非等間隔灰色Verhulst模型的病態(tài)性研究

【摘要】針對(duì)非等間隔的灰色verhulst模型的病態(tài)性問題，構(gòu)造出新的背景值構(gòu)造公式，將灰色非等間隔模型的白化方程線性化得出模型解的一種新形式。通過實(shí)例分析可發(fā)現(xiàn)新提出的方法可從提高模型精度和降低求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)兩方面較好的改善了模型的病態(tài)性。針對(duì)非等間隔灰色模型的病態(tài)性問題提出了新的且有效的解決方法，首次從模型精度和參數(shù)矩陣的條件數(shù)兩方面解決模型的病態(tài)性問題，這也為解決其他類型的灰色模型的病態(tài)性提供了新的參考。

【關(guān)鍵詞】非等間隔 灰色模型 Verhulst模型 病態(tài)性

灰色Verhulst模型與灰色模型是灰色系統(tǒng)[1]預(yù)測(cè)中的最常用模型，它們構(gòu)成灰色預(yù)測(cè)體系的核心部分。近年來，灰色Verhulst模型在各領(lǐng)域[2-5]的應(yīng)用比較廣泛，但是這些模型多是考慮等時(shí)間距數(shù)據(jù)序列建立的，而實(shí)際建模中的序列往往是非等間隔序列，此時(shí)需要考慮到非等間距建立非等間隔灰色Verhulst模型[6]才能較好的解決實(shí)際問題。隨著非等間隔灰色Verhulst模型的研究及應(yīng)用，取得了一些研究成果[6-8]，但也出現(xiàn)了一些問題，如針對(duì)部分波動(dòng)數(shù)據(jù)來建模，模型的解會(huì)出現(xiàn)精度較低的現(xiàn)象。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因可以歸結(jié)為非等間隔灰色Verhulst模型存在一定的病態(tài)性，目前還沒有該模型病態(tài)性這方面的研究。本文從模型參數(shù)矩陣條件數(shù)理論出發(fā)，首先將非等間隔灰色Verhulst模型線性化，其次修改模型背景值的公式以降低模型參數(shù)矩陣的條件數(shù)和提高模型精度兩方面來改善模型的病態(tài)性。

一、改進(jìn)非等間隔灰色Verhulst模型建模機(jī)理

（一）原始非等間隔灰色Verhulst模型

根據(jù)非等間隔灰色Verhulst模型的穩(wěn)定性研究中的定義1可知非等間隔灰色Verhulst模型（定義型）■的白化微分方程形式為

■ （1）

其中

■為非負(fù)原始非等間隔序列，■，■為間隔；■為■的1-AGO序列，■，其中，■，■為■的背景值序列，傳統(tǒng)上有：■，

■

（二）非等間隔灰色Verhulst模型的線性化

根據(jù)（1）可知，白化模型為非線性模型，據(jù)非線性模型求解來看，若可以將該模型轉(zhuǎn)化為一般線性模型求解，將降低非線性模型直接求解（有的非線性模型求解比較復(fù)雜）的難度，所以本文擬將非等間隔灰色Verhulst模型（1）轉(zhuǎn)化為線性模型在進(jìn)行模型求解繼而得出模型的解的表達(dá)式。

由■為■的1-AGO序列可知，序列■可以近似看作指數(shù)序列，一般情況下都是根據(jù)序列■來進(jìn)行建模的，所以建模序列的處理變得很重要。本文將非等間隔灰色Verhulst模型（1）線性化即可通過對(duì)■序列做如下處理：

■ （2）

則模型（1）可轉(zhuǎn)化為

■ （3）

其中■。至此模型（3）可以變?yōu)轭愃品堑乳g隔GM（1，1）模型的形式即

■ （4）

則可以根據(jù)GM（1，1）模型解的形式推出模型（3）的解（時(shí)間響應(yīng)式）如下：

■ （5）

由（2）及■可以推導(dǎo)出

■

進(jìn)一步還原得出

■ （6）

（三）非等間隔灰色Verhulst模型的背景值改進(jìn)

在傳統(tǒng)的灰色建模中，多數(shù)采用背景值公式為累加序列的緊鄰均值公式即

■=■ （7）

文獻(xiàn)[9，10]等指出上述背景值的構(gòu)造式（7）存在誤差并提出了改進(jìn)式，得到較好的預(yù)測(cè)效果，本文在文獻(xiàn)[9，11]的背景值構(gòu)造基礎(chǔ)上稍作改進(jìn)，最終重構(gòu)了非等間隔灰色Verhulst模型線性化后的模型背景值的構(gòu)造式，詳細(xì)介紹如下：

由于線性化后模型（3）的解滿足指數(shù)形式，所以■可用如下指數(shù)曲線近似

■ （8）

因曲線（8）經(jīng)過■及■兩點(diǎn)，則有

■ （9）

■ （10）

（10）/（9）得

■ （11）

則可求出B為

■ （12）

將（12）代入（9）中得出A的值為

■ （13）

因此可構(gòu)造出模型（3）的背景值為

■

■

即新的背景值公式為

■■ （14）

同理對(duì)■有

■■ （15）

至此可將改進(jìn)的建模步驟總結(jié)如下：

1）通過對(duì)原始序列■的1階累加序列■進(jìn)行建模，其中背景值公式為本文提出的新形式（15），得出非等間隔灰色Verhulst模型。

2）將得到的非等間隔灰色Verhulst模型的白化模型進(jìn)行線性化（2）處理得到形如（4）的模型，利用本文重構(gòu)的背景值公式（14）結(jié)合最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)求解，根據(jù)（5）得出線性化后的模型解■。

