具有特定結(jié)構(gòu)的離散型八進(jìn)對(duì)稱正交小波

楊夢(mèng)云

(1.邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽(yáng)，422000；2.中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

二進(jìn)小波理論正在日趨成熟，小波變換在JPEG2000中的應(yīng)用，讓小波技術(shù)有了里程碑式的標(biāo)志，其中著名的雙正交小波濾波器有5-3型和9-7型[1]。在理論方面，Daubechies在文獻(xiàn)[2]中證明了除Haar 小波以外的所有實(shí)緊支撐的二進(jìn)正交小波都不具有對(duì)稱性或反對(duì)稱性。而在多進(jìn)小波里，線性相位和正交性的矛盾就不再存在，因此構(gòu)造多進(jìn)小波顯得十分有必要。在實(shí)際應(yīng)用方面,如果能對(duì)信號(hào)進(jìn)行更精細(xì)的分析，那么實(shí)際應(yīng)用的效果也會(huì)更好[3]。如對(duì)圖像進(jìn)行小波分解時(shí)，二進(jìn)小波分解一次產(chǎn)生3個(gè)高頻子塊，四進(jìn)小波分解一次產(chǎn)生15個(gè)高頻子塊，而八進(jìn)小波分解一次則可產(chǎn)生63個(gè)高頻子塊，顯然它所包含的高頻信息更豐富，因此八進(jìn)小波為更精細(xì)的信號(hào)分析提供了更多可能性。

在四進(jìn)小波中，文獻(xiàn)[4-6]做出了不少具有理論價(jià)值的工作，他們?cè)O(shè)計(jì)出來(lái)的大多數(shù)小波不是應(yīng)用所期望的。王國(guó)秋教授在文獻(xiàn)[7-8]中給出了16-8型雙正交小波，它在圖像壓縮上性能超過(guò)了9-7型雙正交小波。在眾多四進(jìn)小波理論和實(shí)際應(yīng)用中，文獻(xiàn)[9-15]提供了有潛在應(yīng)用價(jià)值的小波基，特別是文獻(xiàn)[9,10,12]所設(shè)計(jì)的四進(jìn)正交小波基的共同特點(diǎn)是一支低通濾波器通過(guò)改變符號(hào)和位置來(lái)生成其余三支高通濾波器，并且只要低通濾波器滿足正交性條件，其他三支高通濾波器就自動(dòng)滿足正交性。但是彭中立教授在文獻(xiàn)[9]中指出將四進(jìn)小波的結(jié)構(gòu)推廣到八進(jìn)小波時(shí)，并不能只在低通濾波器滿足正交性條件下，生成對(duì)應(yīng)的八進(jìn)正交小波。因此，文中以彭立中教授和王國(guó)秋教授設(shè)計(jì)出的四進(jìn)正交小波濾波器為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)出了具有特定結(jié)構(gòu)的八進(jìn)正交小波類，它可由一支低通濾波器通過(guò)改變符號(hào)和位置來(lái)生成其余七支高通濾波器，在求解濾波器系數(shù)的過(guò)程中大大減少了未知量的個(gè)數(shù)，這類八進(jìn)小波不但濾波器都具有對(duì)稱性或反對(duì)稱性，而且還能將多出來(lái)的自由度用到實(shí)際應(yīng)用中。

1 多進(jìn)小波的多分辨分析

①

在L2(R)中稠密；

②f(x)∈Vj當(dāng)且僅當(dāng)f(mx)∈Vj+1；

③存在Φ(x)∈V0，{Φ(x-i)}i構(gòu)成V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

關(guān)于多進(jìn)小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)有如下的一些基本事實(shí)：尺度函數(shù)Φ(x)具有如下的形式：

其中hi是實(shí)數(shù)，稱為低通濾波器。m-1個(gè)小波函數(shù){Ψ(k)(x)}，k=1,2,…m-1具有如下的形式：

(1)

(2)

(3)

其中δj是一個(gè)脈沖信號(hào)。公式(1)、(2)和(3)是構(gòu)造多進(jìn)小波的必要條件，同時(shí)，若濾波器組滿足這些正交條件，則具有完全重構(gòu)性質(zhì)。

