基于概率分析的鋼箱梁豎向溫度梯度模式

劉思琴，李傳習(xí)，李 濤，張玉平

(1.長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410114；2.四川公路橋梁建設(shè)集團(tuán)有限公司 大橋工程分公司，四川 成都 610071)

無鋪裝層鋼箱梁因其沒有鋪裝層的遮擋，在日照作用下，溫度梯度作用十分顯著[1-2]。中國《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范(JTG D60-2015)》[3]給出的鋼-混疊合梁截面的溫度梯度模式，并不適應(yīng)于無橋面鋪裝的情況[4]。因此，中國有一些學(xué)者對處于無橋面鋪裝階段的鋼箱梁溫度場進(jìn)行了初步的研究。郝超[5]根據(jù)鋼箱梁實(shí)測溫度場，分析了非線性溫差對無鋪裝層鋼箱梁的影響及任意溫度場下的荷載效應(yīng)計(jì)算公式，然而，其并未研究當(dāng)鋼箱梁處于無橋面鋪裝階段時(shí)在豎向的溫度梯度。陳家齊[6]等人監(jiān)測了湛江海灣大橋鋼箱梁的溫度場，給出了適應(yīng)于湛江地區(qū)天氣情況的鋼箱梁在沒有橋面鋪裝時(shí)的溫度梯度。張玉平[7]等人根據(jù)熱傳導(dǎo)和有限元基本原理，對無橋面鋪裝的鋼箱梁進(jìn)行了溫度場計(jì)算，并將計(jì)算值與實(shí)測值進(jìn)行了比較，給出了適應(yīng)于杭州和廣州地區(qū)的無鋪裝層鋼箱梁溫度梯度模式及相關(guān)參數(shù)的取值。但在研究無橋面鋪裝的鋼箱梁溫度場過程中，一些學(xué)者僅監(jiān)測實(shí)橋溫度場，然后采用最小二乘法，擬合所獲得的監(jiān)測數(shù)據(jù)，以此確定溫度梯度。這種做法不夠精確[8]，還需用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，分析監(jiān)測數(shù)據(jù)，以確定豎向溫差的代表值。目前，中國無鋪裝層鋼箱梁溫度場的研究成果只限于江蘇、浙江及廣東等少數(shù)的省份和地區(qū)。因此，作者以四川省瀘州市沱江四橋主橋鋼箱梁為工程背景，擬采用ANSYS軟件，對該橋鋼箱梁在施工階段的溫度場進(jìn)行計(jì)算，并將鋼箱梁各關(guān)鍵位置的計(jì)算溫度與現(xiàn)場實(shí)測溫度進(jìn)行比較。采用指數(shù)函數(shù)，對四川省瀘州市沱江四橋主橋鋼箱梁在無橋面鋪裝時(shí)的豎向溫度梯度進(jìn)行擬合。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，對頂、底板的豎向溫差進(jìn)行分析。采用極值分析的方法，得到設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)無橋面鋪裝的鋼箱梁在豎向的正溫差代表值。

1 熱傳導(dǎo)與有限元計(jì)算理論

某一時(shí)刻箱梁在三維空間內(nèi)任意一點(diǎn)的溫度可以表示為：

Ti=f(x,y,z,t)。

(1)

式中：Ti為箱梁內(nèi)某一點(diǎn)的溫度；x,y,z均為空間直角坐標(biāo)系中不同方向的坐標(biāo)；t為時(shí)間。

由于鋼箱梁沿橋縱向溫度均勻分布[9]，于是將鋼箱梁的三維溫度場轉(zhuǎn)化為二維平面溫度場處理，忽略主梁沿橋縱向的溫度變化。因此，鋼箱梁截面內(nèi)沒有熱源時(shí)，在與外界進(jìn)行熱傳導(dǎo)過程中的二維瞬態(tài)微分方程為：

(2)

式中：ρ為鋼材密度；c為物體的比熱；k為導(dǎo)熱系數(shù)；T為鋼板溫度。

求解式(2)還應(yīng)該已知鋼箱梁在進(jìn)行溫度場計(jì)算時(shí)的初始條件和邊界條件。本研究鋼箱梁的初始條件即計(jì)算開始時(shí)刻鋼箱梁截面內(nèi)各點(diǎn)的溫度分布，其計(jì)算式為：

