數(shù)學(xué)史：人文與理性的融通

劉軒如

【摘 要】要將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，需要建立在一定數(shù)量的數(shù)學(xué)史料之上。教師要想在史料相對較少的限制下，開設(shè)一節(jié)文化氣息濃厚且能培養(yǎng)學(xué)生理性思維品質(zhì)的小學(xué)數(shù)學(xué)課，可以通過充分利用現(xiàn)有素材設(shè)計教學(xué)。以“軸對稱圖形”教學(xué)為例，教師按照“發(fā)現(xiàn)對稱之美—感受對稱之實—探索對稱之理—體會對稱之用”的思路進行設(shè)計、教學(xué)后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容的認識深刻，獲得了積極的情感體驗。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化；理性；數(shù)學(xué)史

一、引言

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，具有知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效等教育價值，且這些價值與“四基”“四能”、核心素養(yǎng)、情感與信念緊密相關(guān)[1]。因此，數(shù)學(xué)史在中小學(xué)一線受到了越來越多的關(guān)注，很多期刊策劃了相關(guān)的專輯或?qū)?，很多的成果被人大?fù)印資料全文轉(zhuǎn)載。然而將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)并不是一件容易的事情，特別是在小學(xué)，這與小學(xué)生的認知起點比較低，所涉及的歷史是早期的，很可能在文獻上沒有明確的記載有關(guān)[2]。那么，能否在史料有限的情況下，開設(shè)一節(jié)文化氣息濃厚且能培養(yǎng)學(xué)生理性思維品質(zhì)的小學(xué)數(shù)學(xué)課？本文將結(jié)合“軸對稱圖形”的教學(xué)探索問題的答案。

二、素材分析與應(yīng)用

對稱是不同時代人類試圖理解和借此創(chuàng)造秩序、美麗和完美的工具。因此，人類很早就喜愛對稱，特別是軸對稱，這從早期人類建造的宮殿、創(chuàng)作的藝術(shù)品中可見一斑，比如5000～7000年前仰韶文化半坡類型彩陶人面魚紋盆（圖1）、5000年前兩河流域出土文物 （圖2）、故宮太和殿、印度泰姬陵等。不僅如此，對稱還廣泛地存在于無機界和有機界，對于很多有機界的動物而言，結(jié)構(gòu)上的對稱是進化的必然結(jié)果，因為為了生存，只有身體的結(jié)構(gòu)左右對稱時，它們才能跑得快或飛得高[3]。

盡管有一些與軸對稱主題相關(guān)的歷史素材，但相比于分數(shù)、小數(shù)等主題的歷史素材，這些素材幾乎與知識的概念屬性無關(guān)。因此，基于以上相對較為有限的史料，教師采用“發(fā)現(xiàn)對稱之美—感受對稱之實—探索對稱之理—體會對稱之用”的思路設(shè)計教學(xué)，欲實現(xiàn)如下的教學(xué)目標。

（1）通過思考、交流、辨析等活動逐步認識軸對稱圖形，知道軸對稱的含義。

（2）在實踐操作中發(fā)現(xiàn)并認識軸對稱圖形中的對稱軸，并能正確畫出對稱軸。

（3）在實踐操作中提升自身的思維品質(zhì)，在欣賞與練習(xí)中感悟?qū)ΨQ的文化魅力與實用價值。

三、教學(xué)設(shè)計與實施

（一）發(fā)現(xiàn)對稱之美

師：我們來欣賞一段G20杭州峰會的芭蕾舞表演（30秒的微視頻），美嗎？為什么呢？

生：很美，演員們跳舞的樣子很優(yōu)美。

生：畫面很美，畫面都是對稱的。

師：芭蕾舞已經(jīng)很美了，對稱讓整體的畫面看上去更美了，導(dǎo)演是怎么會想到利用對稱的美設(shè)計這段表演的呢？其實大自然中，就有很多讓人感覺到對稱的事物，看！

（二）感受對稱之實

出示大自然中的圖形。

師：有沒有想過為什么蝴蝶、蜻蜓和甲蟲是對稱的？

生：飛得穩(wěn)，爬得穩(wěn)。

師：大自然中讓人感覺到對稱的事物還有很多，我們?nèi)祟愐埠茉缇蛷拇笞匀恢邪l(fā)現(xiàn)了對稱的美，并且把這些美用他們自己的方式記錄了下來，看！這是大約7000年前人類制作的彩陶盆（圖1），還有彩陶上的人面魚紋，是不是對稱的呀？5000年前，兩河流域的先民們早已經(jīng)廣泛使用了對稱的美，從一些出土的文物（見圖2）中我們就可以看出。1500年前的敦煌莫高窟的壁畫（見圖3）上也記載著迷人的對稱美！

