關(guān)于德拜模型中N的物理含義的探討

田 雨，郭小松

(1.四川大學(xué) 紡織研究所，四川 成都,610065；2.青島科技大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島,266042)

固體物理是一門研究固體宏觀性質(zhì)與微觀結(jié)構(gòu)之間的相互關(guān)系的學(xué)科，它通過研究固體的微觀結(jié)構(gòu)和微觀粒子的相互作用，結(jié)合其他物理學(xué)科,研究和分析固體的宏觀性質(zhì)。此課程可以使讀者在對(duì)微觀結(jié)構(gòu)和宏觀性質(zhì)的相互關(guān)聯(lián)的認(rèn)知中得到更深層次的啟發(fā)。

固體比熱的研究是固體物理這一學(xué)科中一個(gè)較為基礎(chǔ)和重要的部分，并且，在研究固體定容比熱容時(shí)，實(shí)際常采用愛因斯坦模型和德拜模型，比較二者而言，德拜模型能更準(zhǔn)確的描述和解釋客觀物理現(xiàn)象。因?yàn)椋啾扔诘掳菽Ｐ投?，愛因斯坦模型過于簡(jiǎn)單地假定所有處于晶體中的原子皆以一同樣的頻率進(jìn)行振動(dòng)[1]。然而，應(yīng)用得較為廣泛的物理教材[1-5]在講解德拜模型時(shí)，都未十分詳細(xì)地就德拜模型分別應(yīng)用于具有簡(jiǎn)單晶格結(jié)構(gòu)的晶體和具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體時(shí)字母N的含義的不同展開討論。固體物理是一門非常適合開展教學(xué)型研究的課程，對(duì)德拜模型中N的含義進(jìn)行較詳細(xì)地探討既是對(duì)教學(xué)型研究的“研究為體，教學(xué)為用”的內(nèi)涵[6]的準(zhǔn)確把握，也希望借鑒固體物理教學(xué)中引入新穎的內(nèi)容以增加學(xué)生興趣的經(jīng)驗(yàn)[7]來(lái)提升教學(xué)質(zhì)量。

1 德拜模型在具有簡(jiǎn)單晶格結(jié)構(gòu)的晶體中的應(yīng)用

德拜模型假設(shè)在溫度較低時(shí)低頻的聲頻支格波對(duì)晶體定容比熱容影響最大。而對(duì)于低頻長(zhǎng)波而言，原子間的不連續(xù)性可以忽略,聲頻支格波頻率較低，此時(shí)，晶體可視為連續(xù)彈性介質(zhì)。因此，在德拜模型中，晶格和格波被當(dāng)作彈性介質(zhì)與彈性波[1]。對(duì)于具有簡(jiǎn)單晶格結(jié)構(gòu)的晶體而言，僅有三支聲頻支格波，其中一支為縱聲頻支格波，兩支為橫聲頻支格波。以v1、v2以及vs分別表示縱聲頻支格波波速、橫聲頻支格波波速和平均的彈性波波速,則有[2]：

(1)

且縱聲頻支格波模式密度g1(ω)、橫聲頻支格波模式密度g2(ω)和三支聲頻支格波的模式密度之和g(ω)可用如下方程組表示[3]。

(2)

方程組(2)中v為晶體體積、ω為波的圓頻率，色散關(guān)系為方程組(3),其中q為波矢。則ω可由(3)求得:

ω(q)=νq

(3)

(4)

其中，ωD為德拜頻率,N是晶體的原子總數(shù),n是晶體的原子數(shù)密度,由(4)式可得：

(5)

由(2)和(5)可共同解得(6)式。

(6)

另外,根據(jù)晶格振動(dòng)熱理論，若模式密度為g(ω)也直接可用(7)式描述出晶體定容比熱容[2],T為熱力學(xué)溫度。

(7)

(8)

(9)

由此可知,對(duì)于具有簡(jiǎn)單晶格結(jié)構(gòu)的晶體,將N理解為原子數(shù)是正確的,這既符合德拜模型的假設(shè)，而且推導(dǎo)出的定容比熱容簡(jiǎn)化公式在高溫區(qū)符合杜隆-帕蒂定律;在低溫區(qū)也符合德拜T3律，即大多數(shù)固體在定容熱容測(cè)定實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)出的CV∝T3的實(shí)驗(yàn)規(guī)律[5,8]。例如，固體鐿在低溫時(shí)定容熱容與溫度的關(guān)系與德拜T3律基本相符[9]。

2 德拜模型應(yīng)用于具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體時(shí)N的含義討論

目前，應(yīng)用較廣泛的物理教材[1-5]在推導(dǎo)或引入德拜模型時(shí)，都未十分詳細(xì)地討論由于研究對(duì)象的晶格結(jié)構(gòu)類型的不同而導(dǎo)致德拜模型在應(yīng)用中的不同,那么晶格結(jié)構(gòu)類型的不同會(huì)使德拜模型在推導(dǎo)晶體定容比熱容簡(jiǎn)化公式的過程中N的含義有何變化呢?