T(x,y,t)|t=0=T0(x,y)。

(3)

式中：T0(x,y)為物體的初始溫度函數(shù)。

邊界條件即鋼箱梁在進(jìn)行熱傳導(dǎo)過程中任何引起其溫度發(fā)生變化的外界原因。對流和輻射是鋼箱梁表面與外界發(fā)生熱交換時(shí)的2種主要形式。由傅里葉定律可知，鋼箱梁溫度計(jì)算時(shí)的邊界條件為：

(4)

大氣的流動速度、鋼箱梁邊界的溫度及大氣的溫度是對流換熱熱流密度qc的決定因素，因此，對流換熱熱流密度的計(jì)算式為：

qc=hc(Ta-Ts)。

(5)

式中：hc為對流熱交換系數(shù)；Ta為大氣的溫度；Ts為結(jié)構(gòu)表面溫度。

按Stefen-boltzman輻射定律，熱輻射換熱熱流密度的計(jì)算式為：

qr=hr(Ta-Ts)。

(6)

hr=csε[(T*+Ta)2-(T*+

Ts)2](Ta+Ts+2T*)。

(7)

式中：hr為輻射換熱系數(shù)；cs為Stefen-boltzman常數(shù)，其值為5.677×10-8W/(m2·K4)；ε為輻射率；T*為常數(shù)，其值為273.15，用于將℃轉(zhuǎn)換為K。

太陽輻射換熱熱流密度是由太陽輻射所引起的，其計(jì)算式為:

qs=αI。

(8)

I=Iα+Iβ+If。

(9)

式中：α為太陽輻射吸收率；I為太陽輻射強(qiáng)度；Iα為太陽直接輻射強(qiáng)度；Iβ為太陽散射強(qiáng)度；If為地面反射強(qiáng)度。

將式(5)～(8)代入式(4),可得：

(10)

(11)

以T0(x,y)為初始溫度，將h和Tsa作為荷載賦予給邊界上的各個面，利用有限元方法，即可對式(2)求解。

2 背景工程與有限元模型

2.1 背景工程

四川省瀘州市沱江四橋主橋?yàn)楠?dú)塔雙索面斜拉橋，主梁為鋼-砼混合梁?？鐝讲贾脼?55+200+58+50) m，主跨鋼箱梁段長247.75 m，橫截面為PK斷面形式。該橋位于四川盆地的南端邊緣，屬丘陵區(qū)準(zhǔn)南亞熱帶季風(fēng)濕潤氣候，季風(fēng)氣候明顯，春秋季暖和，夏季炎熱，冬季不太冷，年平均溫度為17.1～18.5 ℃。每年的7～8月為瀘州市當(dāng)?shù)販囟茸罡咴路?，每年?～2月為當(dāng)?shù)販囟茸畹驮路荩瑸o州歷史最高氣溫為43.2 ℃，歷史最低氣溫為-2 ℃。

2.2 有限元模型的建立

取2017年7月15日的環(huán)境條件，利用ANSYS有限元軟件，選用具有面內(nèi)傳熱能力的三維熱殼單元shell57，計(jì)算沱江四橋主橋PK斷面鋼箱梁在頂推施工過程中無橋面鋪裝時(shí)的溫度場。由于橫斷面采用平行設(shè)置的、左右分離式的雙幅箱梁橋的溫度分布，因此，可只考慮單幅箱梁情況[10]。沿橋縱向選取一段長為12 m的單幅鋼箱梁，按比例1∶1建立模型，如圖1所示。單元劃分后，該有限元模型由13 189個節(jié)點(diǎn)和15 392個單元組成。

圖1 鋼箱梁單元劃分Fig.1 Element mappling of the steel box girder

通過實(shí)測可知，早上6∶00時(shí)鋼箱梁梁內(nèi)溫度近似等于外界大氣溫度，故選取6∶00時(shí)箱內(nèi)溫度(25.25 ℃)作為初始溫度。由式(11)可知，可以將熱輻射和太陽輻射轉(zhuǎn)化為對流，將綜合換熱系數(shù)h和綜合大氣溫度Tsa賦予給邊界上的各個面。鋼材物理參數(shù)的取值分別為：密度7 854 kg/m3，比熱434，導(dǎo)熱系數(shù)60.5，吸收率0.82，輻射率0.6，其他所需的各個計(jì)算參數(shù)的相關(guān)取值及說明見表1。溫度場的計(jì)算為瞬態(tài)分析，邊界上的荷載會隨著時(shí)間的變化而不斷變化。因此，通過Table數(shù)組對邊界上的各荷載進(jìn)行定義?？紤]傍晚18∶00到早上6∶00期間鋼箱梁截面內(nèi)溫度分布較為均勻，在分析鋼箱梁溫度場時(shí)，以早上6∶00為計(jì)算起始時(shí)刻，傍晚18∶00為終止時(shí)刻，一共13個荷載步，每一個荷載步時(shí)間為3 600 s。

