信號(hào)交叉口車流到達(dá)分布實(shí)證研究

鄭慧敏，況愛武，段倩倩

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114)

交通流具有隨機(jī)性和時(shí)變性等特性，尤其是由機(jī)動(dòng)車、非機(jī)動(dòng)車和行人構(gòu)成的交叉口混合交通流更是如此。如何把握交叉口交通流的隨機(jī)特征是開展交叉口優(yōu)化控制的關(guān)鍵。Webster法、ARRB法、HCM法及沖突點(diǎn)法等單交叉口信號(hào)配時(shí)算法均基于穩(wěn)態(tài)流理論，都未考慮交叉口進(jìn)口道車輛到達(dá)率的隨機(jī)性，這些方法均假定交叉口車輛到達(dá)率為某一定值，因此，所獲得控制方案的控制效果與實(shí)際交通狀況有較大的差異，信號(hào)控制的適應(yīng)性有待加強(qiáng)。由于交通信號(hào)控制的各種優(yōu)化指標(biāo)是服從一定概率分布的，當(dāng)平均值優(yōu)化到一定程度時(shí)，優(yōu)化指標(biāo)的概率分布就顯得尤為重要。

近年來(lái)，一些學(xué)者對(duì)交叉口到達(dá)車流的隨機(jī)性進(jìn)行了研究。如：胡明偉[1]運(yùn)用K-S檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)車輛到達(dá)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，并且采集了部分道路的交通數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證。蔣陽(yáng)升[2]等人對(duì)交叉口隨機(jī)到達(dá)車流的時(shí)間間隔進(jìn)行了擬合，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)車流的到達(dá)規(guī)律與其變異系數(shù)的平方存在耦合關(guān)聯(lián)。也有些學(xué)者對(duì)基于可靠度的信號(hào)控制問題開展了研究，如：丁建梅[3]等人借助波動(dòng)系數(shù)理論，對(duì)交通量波動(dòng)的特性進(jìn)行了分析，設(shè)計(jì)了信號(hào)控制參數(shù)優(yōu)化算法。于泉[4]等人考慮交叉口信號(hào)控制方案與交通流時(shí)變特性之間的關(guān)系，利用可靠度指標(biāo)來(lái)確定固定配時(shí)方案的啟動(dòng)時(shí)間，以滿足交通流時(shí)變的特性。朱翼雋[5]等人假設(shè)交通的到達(dá)率服從泊松分布，將交叉口機(jī)動(dòng)車流的運(yùn)行過程定義為M/G/1/∞休假隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，建立了以交叉口機(jī)動(dòng)車平均總等待時(shí)間為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)隨機(jī)控制模型。Lo[6]考慮交叉口入口引道車流到達(dá)的不確定性，提出了相位清空可靠性的概念?；趯?duì)數(shù)正態(tài)分布的進(jìn)口道車輛到達(dá)數(shù)，建立了相位清空可靠度評(píng)價(jià)模型，并進(jìn)一步構(gòu)建了以相位清空可靠度為約束的交叉口信號(hào)控制優(yōu)化模型。同時(shí)，還采用事件樹方法，研究了交叉口存在溢流情況下的信號(hào)控制方法。但是，Lo的研究沒有考慮到交叉口信號(hào)控制延誤和排隊(duì)長(zhǎng)度的隨機(jī)性。呂斌[7]基于Lo所提出的相位清空可靠度，在假設(shè)正態(tài)分布和負(fù)指數(shù)分布的車流達(dá)到率下，建立了信號(hào)配時(shí)優(yōu)化模型，并討論了交叉口車流到達(dá)率的隨機(jī)性程度對(duì)周期時(shí)長(zhǎng)和相位綠燈時(shí)間的影響。許多學(xué)者建立了隨機(jī)條件下以交叉口機(jī)動(dòng)車期望排隊(duì)長(zhǎng)度為優(yōu)化目標(biāo)、以相位清空可靠度為約束的孤立交叉口配時(shí)優(yōu)化方法[8-9]。然而，這些基于可靠度的信號(hào)配時(shí)方法多假定交叉口到達(dá)車流服從某一種概率分布，但這些分布能否真實(shí)描述交叉口到達(dá)車流的隨機(jī)性仍缺乏論證。

為保證交叉口信號(hào)控制方案的可靠度，應(yīng)先確定交叉口進(jìn)口道車流到達(dá)服從何種概率分布。作者以長(zhǎng)沙市部分交叉口在不同時(shí)段、不同進(jìn)口道、不同流向的車輛到達(dá)數(shù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為依據(jù)，擬運(yùn)用非參數(shù)檢驗(yàn)方法，對(duì)信號(hào)控制的交叉口進(jìn)口道車流到達(dá)隨機(jī)分布開展實(shí)證研究，建立具有一定普適性的概率分布模型。

1 常用分布及其參數(shù)估計(jì)