2.1 研究復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體時(shí)，N理解為原胞數(shù)更符合德拜模型的假設(shè)

在德拜模型中，晶格和格波被當(dāng)作彈性介質(zhì)與彈性波,低溫下只考慮聲頻支格波對(duì)晶格定容比熱容的影響。具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體與具有簡(jiǎn)單晶格結(jié)構(gòu)的晶體一樣，聲頻支格波同為三支,若平均的彈性波速度用νs表示，則三支聲頻支格波的總模式密度仍具有(2)式中g(shù)(ω)相同的的形式，即：

(10)

需要注意的是，對(duì)具有簡(jiǎn)單晶格結(jié)構(gòu)的晶體而言，由于只有三支聲頻支格波而沒有光頻支格波，因此三支聲頻支格波的總模式數(shù)從數(shù)值上就等于晶體內(nèi)的總自由度。但是，對(duì)于具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體而言，聲頻支格波和光頻支格波同時(shí)存在，依照晶格振動(dòng)理論，原胞中所有原子同向振動(dòng)產(chǎn)生聲頻支格波，反向振動(dòng)產(chǎn)生光頻支格波[10]。設(shè)晶體含有N個(gè)原胞和N0個(gè)原子，所有格波的總振動(dòng)模式數(shù)在數(shù)值上與晶體的所有原子的總自由度相等,即為3N0，而三支聲頻支格波的總振動(dòng)模式數(shù)在數(shù)值上不與晶體的所有原子總自由度相等，格波的波失數(shù)目為原胞數(shù)N，故而三支聲頻波的模式數(shù)之和應(yīng)為3N[2],顯然，若每個(gè)原胞內(nèi)有n0個(gè)原子，N0=Nn0。剩余光頻波的模式數(shù)之和為3N0-N。

三支聲頻支格波的總振動(dòng)模式數(shù)表達(dá)式如下：

(11)

與(4)式不同的是，上式中的字母N就不再是晶體的原子總數(shù)，而應(yīng)為晶體內(nèi)原胞數(shù)。與得到式(5)的計(jì)算過程類似，通過進(jìn)一步計(jì)算，所得到的德拜頻率為

(12)

此時(shí)的n也不再是晶體的原子數(shù)密度,而變成了晶體的原胞數(shù)密度。

造成這種差別的主要原因是德拜模型認(rèn)為低溫下只能激發(fā)聲頻支格波,每支聲頻支格波的模式數(shù)為N(原胞數(shù)),三支聲頻波的模式數(shù)之和就為3N。倘若N按照原子總數(shù)來(lái)理解的,則式(12)的物理意義可表述為三支聲頻支格波模式數(shù)之和即為晶體總模式數(shù)，這顯然不對(duì)，前文已經(jīng)指明了晶體總模式數(shù)應(yīng)為所有聲頻支格波和光頻支格波的模式數(shù)之和,這也與德拜模型最初的假設(shè)不符。故對(duì)具有復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)的晶體而言,晶體的三支聲頻支格波總模式數(shù)應(yīng)為3N(N為原胞數(shù))。

通過計(jì)算金剛石的德拜溫度為例(?、kB的值分別取為1.0546×10-34J·s和1.3807×10-23J·K-1且金剛石的密度ρ=3500kg/m3,楊氏模量E為1000GPa,金剛石的德拜溫度實(shí)驗(yàn)值為2230K[3]),對(duì)比對(duì)于德拜模型中N含義的理解方式的不同所造成的結(jié)果的差異：

1)若N按晶體內(nèi)原子總數(shù)理解:

對(duì)于被視為彈性波的聲頻支格波而言,其平均彈性波速可依下式表示[1]。

(13)

體積取1m3，此體積內(nèi)的原子數(shù)即為金剛石的密度除以碳原子的原子質(zhì)量所得的值。

所以：

2)若N按晶體內(nèi)原胞數(shù)理解,每個(gè)金剛石原胞中有兩個(gè)原子[3],故原胞數(shù)為原子數(shù)除以2，則

由此可見,將N理解為原胞數(shù)的計(jì)算結(jié)果更接近于金剛石的德拜溫度實(shí)測(cè)值2230K 。

2.2 在高溫區(qū)，N若理解為原胞數(shù)，Cv簡(jiǎn)化公式與經(jīng)典定律的不相符之處

(14)

(15)

式(14)中p為動(dòng)量，ω為振動(dòng)頻率，q為偏離平衡位置的坐標(biāo)。特別指出，式(15)中N0應(yīng)為原子數(shù)。

但是，若N理解為原胞數(shù)，T?ΘD時(shí),通過與式(9)一樣的方法化簡(jiǎn)計(jì)算得到的定容比熱容簡(jiǎn)化公式為：Cv=3NkB,按此結(jié)果，定容比熱容應(yīng)該是原胞數(shù)的3kB倍,而由前段所述的經(jīng)典理論而言，定容比熱容應(yīng)該是原子數(shù)N0的3kB倍。這時(shí)將N理解為原胞數(shù)后,雖然符合德拜模型的假設(shè),而推導(dǎo)出的定容比熱容表達(dá)式在高溫區(qū)不符合杜隆-帕蒂定律。

3 小結(jié)

綜上所述，德拜模型的核心物理思想有兩點(diǎn)：

1)低溫下只考慮聲頻支格波對(duì)晶格比熱的產(chǎn)生的影響;

2)將聲頻支格波看成彈性波來(lái)計(jì)算。

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