師：更神奇的是從古至今、從中到外的許多優(yōu)秀的建筑設(shè)計都用了“對稱”。比如，大約500年前意大利建筑大師設(shè)計的作品和后人模仿改良的建筑（見圖4），故宮的太和殿和印度的泰姬陵。

師：（出示圖5）看這是什么？對了是剪紙！但很少有人知道安徒生也是“剪紙大師”！ 這位詩人總是隨身帶著一把剪刀，用剪紙取悅大人和孩子。他一面說故事一面剪紙，剪紙完成時，故事也講完了。故事的高潮便是他把神秘的剪紙打開，展現(xiàn)出最后的圖案。他的一幅幅剪紙就是一篇篇童話。

師：還有我們的雙喜剪紙，都給人對稱的感覺。

（三）探索對稱之理

1. 獨立操作。

師：那么小朋友們，你能剪出一個對稱圖形嗎？好，請每一位同學(xué)從學(xué)具盤里拿一張彩紙，看你有幾種方法剪出一個軸對稱圖形，我們比一比哪一種方法最好。

2. 學(xué)生分享。

學(xué)生展示作品，見圖6。

師：第一幅圖你是怎么剪的？

生1：我就是一對折，然后剪一個圖形，打開以后就是這個圖形了。

師：怎么證明你剪出的圖形是對稱的？

生1：這個圖形，對折，左右能夠重合就說明它是對稱的。

師：第二幅圖是誰剪的？你剪的是什么？

生2：我剪的是飛機，也是先把紙對折，然后在折痕旁邊畫飛機的一半，最后把紙打開就是這個飛機了。

師：其他的幾幅圖也是這么畫的嗎？

生：對！

師：小朋友們真厲害，通過折一折剪一剪，剪出了一個這樣的對稱圖形，其實，像這些，將一個圖形通過對折一次后，兩邊的圖形完全重合，在我們的數(shù)學(xué)中就叫作軸對稱圖形。軸在數(shù)學(xué)中表示一條直線。看，對折時，這里留下的一條折痕叫“對稱軸”。

師：為什么叫它對稱軸呢？

生：軸表示一條直線，對稱表示兩邊重合。

師：那么軸對稱又是什么呢？

生：軸對稱指的是黑板上這種，對稱的圖形，指的是一種圖形。

師：對！軸對稱圖形指的是像這樣的圖形，對稱軸指的是這條折痕，是一條直線 ！

師：對稱軸我們可以用一條直線來表示，直線畫在紙上又是用線段來表示的，線段的長度要超過圖形。請你畫一畫剛才你剪的軸對稱圖形中的對稱軸。

（四）練習(xí)鞏固

1. 從交通標識中選取5個圖形讓學(xué)生判斷是否為軸對稱圖形，并說明理由。

2. 從少先隊隊徽中抽取基本圖形五角星和圓（見圖7），讓學(xué)生判斷這兩個軸對稱圖形對稱軸的數(shù)量。

（五）體會對稱之用

1. 利用方格紙找出五角星的對稱軸。

2. 繪制軸對稱圖形（作為課后練習(xí)）。

師：老師在準備五角星的時候，不小心打翻了墨汁，有一半的五角星被涂掉了（出示圖8）！小朋友們快幫我想想辦法，怎樣在這個五角星的基礎(chǔ)上補全另一半呢？

（六）課堂小結(jié)

師：今天大家有什么收獲？

生：我知道了對稱軸是軸對稱圖形當中隱藏的一條線。

生：我知道了生活中有很多對稱的圖形。

四、學(xué)生反饋

課后，對班級32名學(xué)生的問卷調(diào)查與課后練習(xí)進行統(tǒng)計，掌握了如下學(xué)情。

1.學(xué)生對對稱之用背后的緣由有了一定的認識。

針對“為什么很多昆蟲，比如蝴蝶、蜻蜓、甲蟲的身體都是對稱的”的提問，有24名同學(xué)認為與保持平衡有關(guān)，如“如果它們不對稱，飛起來就會斜”“因為這樣才能保持平衡”“因為如果不對稱的話，昆蟲就容易掉下來”“因為只要它們一邊重，一邊輕，飛的時候就會掉下來”；針對“有很多建筑大師將軸對稱圖形應(yīng)用于建筑設(shè)計，請你說明其中的原因”的提問，有23名學(xué)生感受到了生活中有那么多對稱的建筑設(shè)計或藝術(shù)作品是對稱之美，如“原因是這樣做很美觀”“看起來好看”“因為這樣的設(shè)計具有古典美感和次序感”。