1.1 備選分布

根據(jù)交叉口車流到達(dá)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)直方圖和學(xué)者們的相關(guān)研究，本研究選擇正態(tài)分布、指數(shù)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布及Wakeby分布4種概率分布模型來(lái)描述信控交叉口隨機(jī)車流到達(dá)的備選分布。該4種概率分布的密度函數(shù)和待估計(jì)參數(shù)見表1。

Wakeby分布函數(shù)沒有概率密度函數(shù)或者累積分布函數(shù)的解析表達(dá)式,它是由其分位函數(shù)(累積分布函數(shù)的反函數(shù))定義的[10]。

(1)

其中，參數(shù)ξ,α,β,γ和δ應(yīng)滿足：β≠0，δ≠0；γ≥0；β+δ≥0；α+γ≥0；β>-1；δ<1。與傳統(tǒng)的概率分布相比，Wakeby分布可以描述的分布形態(tài)更為廣泛，只要給參數(shù)ξ,α,β,γ和δ賦予恰當(dāng)?shù)闹?，Wakeby分布就可以模擬出很多的偏態(tài)分布，例如：極值分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布等。

表1 備選分布及其參數(shù)Table 1 Alternative distributions and their parameters

1.2 備選分布參數(shù)估計(jì)

確定用某一種概率分布模型來(lái)進(jìn)行隨機(jī)到達(dá)車流的擬合后，應(yīng)先確定該分布的參數(shù)對(duì)傳統(tǒng)的概率分布模型。其參數(shù)估計(jì)方法比較簡(jiǎn)單，采用參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)方法就能夠獲得參數(shù)的取值。分布的參數(shù)估計(jì)方法為：

院子里有一棵特別粗壯的老楊樹。2016年深秋，我清楚地記得自己坐在楊樹下面拍攝農(nóng)場(chǎng)微電影《幸福的味道》的場(chǎng)景：一件破舊的針織毛衣，一條軍綠色的棉布褲子，一雙上世紀(jì)60年代的棉布鞋，兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的辮子，一種時(shí)空穿越的感覺。現(xiàn)在回想起來(lái)，心里還是甜甜的、暖暖的。

1) 正態(tài)分布：取大小為n的一個(gè)樣本,樣本觀測(cè)值為x1,x2,…,xi,…,xn。參數(shù)估計(jì)的一個(gè)最直觀的求法是求樣本均值和樣本方差。

4)Wakeby分布：常用的參數(shù)估計(jì)方法并不適用于Wakeby分布，其原因是Wakeby分布沒有解析形式的概率密度函數(shù)或累積分布函數(shù)，Hosking建立了Wakeby分布的L-階矩[11]參數(shù)估計(jì)方法。該方法的基本思路是：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算前五階線性矩，并令每階矩等于由L-階矩定義式推導(dǎo)得出的對(duì)應(yīng)五階矩。

L-階矩定義為：

(2)

(3)

利用式(2)和(3)，得Wakeby分布的前五階L-階矩：

λ2=α[(1+β)(2+β)]-1+γ[(1-δ)(2-δ)]-1；

λ3=α(1-β)[(1+β)(2+β)(3+β)]-1+γ(1+δ)[(1-δ)(2-δ)(3-δ)]-1；

λ4=α(1-β)(2-β)[(1+β)(2+β)(3+β)·(4+β)]-1+γ(1+δ)(2+δ)[(1-δ)(2-δ)(3-δ)(4-δ)]-1；

λ5=α(1-β)(2-β)(3-β)[(1+β)(2+β)·(3+β)(4+β)(5+β)]-1+γ(1+δ)(2+δ)(3+α)[(1-δ)(2-δ)(3-δ)(4-δ)(5-δ)]-1。

根據(jù)線性矩的定義，求出Wakeby分布的前五階線性矩后，再求取樣本的前五階線性矩。而樣本的線性矩可以根據(jù)隨機(jī)車流到達(dá)的樣本數(shù)據(jù)求得。線性矩(L-moment)是次序統(tǒng)計(jì)量某種線性組合的數(shù)學(xué)期望[12]。假設(shè)：X為一實(shí)數(shù)的隨機(jī)變量，其累積概率分布方程為F(X)，分位數(shù)方程為X(F)，并令X1∶n≤X2∶n≤…≤Xn∶n為n的隨機(jī)樣本的順序統(tǒng)計(jì)量，并且該樣本服從X的分布，則X的r階線性矩為：

r=1,2,…。

(4)

式(4)中，E(Xr-k∶r)是樣本容量為r時(shí)第(r-k)階次序統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望。則前五階的樣本線性矩計(jì)算為：

(5)

式中：br為加權(quán)概率矩(Probability Weighted Moment,簡(jiǎn)稱為PWM)，br=E[X{1-F(X)}r]，r=0,1，2，…。