消失矩是衡量小波性能的一個(gè)重要指標(biāo)，消失矩的高低直接影響著矩陣的稀疏程度。特別是在圖像壓縮的過(guò)程中，高的消失矩可以使變換矩陣的能量更集中，從而得到較高的壓縮率。因此在實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)設(shè)計(jì)出具有較高消失矩階數(shù)的濾波器，使其小波具有好的壓縮性能。

2 構(gòu)造具有特定結(jié)構(gòu)的八進(jìn)對(duì)稱正交小波濾波器組

在二進(jìn)小波中，若公式(1)成立，則只需把低通濾波器的系數(shù)通過(guò)倒序交替和改變符號(hào)就能得到對(duì)應(yīng)的高通濾波器，并且公式(2)和(3)自動(dòng)成立，這就為設(shè)計(jì)和構(gòu)造濾波器帶來(lái)了極大的方便。但對(duì)于多進(jìn)小波的構(gòu)造卻沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)，因此文中通過(guò)巧妙地構(gòu)造得到了一類具有此性質(zhì)的八進(jìn)正交小波濾波器，即它的七支高通濾波器都是由低通濾波器通過(guò)改變符號(hào)和位置所生成的。

{hi}={h1,h2,…,h4L-1,,h4L,,h4L,,h4L-1,,…,h2,h1},(1≤i≤8L)

例如，當(dāng)L=2時(shí)，八進(jìn)對(duì)稱小波系統(tǒng)為

其中第1，3，5，7行是對(duì)稱的，第2，4，6，8行是反對(duì)稱的。

即hi=h8L+1-i

其中

(令p=4L+4j-i+1)

同理可證

最后證明

3 實(shí)例

{hi}={0.00120106,-0.0242213,-0.0277497,-0.0421235,-0.0429359,0.0156321,0.0633546,0.132971,0.219381,0.314420,0.365671,0.438613,...} (其余系數(shù)對(duì)稱)。

{hi}={0.0122761,-0.04518871,-0.02893991,-0.0569193,-0.03482223,0.03735133,0.06529673,0.166956,0.174322,0.333445,0.345142,0.445295,...} (其余系數(shù)對(duì)稱)。

{hi}={0.00173534,0.00149443,0.00229963,0.0000164103,0.0154146,0.00309932,

0.00394514,-0.00765034,-0.0410593,-0.0464078,-0.036929,-0.0258219,-0.0345212,0.0277628,0.0591762,0.132392,0.268136,0.3353454,0.357321,0.398465,…}(其余系數(shù)對(duì)稱)。

設(shè)該組濾波器相應(yīng)的尺度函數(shù)為φ，小波函數(shù)為ψi(i=1,2,…,7)，并畫(huà)出了尺度函數(shù)和小波函數(shù)的圖形(見(jiàn)圖1)，可以看出φ和ψi(i=1,2,…,7)都有較好的光滑性，相信它在圖像處理方面會(huì)有較好的應(yīng)用，在這里給出了Lena圖像的分解圖(見(jiàn)圖2)。

圖1 尺度函數(shù)φ和小波函數(shù)ψi(i=1,2,…,7)Fig.1 The graphs of the scaling function φ and wavelet functions ψi(i=1,2,…,7)

圖2 Lena圖像的分解圖Fig.2 The decomposition image of Lena

4 小結(jié)

文章系統(tǒng)地研究了一類八進(jìn)正交小波，該小波具有緊支撐集、對(duì)稱性、高階消失矩和構(gòu)造方法簡(jiǎn)明的特點(diǎn)。對(duì)于應(yīng)用研究者而言，可以結(jié)合自己的實(shí)際研究背景用該方法設(shè)計(jì)出適合自己的八進(jìn)小波。在八進(jìn)小波中，由于有限的自由度要作用到七支高通濾波器上，這就會(huì)使得八進(jìn)小波的消失矩沒(méi)有二進(jìn)小波的高。因此如何分布八進(jìn)高通濾波器的消失矩階數(shù)能使小波性能達(dá)到最優(yōu)，這是以后要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

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