表1 計(jì)算參數(shù)取值Table 1 The value of calculation parameters

注：hc與風(fēng)速和表面粗糙程度有關(guān)，風(fēng)速取當(dāng)天實(shí)測風(fēng)速，表面粗糙程度按光滑考慮。本研究太陽輻射強(qiáng)度數(shù)據(jù)來源于當(dāng)?shù)貧庀缶帧?/p>

3 有限元結(jié)果與實(shí)測結(jié)果的對比

沱江四橋主橋鋼箱梁在進(jìn)行頂推施工時(shí)，在主跨跨中上游幅(無鋪裝)截面布置27個溫度測點(diǎn)，溫度傳感器布置如圖2所示。利用數(shù)據(jù)采集模塊，每隔0.5 h自動采集一次數(shù)據(jù)，不間斷連續(xù)監(jiān)測了6～8月份期間的溫度場。選取同一日(2017年7月15日)的有限元模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，鋼箱梁各關(guān)鍵位置溫度變化曲線如圖3所示。

從圖3中可以看出，鋼箱梁各關(guān)鍵位置計(jì)算溫度與實(shí)測溫度非常接近，二者走勢一致，二者最大絕對誤差不大于3 ℃。因此，使用ANSYS軟件計(jì)算鋼箱梁在施工過程中瞬態(tài)溫度場的結(jié)果比較精確，該方法可行，能供實(shí)際工程進(jìn)行參考和應(yīng)用。

4 鋼箱梁豎向溫度梯度模式

由于溫度作用在橋梁結(jié)構(gòu)受力和計(jì)算過程中對箱梁的影響是其在豎向的溫度梯度作用效應(yīng)，因此，橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范在考慮箱梁的溫度作用時(shí)，溫度控制荷載為頂、底板溫差最大時(shí)的豎向溫度梯度。在箱梁日照溫度場中，上、下緣最大溫差往往出現(xiàn)在夏季，通過對沱江四橋鋼箱梁在6～8月份截面溫度場的不間斷連續(xù)監(jiān)測，選取其中具有代表性的縱隔板頂、底板日溫差最大的30組數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，日最大正溫度梯度呈指數(shù)形式。

圖2 沱江四橋鋼箱梁溫度測點(diǎn)布置(單位：m)Fig.2 Thermal observation points of Tuojiang 4th Bridge(unit:m)

圖3 鋼箱梁溫度變化曲線Fig.3 Temperature curves of the steel box girder

Ty=T0e-ay。

(12)

式中：Ty為計(jì)算點(diǎn)位置與梁底的溫差；T0為梁高方向的最大正溫差；y為計(jì)算點(diǎn)至梁頂?shù)木嚯x；a為計(jì)算參數(shù)，取1.7。

按式(12)采用最小二乘法對其進(jìn)行擬合，縱隔板實(shí)測曲線與擬合曲線的對比如圖4所示。從圖4中可以看出，擬合值與實(shí)測值的差小于1 ℃，個別測點(diǎn)的差較大，但也都在2 ℃以內(nèi)，擬合結(jié)果較為精確。

圖4 縱隔板實(shí)測曲線與擬合曲線的對比Fig.4 The measured curve compared with the fitted curve of longitudinal clapboard

5 鋼箱梁豎向溫差概率分析

5.1 日最大正溫差分布函數(shù)

選取夏季6～8月份實(shí)測數(shù)據(jù)為樣本，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，對無鋪裝層鋼箱梁截面豎向日最大正溫差進(jìn)行了分析。選取數(shù)個概率分布函數(shù)，一一對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合。通過比較，發(fā)現(xiàn)2個Weibull分布的加權(quán)和擬合度最好，即其日最大正溫差服從2個Weibull分布函數(shù)加權(quán)和的概率分布，其概率密度函數(shù)表達(dá)式為：

