等熵Chaplygin氣體動力學(xué)系統(tǒng)三片常數(shù)的黎曼問題

周 同，杜珍珍，楊漢春

（1.銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽銅陵244000；2.云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昆明650091）

考慮等熵Chaplygin氣體動力學(xué)系統(tǒng)，1904年，Chaplygin[1]首次引入了以下方程組：

其中p=-1 ρ。在空氣動力學(xué)中，當(dāng)計(jì)算飛機(jī)機(jī)翼上升所承受的壓力時，Tsien[2]和von Karman[3]把系統(tǒng)(1)作為一個合適的數(shù)學(xué)模型，(1)式還可以被視為暗物質(zhì)和暗能量的統(tǒng)一模型[4-8]，而此暗能量模型對宇宙結(jié)構(gòu)的形成有很大的影響。

對于一維情形Chaplygin氣體的歐拉系統(tǒng)正是Born-Infeld[9]系統(tǒng)，它也是Maxwell系統(tǒng)的一個非線性形式。對于Chaplygin氣體，Brenier[10]研究了一維黎曼問題并獲得了初值在相平面上位于某特定區(qū)域時帶有集中的解。

Serre[11]考慮了二維等熵?zé)o旋Chaplygin氣體壓力波的相互作用，證明了超音速解的存在性。最近，Guo等[12]系統(tǒng)地研究了等熵Chaplygin氣體的一維和二維黎曼問題，構(gòu)造了14種不同的黎曼解結(jié)構(gòu)，且在一些情形中出現(xiàn)了δ-激波和簡單波。特別地，對于系統(tǒng)(2)帶有初值

t=0:(ρ,u)(0,x)=的一維黎曼問題，解中一個顯著的特征是出現(xiàn)了δ-激波。從物理角度上講，δ-激波的形成是由于粒子的高度集中。δ-激波由波的位置、傳播的速度和權(quán)（集中粒子的質(zhì)量）決定。因此，δ-激波可用來解釋宇宙中大尺寸結(jié)構(gòu)星系的形成過程或粒子的集中過程。

本文考慮系統(tǒng)(2)帶有以下3片常值

的黎曼問題，這里ρi,ui(i=l,m,r)是常數(shù)，x01,x02是x軸上任意的固定點(diǎn)。關(guān)于3片常數(shù)的黎曼問題很多學(xué)者進(jìn)行過研究[13-15]。(2)式和(4)式黎曼問題的研究在狄拉克激波的理論、數(shù)值計(jì)算和應(yīng)用等方面具有重要意義，它也是數(shù)值方法的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。本文主要研究δ?激波和接觸間斷的相互作用。

當(dāng)考慮光滑解時，可將系統(tǒng)(2)改寫為

它的兩個特征根和所對應(yīng)的右特征向量分別是

且△λ±·r→±≡0，這表明，系統(tǒng)(2)是一個嚴(yán)格的線性退化的雙曲系統(tǒng)。

對系統(tǒng)(2)求自相似解可知，除了常態(tài)解(ρ0,u0)外，該系統(tǒng)還有奇異解

而對有界間斷解，它僅有接觸間斷：σ=λ±=u±且這兩種間斷解曲線分別為

通過相平面分析法，文獻(xiàn)[12]把相平面分成5個部分，對任意給定的(u+,ρ+)，完整地解決了黎曼問題(2)和(3)，得到5種不同的解的結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

(1)當(dāng)(u+,ρ+)∈ I(u-,ρ-)時，解為R←+R→；

(2)(u+,ρ+)∈ II(u-,ρ-)時，解為R←+S→；

(3)當(dāng)(u+,ρ+)∈ III(u-,ρ-)時，解為S←+R→；

(4)當(dāng)(u+,ρ+)∈ IV(u-,ρ-)時，解為S←+S→；

(5)當(dāng)(u+,ρ+)∈ V(u-,ρ-)時，解為δ-激波。

圖1 解的相平面分析

對于前4種情況，能得到中間狀態(tài)，它連接兩種接觸間斷。對于情形(5)，δ?激波解具有如下形式：

其中，x=x(t)為間斷線，δ(x)是標(biāo)準(zhǔn)的狄拉克函數(shù)，ω(t)和σ分別為δ?激波的權(quán)和速度。其中x(t),ω(t)和σ(t)由下面方程組決定，其中，[ρ]= ρ-- ρ+,ρ-= ρ(σ-0),ρ+= ρ(σ +0)。(5)式中3個方程分別表示運(yùn)動方程、質(zhì)量守恒和動量守恒方程，它們描述了δ?激波的位置x=x(t)、傳播速度σ(t)和權(quán)ω(t)之間的關(guān)系。(6)式表明δ?激波兩邊所有的特征線都是進(jìn)入的。