2.學(xué)生基本上掌握了這節(jié)課的知識內(nèi)容。

針對“請你寫出已學(xué)的找軸對稱圖形對稱軸的方法，并畫出正方形所有的對稱軸”的問題，雖只有5名學(xué)生回答了前一問題，“方法1，折一折；方法2，量一量”“可以折的就把它對折，能夠合起來的線就是它的對稱軸，不能合的就用尺量中間的數(shù)（所在的點）就是（對稱軸經(jīng)過的點）”“把圖形對折，如果重合，那么就是軸對稱圖形，對折的那條線就是對稱軸”“方法1，對折，如果兩邊完全重合的話，中間的折痕就是這個圖形的對稱軸；方法2：先量出這個圖形一邊的長度，再量出一邊一半的長度”，有28名學(xué)生正確地畫出了正方形中的4條對稱軸，其余4名學(xué)生正確地畫出了部分對稱軸。對于課后練習(xí)“根據(jù)對稱軸，畫出軸對稱圖形（如圖9）的另一半”的題目，完全正確的有16人，15人因未能找到不在格點上的一點的對稱點而未能補全圖形，未做對的只有1人。

3.學(xué)生有了積極的情感體驗，對這節(jié)課的評價較為多元。

在對問題“當你得知丹麥的安徒生不僅是偉大的童話大師，還是剪紙大師時，你有什么感想”的回答中，大部分學(xué)生（94%）都相當震撼，“原來童話大師也能剪出這么棒的剪紙呀！”“我覺得安徒生好厲害”。對于問題“這節(jié)課，你印象最深的是什么？為什么”的結(jié)果統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對這節(jié)課的認識較為多元，且視覺感受與動手操作帶來的影響較大，分別占總數(shù)的30%左右。

五、結(jié)語

將數(shù)學(xué)史料融入“軸對稱圖形”的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在社會與自然、藝術(shù)與建筑、古代與現(xiàn)代的交織中感受對稱的文化魅力與實用價值；通過課后的調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)生在視覺直觀與動手操作中，較好地掌握了軸對稱圖形與對稱軸。同時，“發(fā)現(xiàn)對稱之美—體會對稱之實—探索對稱之理—感受對稱之用”的思路遵循知識發(fā)生、發(fā)展的過程，也大致與學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律相一致，因此，按照這一思路實施教學(xué)，會讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是一件自然而然的事情，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題的過程，這將有助于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)。因此，“軸對稱圖形”算得上一節(jié)文化氣息濃厚且能培養(yǎng)學(xué)生理性思維品質(zhì)的小學(xué)數(shù)學(xué)課。

小學(xué)數(shù)學(xué)呼喚文化氣息濃厚且能培養(yǎng)學(xué)生理性思維品質(zhì)的課堂，因為這樣的課堂既能培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，又能培養(yǎng)學(xué)生的必備品格。在今后的教學(xué)中，我們不妨以核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為基，在課堂中適當?shù)厝谌肱c教學(xué)主題密切相關(guān)的數(shù)學(xué)家解決問題的方法，甚至是錯誤的方法、數(shù)學(xué)家的故事，讓這些數(shù)學(xué)史上的人物、事件真正發(fā)揮“課堂中一名額外學(xué)生”的價值，讓學(xué)生在和古人的“對話”中得到發(fā)展。

參考文獻：

[1]Wang，X.， Qi， C.&Wang， K. A Categorization Model for Educational Values of the History of Mathematics： An Empirical Study[J].Science & Education， 2017，26（7-9）：1029-1052.

[2]岳增成，沈中宇.HPM與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)核心問題探索——汪曉勤、鄒佳晨老師訪談錄[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2017，（11）：4-9.

[3]汪曉勤.數(shù)學(xué)文化透視[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2013：1-8.

（上海理工大學(xué)附屬小學(xué) 200093）