(13)

式中：T為日最大正溫差；fm(T,αi,βi)為變量T、尺度參數(shù)αi及形狀參數(shù)βi的Weibull分布；vi為第i個Weibull分布的權(quán)重；αi,βi及vi為待估計(jì)參數(shù)；本研究取n=2。

按式(13)，對樣本數(shù)據(jù)采用最小二乘法進(jìn)行擬合，可得到：ν1=0.59，α1=21.92，β1=7.94，ν2=0.41，α2=12.42，β2=1.71。即日最大正溫差T的概率密度函數(shù)可表示為：

f(T)=0.59fm(T,21.92,7.94)+

0.41fm(T,12.42,1.71)。

(14)

在溫差樣本數(shù)據(jù)的概率密度分布直方圖基礎(chǔ)上，根據(jù)式(14)，作出估計(jì)曲線，如圖5所示。從圖5中可以看出，式(14)所確定的估計(jì)曲線能精確地反映日最大正溫差樣本總體的分布規(guī)律。表明：式(14)所求得的概率密度函數(shù)f(T)是適用的。

圖5 日最大正溫差的概率密度直方圖及估計(jì)曲線Fig.5 histogram and measured curves of the probability density with the maximum positive temperature difference

5.2 溫差代表值的確定

通過采用極值的概率分布方法，計(jì)算出鋼箱梁在設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期限內(nèi)頂、底板豎向正溫差最大值Y的概率分布[11]。Y的分布函數(shù)為：

FY(T)=F(T)n。

(15)

式中：F(T)為日最大正溫差的分布函數(shù)，可通過對式(14)進(jìn)行積分求得；n為設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)的天數(shù)。

(16)

式中：fY(T)為Y的概率密度函數(shù)。

沱江四橋主橋鋼箱梁設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)，最大正溫差對應(yīng)各溫差的超越概率如圖6所示。

圖6 設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)最大正溫差對應(yīng)各溫差的超越概率Fig.6 The transcendental probability of temperature corresponding to the maximum positive temperature difference in design reference period

若獲得正溫差各個代表值的超越概率p，即可根據(jù)式(16)反推出中國設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期100 a內(nèi)正溫差的各個代表值。參考《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)(GB 50153-2008)》[12]可知，溫度作用準(zhǔn)永久值和頻遇值的超越概率p分別取50%和5%。文獻(xiàn)[12]并沒有提及如何獲取可變作用的標(biāo)準(zhǔn)值。目前，學(xué)者們普遍的做法是參考?xì)W洲規(guī)范選取50 a一遇的溫度作用值作為溫度作用的特征值。因此，中國的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期100 a內(nèi)，溫度作用最大值出現(xiàn)大于特征值的次數(shù)是2次，即溫度作用標(biāo)準(zhǔn)值的超越概率p為2/100=2%。把以上各個溫度作用代表值的p分別代入式(16)，通過反推，即可以計(jì)算出正溫差標(biāo)準(zhǔn)值、頻遇值和準(zhǔn)永久值分別為57.15,54.8和47.85 ℃。

6 結(jié)論

1) 根據(jù)熱傳導(dǎo)理論和有限元原理，建立ANSYS有限元模型，計(jì)算鋼箱梁在施工過程中的溫度場。將計(jì)算溫度與實(shí)測溫度進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)二者非常接近。表明：采用有限元方法計(jì)算鋼箱梁溫度場可行，可供實(shí)際工程參考和應(yīng)用。

2) 中國橋梁規(guī)范中并沒有對無橋面鋪裝時(shí)鋼箱梁的溫度梯度進(jìn)行說明，本研究采用指數(shù)函數(shù)擬合了四川省瀘州市沱江四橋主橋鋼箱梁在無橋面鋪裝時(shí)的豎向溫度梯度，可供中國其他橋梁參考借鑒。

3) 2個Weibull分布函數(shù)的加權(quán)和能夠精確反映無鋪裝層鋼箱梁頂、底板之間豎向正溫差的分布規(guī)律。

4) 采用極值分析的方法，得到設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)無橋面鋪裝的鋼箱梁在豎向的正溫差代表值，即正溫差標(biāo)準(zhǔn)值、頻遇值和準(zhǔn)永久值分別為57.15,54.8和47.85 ℃。

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