當(dāng)考慮初值帶有狄拉克測度這類黎曼問題時，即對于一般情況，δ?激波從帶有下列初值中產(chǎn)生：

且滿足

解初值問題(5)和(7)可得

引 理 2 若 (um,ρm)∈ V(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)，則有(ur,ρr)∈ V(ul,ρl)。

下面構(gòu)造(2)式和(4)式的黎曼解。根據(jù)(u+,ρ+)在(u-,ρ-)所在區(qū)域，分情況討論涉及δ?激波解的相互作用情況。

情形1(um,ρm)∈ V(ul,ρl)且(ur,ρr)∈V(um,ρm)。

圖2 兩個δ-激波相碰

如圖2所示，當(dāng)(um,ρm)∈ V(ul,ρl)且(ur,ρr)∈V(um,ρm)時，由前文可知，從初始間斷(x01,0)和(x02,0)處分別發(fā)出δ1?激波和δ2?激波。由于這兩個δ?激波都滿足熵條件，有ul-，這表明δ1的傳播速度σ1比δ2的傳播速度σ2大。因此，δ1和 δ2在有限的時間處發(fā)生碰撞。此時，由于個新的黎曼問題將會形成，解一個新的δ?激波x=x(t)，其速度σ(t)和權(quán)ω(t)滿足：

這是由于在t=t?處滿足質(zhì)量守恒和動量守恒，通過計(jì)算可知σ1＞σ?＞σ2。與前面相似，解常微分方程(5)和(11)式可獲得δ?激波x=x(t)的軌跡、質(zhì)量和速度：

當(dāng)ρr≠ ρl時，

因此，在條件 (um,ρm)∈ V(ul,ρl)且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)下，由引理1得到的結(jié)論是兩個δ?激波必在有限的時間內(nèi)發(fā)生碰撞，它們結(jié)合后產(chǎn)生一個新的δ?激波，這個事實(shí)表達(dá)為δδ→δ。

情形 2 (um,ρm)∈ V(ul,ρl)且(ur,ρr)∈III(um,ρm)。當(dāng) (um,ρm)∈ III(ul,ρl)且 (ur,ρr)∈ V(um,ρm)時，解的構(gòu)造類似。

此種情況，由于(um,ρm)∈ V(ul,ρl)，從初始間斷 (x01,0)發(fā)出 δ1?激波。由 (ur,ρr)∈ III(um,ρm)知，從初始間斷(x02,0)發(fā)出接觸間斷和，以及由確定(u?,ρ?)狀態(tài)。

由于δ1?激波滿足熵條件，有接觸間斷滿其中τ1為接觸間斷的速度，接觸間斷滿足τ2=為接觸間斷的速度。

σ1,τ1,τ2的速度可能為正，也可能為負(fù)，分為以下幾種情況：（1）σ1＞ 0,τ1＜ 0,τ2＞ 0；（2）σ1＞ 0,τ1＞0,τ2＞ 0 ，（3）σ1＞ 0,τ1＜ 0,τ2＜ 0 ；（4）σ1＜ 0,τ1＜0,τ2＞ 0 ；（5）σ1＜ 0,τ1＞ 0,τ2＞ 0 ；（6）σ1＜ 0,τ1＜0,τ2＜ 0。本文只討論情況（1），其他情況類似。

如圖3所示，由于σ1＞ τ1，所以δ1?激波的傳播速度比接觸間斷的速度大，因此，δ1和←S在有限的時間處發(fā)生碰撞。通過計(jì)算比較可知所以δ1和在t1相碰后，一個新的黎曼問題產(chǎn)生，解一個新的δ?激波x=x(t)，其速度ω(t)和權(quán)σ(t)滿足

這是由于在t=t1處滿足質(zhì)量守恒和動量守恒。解常微分方程(5)和(12)式可獲得δ2?激波的軌跡、質(zhì)量和速度(x2(t),ω2(t),σ2(t))。

圖3 δ-激波與接觸間斷和R相碰

因?yàn)棣牡膫鞑ニ俣圈覞M足熵條件可知σ ＞ τ ，所以δ和在有限的222時間t2處發(fā)生碰撞，且有x2(t2)=τ2t2+x02。因?yàn)楣师暮?在t2相碰后，一個新的黎曼問題產(chǎn)生，解一個新的δ?激波x=x(t)，其速度ω(t)和權(quán)σ(t)滿足：這是由于在t=t2處滿足質(zhì)量守恒和動量守恒。解常微分方程(5)和(13)式可獲得δ3?激波的軌跡，質(zhì)量和速度(x(t),ω(t),σ(t))。

因此，在條件 (um,ρm)∈ V(ul,ρl)且 (ur,ρr)∈III(um,ρm)下，由引理1得δ?激波和兩個接觸間斷相碰，當(dāng)相互作用完成后，完全趕超中間狀態(tài)(u?,ρ?)，其中(u?,ρ?)連接兩個接觸間斷和，這

