個(gè)沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)是同質(zhì)性的。

②某船用耐蝕鋼。將表5相同批次的平均值與精密度數(shù)據(jù)代入式(5)、式(7)與式(8)，可得到不同批次的判別參數(shù)，見(jiàn)表7。

表7 某船用耐蝕鋼同質(zhì)性判別參數(shù)及計(jì)算值

由表2數(shù)據(jù)可知，F(xiàn)0.99,9,9=0.153與F0.01,9,9=6.541，表6中判別參數(shù)F12、F13與F23均不小于F0.99,9,9，并且不大于F0.01,9,9，即滿足式(6)，表明3個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)無(wú)顯著差異。

由于自由度(nA+nB-2)=10 + 10-2=18，由表1數(shù)據(jù)可知t18,0.01=2.552，表6中判別參數(shù)t12、t13與t23的絕對(duì)值均小于t18,0.01，即滿足式(9)，表明3個(gè)批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間對(duì)均值的無(wú)偏估計(jì)無(wú)顯著差異。

根據(jù)以上分析，某船用耐蝕鋼在-20℃的3個(gè)批次共30個(gè)沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)是同質(zhì)性的。

2.3 沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)的取值區(qū)間

取α=0.02，文中在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，根據(jù)30組同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別分析Q500qE鋼在-40℃與某船用耐蝕鋼在-20℃時(shí)，沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)的取值區(qū)間。

2.3.1 Q500qE鋼

根據(jù)以上分析，基于Q500qE鋼3個(gè)批次的30個(gè)同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，按式(10)與式(11)，可得到其在-40℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)的平均值與精密度：

(20)

將式(20)代入式(12)～式(14)，可得到重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)均值的取值區(qū)間：

μ∈[187.4，202.2]

(21)

將式(20)代入式(15)～式(17)，可得到重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的取值區(qū)間：

σ∈[12.42，23.16]

(22)

將式(21)與式(23)代入式(19)，可得到重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的取值區(qū)間：

C∈[0.0614，0.1236]

(23)

2.3.2 某船用耐蝕鋼

根據(jù)以上分析，基于3個(gè)批次的30個(gè)同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，按式(10)與式(11)，可得到某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)的平均值與精密度：

(24)

將式(24)代入式(12)～式(14)，可得到重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)均值的取值區(qū)間：

μ∈[320.7，332.5]

(25)

將式(24)代入式(15)～式(17)，可得到重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的取值區(qū)間：

σ∈[9.80，18.28]

(26)

將式(25)與式(26)代入式(19)，可得到重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的取值區(qū)間：

C∈[0.0295，0.0570]

(27)

2.4 討論

精度是指試驗(yàn)數(shù)據(jù)與真值之間差異的量度，差異小表明精度高，精度低表明差異大；變異系數(shù)是衡量精度高低的定量指標(biāo)，變異系數(shù)小表明試驗(yàn)數(shù)據(jù)與真值之間差異小精度高，變異系數(shù)大表明試驗(yàn)數(shù)據(jù)與真值之間差異大精度低[13,16,17]；但是，刻意追求小的變異系數(shù)，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致鋼材制造成本的急劇上升，因此，必須通過(guò)技術(shù)經(jīng)濟(jì)性分析，確定鋼材某個(gè)指標(biāo)的合適變異系數(shù)。

在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，比較式(23)與式(27)可知，Q500qE鋼在-40℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的下限為0.0614，大于某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的上限0.0570；根據(jù)文獻(xiàn)[21]關(guān)于變異系數(shù)的比較方法，Q500qE鋼在-40℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)精度相對(duì)比較低，或者是重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)波動(dòng)范圍相對(duì)比較大，穩(wěn)定性比較差。

Q500qE鋼在-40℃以及某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布，筆者將在另外的論文中進(jìn)行研究。

3 結(jié)論

1)同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與精密度，分別是材料性能指標(biāo)均值與標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)，不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)的同質(zhì)性，是指使用不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)材料性能指標(biāo)時(shí)，其均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別無(wú)顯著差異。文中在所要求的雙側(cè)置信度時(shí)，基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性的判別方法進(jìn)行了研究。

2)應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的F分布、t分布知識(shí)和不同批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立了材料性能指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差與均值無(wú)顯著差異的判別方法。并利用同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析了材料性能指標(biāo)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)的取值范圍。

3)在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，Q500qE鋼在-40℃的3個(gè)批次共30組沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)具有同質(zhì)性，某船用耐蝕鋼在-20℃的3個(gè)批次共30組沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)也具有同質(zhì)性，并分別獲得它們沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)均值、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)的取值區(qū)間。

4)Q500qE鋼在-40℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的下限為0.0614，大于某船用耐蝕鋼在-20℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)變異系數(shù)的上限0.0570，表明Q500qE鋼在-40℃沖擊試驗(yàn)重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)精度相對(duì)比較低，或者是重復(fù)性評(píng)定數(shù)據(jù)波動(dòng)范圍相對(duì)比較大，穩(wěn)定性比較差。

[1] 中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局,中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì).優(yōu)質(zhì)碳素結(jié)構(gòu)鋼:GB/T 699-2015[S].北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社,2016:1-9.

[2] 中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局,中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì).鍋爐和壓力容器用鋼板:GB/T 713-2014[S].北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社,2014:1-9.

[3] 中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局,中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì).合金結(jié)構(gòu)鋼:GB/T 3077-2015[S].北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社,2016:1-28.

[4] 中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局,中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì).橋梁用結(jié)構(gòu)鋼:GB/T 714-2015[S].北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社,2016:1-12.

[5] 中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局,中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì).金屬材料 拉伸試驗(yàn) 第1部分 室溫試驗(yàn)方法:GB/T 228.1-2010[S].北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社,2011:1-61.

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[7] 中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局,中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì).擺錘式?jīng)_擊試驗(yàn)機(jī)檢驗(yàn)用夏比V型缺口標(biāo)準(zhǔn)試樣:GB/T 18658-2002[S].北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社,2002:1-8.

[8] 中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局,中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會(huì).金屬材料 夏比擺錘沖擊試驗(yàn)方法:GB/T 229-2007[S].北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社,2008:1-13.

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