由車流到達(dá)的數(shù)據(jù)求得樣本線性矩lr(r=1,2,…,5)后，可令其等于由公式(2)計(jì)算得到的對(duì)應(yīng)L-階矩的λr(r=1,2,…,5)，即lr=λr(r=1,2,…,5),從而得到對(duì)應(yīng)的方程組。求解方程，便可得到Wakeby分布的5個(gè)參數(shù)ξ,α,β,γ和δ。

1.3 分布擬合方法

常用的分布擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)方法有K-S、A-D和卡方(χ2)檢驗(yàn)，本研究采用K-S檢驗(yàn)法。對(duì)于給定的按升序排列的車流到達(dá)樣本序列：x1,x2,…,xi,…,xn，假設(shè)隨機(jī)車流的到達(dá)服從某一個(gè)分布,其中，F(xiàn)(x)為累積概率分布函數(shù),則Fn(x)經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的計(jì)算公式為：

(6)

2 實(shí)例分析

2.1 數(shù)據(jù)采集

本研究以長(zhǎng)沙市典型的2個(gè)交叉口芙蓉路與赤嶺路交叉口及芙蓉路與五一大道交叉口為數(shù)據(jù)采集對(duì)象，這2個(gè)交叉口均為三相位控制的交叉口，芙蓉路與赤嶺路為Y型交叉口，芙蓉路與五一大道為十字型交叉口。為了獲得一般性的車流到達(dá)概率分布規(guī)律，開展了為期一周的數(shù)據(jù)觀測(cè)，觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)為全天24 h。以各交叉口各進(jìn)口道1 min為時(shí)段統(tǒng)計(jì)車流到達(dá)數(shù)據(jù)，以1 h的數(shù)據(jù)作為一個(gè)樣本，共獲得了1 344組樣本數(shù)據(jù)。本研究隨機(jī)選擇了40組不同流向、不同進(jìn)口道及不同時(shí)段的數(shù)據(jù)，并將其作為研究交叉口車流到達(dá)隨機(jī)性實(shí)證分析的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

2.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布估計(jì)

根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，分析不同流向、不同進(jìn)口道及不同時(shí)段下的車流到達(dá)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，共選取了40組數(shù)據(jù)。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中可以看出，不同流向、不同進(jìn)口道以及不同時(shí)段的交叉口到達(dá)車流數(shù)據(jù)具有很大的波動(dòng)性，要想獲得一種通用的概率分布模型比較困難。以正態(tài)分布、指數(shù)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布及Wakeby分布4種概率分布作為備選分布，對(duì)每一種分布用每一組樣本進(jìn)行參數(shù)估計(jì),并選擇K-S統(tǒng)計(jì)量開展假設(shè)檢驗(yàn)，即每種分布進(jìn)行40次參數(shù)估計(jì)和相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)。其結(jié)果表明：在置信水平取SL=0.05的情況下,每種分布被拒絕的次數(shù)為：正態(tài)分布拒絕9次；對(duì)數(shù)正態(tài)分布拒絕12次；指數(shù)分布拒絕37次；Wakeby分布拒絕3次。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，在這4種分布中，指數(shù)分布的擬合效果最差，其次是對(duì)數(shù)正態(tài)分布，而5參數(shù)Wakeby分布的擬合效果最好，被拒絕次數(shù)最少，只有3次。不同時(shí)段、不同流向及不同進(jìn)口道車流到達(dá)的數(shù)據(jù)各不相同，但5參數(shù)Wakeby分布無(wú)論在任何情況下都能很好地?cái)M合。進(jìn)一步的分析表明：有2組車流到達(dá)數(shù)據(jù)不服從其他3種分布，只服從Wakeby分布，這2組數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)及K-S檢驗(yàn)結(jié)果見表2。

從表2中可以看出，這2組數(shù)據(jù)只有Wakeby分布可以很好地與車流數(shù)據(jù)吻合。且只有Wakeby分布通過了K-S檢驗(yàn)，而其他的分布均沒有通過K-S檢驗(yàn)。表明：Wakeby分布在描述信控交叉口車流到達(dá)的分布規(guī)律方面具有較大的普適性。

表2 對(duì)樣本進(jìn)行4種分布的參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)Table 2 Parameter estimation and hypothesis testing of the four distributions of samples

3 結(jié)論

本研究探討了隨機(jī)車流到達(dá)的概率分布。通過車輛到達(dá)數(shù)據(jù)，對(duì)候選的4種概率分布及5參數(shù)Wakeby分布進(jìn)行了擬合，研究了參數(shù)估計(jì)方法和假設(shè)檢驗(yàn)方法。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算了前五階線性矩。并令每階矩等于由L-階矩定義式推導(dǎo)得出的對(duì)應(yīng)五階矩，建立了等式關(guān)系求解參數(shù)。研究結(jié)果表明：Wakeby分布擬合效果最好，拒絕次數(shù)最少，只有3次。下一步將研究隨機(jī)車流到達(dá)條件下信號(hào)控制相序、相位及綠信比的設(shè)計(jì)。

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