情 形 3 (um,ρm)∈ V(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈ IV(um,ρm) 。 當(dāng) (um,ρm)∈ IV(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)時，解的構(gòu)造類似。

此種情況，由于(um,ρm)∈ V(ul,ρl)，從初始間斷 (x01,0)發(fā)出 δ1?激波。由 (ur,ρr)∈ IV(um,ρm)知，從初始間斷(x02,0)發(fā)出接觸間斷S←和S→，以及由S←和S→確定(u?,ρ?)狀態(tài)。

由于接觸間斷→S與情形2中接觸間斷R→的表達(dá)式一樣，故此種情形與情形2討論類似。

因 此 ，在 條 件 (um,ρm)∈ V(ul,ρl)且(ur,ρr)∈IV(um,ρm)下，由引理1得δ?激波和兩個接觸間斷和相碰后，完全趕超中間狀態(tài)(u?,ρ?)，其中(u?,ρ?)連接兩個接觸間斷和，這個事實(shí)表達(dá)為δ←S(u?,ρ?)→S→ δ。

情 形 4 (um,ρm)∈ V(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈II(um,ρm) 。 當(dāng) (um,ρm)∈ II(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)時，解的構(gòu)造類似。

此種情況，由于(um,ρm)∈ V(ul,ρl)，從初始間斷(x01,0)發(fā)出δ1?激波。由(ur,ρr)∈ II(um,ρm)知，從初始間斷(x02,0)發(fā)出接觸間斷R←和→S，以及由和確定(u?,ρ?)狀態(tài)。

由于δ1?激波滿足熵條件，有，接觸間斷滿足其中τ1為接觸間斷的速度，接觸間斷滿足τ2=其中τ2為接觸間斷的速度。

由于σ1,τ1,τ2的速度可能為正也可能為負(fù)，與情形2類似，可分為6種情況，在這里只討論第1種情況：σ1＞ 0,τ1＜ 0,τ2＞ 0，其他情形可類似討論。

由于σ1＞ τ1，所以δ1?激波的傳播速度比接觸間斷 R←的速度大，因此，δ和 R←在有限的時間處發(fā)生碰撞，如圖4所示。

圖4 δ-激波與接觸間斷和相碰

這是由于在t=t1處滿足質(zhì)量守恒和動量守恒。解常微分方程(5)和(14)式可獲得δ2?激波的軌跡、質(zhì)量和速度(x2(t),ω2(t),σ2(t))。

因?yàn)棣?的傳播速度σ2滿足熵條件可知σ2＞ τ2，所以δ2和在有限的時間t2處發(fā)生碰撞，且有x2(t2)=τ2t2+x02。因?yàn)楣师暮?在t2相碰后，一個新的黎曼問題產(chǎn)生，解一個新的δ?激波x=x(t)，其速度ω(t)和權(quán)σ (t)滿足：

這是由于在t=t2處滿足質(zhì)量守恒和動量守恒。解常微分方程(5)和(15)式可獲得δ3?激波的軌跡、質(zhì)量和速度(x(t),ω(t),σ(t))。

此時，由引理1得δ?激波和兩個接觸間斷R←和→S 發(fā)生碰撞且完全趕超中間狀態(tài)(u,ρ)，其中

??這個事實(shí)表達(dá)

與（i）情形類似，如圖5所示，δ1?激波首先與發(fā)生碰撞，形成一個新的δ2?激波并開始趕超(u?,ρ?)狀態(tài)。通過分析知 δ?激波不能完全趕超(u?,ρ?)狀態(tài)，這個事實(shí)表達(dá)為 δ(u?,ρ?)→δ(u?,ρ?)

圖5 δ-激波與接觸間斷和相碰

情 形 5 (um,ρm)∈ V(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈I(um,ρm) 。 當(dāng) (um,ρm)∈ I(ul,ρl) 且 (ur,ρr)∈V(um,ρm)時，解的構(gòu)造類似。

此種情況，由于(um,ρm)∈ V(ul,ρl)，從初始間斷(x01,0)發(fā)出δ1?激波。由(ur,ρr)∈ I(um,ρm)知，從初始間斷(x02,0)發(fā)出接觸間斷，以及由確定(u?,ρ?)狀態(tài)。

由于接觸間斷與情形4中接觸間斷的表達(dá)式一樣，故此種情形與情形4討論類似。

此時，由引理1得δ1?激波和兩個接觸間斷發(fā)生碰撞且完全趕超中間狀態(tài)(u,ρ)，其

??中(u?,ρ?)連接兩個接觸間斷，這個事實(shí)表達(dá)為

此時，δ?激波不能完全趕超(u?,ρ?)狀態(tài)，這個事實(shí)表達(dá)為δ

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