3）根據(jù)（2）式子還原得出非等間隔灰色Verhulst模型的解■，進(jìn)一步還原得出■，其中（■）。

二、模型病態(tài)性研究

（一）模型參數(shù)矩陣條件數(shù)

根據(jù)上述研究，將非等間隔灰色Verhulst模型的白化微分方程（1）線性化后對(duì)應(yīng)的灰微分方程記為

■ （16）

那么求解參數(shù)矩陣C及參數(shù)■關(guān)系為：■（17）

其中■，■。

根據(jù)（17）求出模型（16）的參數(shù)■后，可以根據(jù)（5）可以得出模型（16）的解■，最終通過（6）可還原得出模型（1）的解■。從上述分析可知模型（16）的參數(shù)對(duì)模型（1）的影響很大，若模型（16）的參數(shù)矩陣■為良態(tài)，那么理論上模型（1）應(yīng)具有較好的模擬效果。

矩陣■的病態(tài)性，可根據(jù)矩陣的條件數(shù)來判斷，此處矩陣條件數(shù)記

■ （18）

其中■，■分別表示矩陣A的最大、最小特征根。

實(shí)踐中一般認(rèn)為：若11000，則矩陣A為嚴(yán)重的病態(tài)；

■

根據(jù)（18）可以求出

■ （19）

其中

■

（二）模型精度檢驗(yàn)

一個(gè)模型的精度好壞需通過檢驗(yàn)才能驗(yàn)證其正確性與合理性 相對(duì)誤差是評(píng)判一個(gè)模型預(yù)測(cè)精度的重要指標(biāo)，相對(duì)誤差越小模型的精度越高，同樣可以通過計(jì)算相對(duì)誤差的平方和的大小來評(píng)判一個(gè)模型的精度.文中擬采用相對(duì)誤差對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，相對(duì)誤差式子如下：

■ （20）

三、實(shí)例分析

對(duì)本文提出的改進(jìn)背景值公式，我們通過數(shù)據(jù)驗(yàn)證其效果，結(jié)果會(huì)更直觀，假如我們?nèi)∥墨I(xiàn)[6]的實(shí)例沉降數(shù)據(jù)如下：

■

此處用（7）這一傳統(tǒng)的背景值公式來建立灰色非等間隔模型記作模型一，用改進(jìn)的背景值公式（14）來建立灰色非等間隔模型記作模型二。其中模型一的解可用■來表示，其中

■ （21）

模型二的解可根據(jù)（5）、（6）得出。

根據(jù)以上理論，通過MATLAB編程得出各模型參數(shù)如下

模型一的參數(shù)■；

模型二的參數(shù)為■；

模型一、二的精度及求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)見模型效果對(duì)比表3-1。

從模型效果對(duì)比表3-1可知，本文提出的建模方法大幅度的降低了模型求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)，模型從具有嚴(yán)重病態(tài)性到輕度病態(tài)轉(zhuǎn)化，而且模型的精度也有一定提高，從而較好的改善了模型的病態(tài)性。上該實(shí)例分析可見本文提出的方法的有效性，可行性。

四、結(jié)論

本文提出了新的背景值構(gòu)造公式，將灰色非等間隔模型的白化方程線性化得出模型的解的一種新形式。通過實(shí)例分析可發(fā)現(xiàn)本文的方法可從提高模型精度和降低求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)兩方面較好的改善了模型的病態(tài)性，但唯一不足之處就是還需進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)模型的精度，以較好的滿足實(shí)際問題的模型精度需求。

參考文獻(xiàn)

[1]劉思峰，黨耀國，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].第3版.北京：科學(xué)出版社，2004：125—163.

[2]偶昌寶，俞亞南.交通量預(yù)測(cè)的灰色verhulst自記憶模型[J].遼寧交通科技，2004（12）：87—88.

[3]王正新，黨耀國，劉思峰.無偏灰色Verhulst模型及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009，29（10）：138—144.

[4]趙國生，王慧強(qiáng)，王健.基于灰色Verhulst的網(wǎng)絡(luò)安全態(tài)勢(shì)感知模型[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，40（5）：798-803.

[5]曹萃文，顧幸生.灰色verhulst動(dòng)態(tài)新陳代謝模型在產(chǎn)品價(jià)格預(yù)測(cè)與需求預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].信息與控制，2005，34（8）：398-402.

[6]偶昌寶，俞亞南.不等時(shí)距灰色Verhulst模型及其在沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，4（1）：63-66.

[7]王正新，黨耀國，沈春光.灰色Verhulst模型的灰導(dǎo)數(shù)改進(jìn)研究[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2010，25（6）：19-22.

[8]肖霞林.路基沉降變形評(píng)估與非等間隔灰色Verhulst模型[J].鐵道建筑，2011，4（1）：86-89.

[9]靳曉光，李曉紅.隧道圍巖位移的灰色優(yōu)化模型預(yù)測(cè)[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，25（1）：1-7.

[10]王葉梅，黨耀國，王正新.非等間距GM（1，1）模型背景值的優(yōu)化[J].中國管理科學(xué)2008，16（4）：159-163.

[11]戴文戰(zhàn)，李俊峰.非等間距GM（1，1）模型建模研究[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，（9）：89-95.

作者簡介：范獻(xiàn)勝（1987-），男，助教，研究方向?yàn)榛疑A(yù)測(cè)建模、數(shù)據(jù)分析。