驗證變力作用下動量定理和能量定理的新實驗方案

(上饒師范學院 物理與電子信息學院，江西 上饒 334001)

在大學物理實驗中，有驗證牛頓第二定律和碰撞定理的實驗裝置[1]，在氣墊導軌上我們研究了恒力作用下的動量定理和能量定理[2]。對變力作用下的動量定理和動能定理的驗證，是大學物理中的一個難題。在王振環(huán)的驗證變力作用下的動量定理[3]實驗中運用CBL(以計算器為基礎(chǔ)的實驗系統(tǒng)的簡稱)技術(shù)，驗證重力的沖量等于彈力的沖量，要求物體的初、末速度都是零，受到很大的局限。目前缺少一種具有普遍意義、簡單易懂、物理過程明確的驗證變力作用下動量定理和動能定理的實驗方案[1]。我們利用彈簧對物體提供的變力，提出了新的驗證動量定理和動能定理的實驗方案和方法。

1 變力作用下的動量定理和動能定理

如圖1所示，豎直懸掛的彈簧處于自然狀態(tài)時，下端在A'點，掛上小球，此時彈簧伸長L，小球靜止在O點，以O(shè)點(mg=kL)為平衡位置。將小球向上移動到A'點，然后釋放，小球在重力和彈力的作用下，在X方向上振動。

忽略小球受到的空氣阻力，則小球受到的合外力為：

F=-kx+mg

(1)

圖1彈簧振子結(jié)構(gòu)示意圖

式中，k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧形變量，kx為彈簧的彈力，負號表示彈簧所產(chǎn)生的彈力與其伸長(或壓縮)的方向相反，mg為小球的重力。

根據(jù)牛頓第二定律微分形式：

(2)

把(2)式代入(1)式，得

(3)

其通解為

(4)

對(4)式求一階導數(shù)，得速度

(5)

對(4)式求二階導數(shù)，得加速度

(6)

當小球在A'點釋放，通過O點(mg=kL)平衡位置時開始計時，即t= 0,速度為v=v0，加速度a= 0，代入(5)(6)式，得

(7)

解得

(8)

把(8)式分別代人(4)(5)式，得

(9)

(10)

根據(jù)(10)式可知，小球在X方向上做簡諧振動。

1.1 動量定理

動量定理指作用于物體的合外力F在時間t1到t2內(nèi)的沖量等于物體在這一過程中動量的改變量，數(shù)學積分形式為：

(11)

把(9)式代入(11)式右邊，并積分得

(12)

(12)式左邊指物體的動量的改變量，右邊指物體的沖量。測出物體速度v1、v2和質(zhì)量m，代入左邊，可求出物體的動量的改變量；測出彈簧勁度系數(shù)k、小球速度v0和時間t1、t2，代入右邊可求出物體的沖量。比較動量的改變量和外力的沖量是否相等，來驗證動量定理。

1.2 動能定理

動能定理指作用于物體的合外力F所做的功等于物體在這過程中動能的改變量，積分形式為：

(13)

把(9)(10)式代入(13)式，并對等式左邊積分得

(14)

(14)式左邊指合外力F在時間t1到t2內(nèi)對物體所做的功，右邊指物體動能的改變量。測出彈簧勁度系數(shù)k、物體速度v0和時間t1、t2，求出物體的合外力F在時間t1到t2內(nèi)對物體所做的功；測出物體速度v1、v2和質(zhì)量m，可求出物體動能的改變量。比較外力對物體所做的功和小球動能的改變量是否相等，來驗證動能定理。

由(1)式可知，驗證動量、動能定理的困難在于測量物體所受的變力F，采用上述的彈簧振子裝置，可得到(12)(14)式的結(jié)果，由此可知，不含變力F，只需測量物體的即時速度和運動時間，就可驗證動量定理和動能定理。采用光電計時器可精確測量速度和時間。

2 實驗裝置和實驗結(jié)果

2.1 彈簧勁度系數(shù)的測量

如圖2所示將彈簧掛在焦利秤的支架B上，在彈簧下端掛上托盤D，調(diào)節(jié)支架的底腳螺旋E，使彈簧與 A 柱平行。

圖2 驗證定理的裝置結(jié)構(gòu)圖

m/gL/cm m/g L/cm 200.380400.485250.406350.459300.432300.433350.458250.407400.485200.381

2.2 速度和時間的測量

將圖2中托盤D換成擋光片，忽略擋光片受到的空氣阻力，擋光片如圖1中的小球一樣，在豎直方向上做簡諧振動，測出擋光片的質(zhì)量m，記錄在表2的第一列。在柱A上固定好光電門，設(shè)擋光片的寬度為d。擋光片通過光電門1，從開始擋光到不擋光的時間為t'1，速度為v1=d/t'1；擋光片通過光電門2，從開始擋光到不擋光的時間為t'2，速度為v2=d/t'2。擋光片通過光電門1開始擋光到達光電門2開始擋光之間的時間為Δt。

擋光片處于圖1平衡位置O點(mg=kL)時，調(diào)節(jié)焦利秤支架的底腳螺旋E，使擋光片恰好在光電門1的正上方光線的邊沿，也就是說此時擋光片的一邊處于O點，使得擋光片通過光電門1的速度v1等于圖1中通過O點速度v0，即有t1= 0，t2= Δt，故(12)式和(14)式可改寫為

(15)

(16)

讓擋光片從O點的正上方自由下落，依次通過光電門1和光電門2，得到需要測量的物理量Δt、v1和v2，將數(shù)據(jù)分別記錄于表2的第三、第四、第五列。

此時物體的沖量為

(17)

物體的動量改變量為

Δp=mv2-mv1

(18)

物體的沖量與物體的動量改變量的相對差值為

(19)

物體所做的功為

(20)

物體的動能改變量為

(21)

物體所做的功與物體的動能改變量的相對差值為

(22)

結(jié)果如表2的第6至第11列所示。改變光電門1、2相隔的距離L，數(shù)據(jù)記錄在表2的第2列，重復上述操作8次。

表2 變力F作用下的實驗結(jié)果

3 分析討論

由表2的第8列可知，變力F的沖量與物體的動量改變量的相對差值最大的為第4行，ε=4.854 37%；沖量與動量改變量的相對差值最小的為第5行ε=0.985 22%。沖量與動量改變量的平均相對差值為2.539 085%。文獻[4]利用力傳感器驗證了動量定理，它的相對差值為3.7%；文獻[5]用位移傳感器驗證了動量定理，它的相對差值為2.30%～2.99%。與他們的實驗方案相比，我們的實驗結(jié)果誤差更小。

由表2的第11列可知，變力F的功與滑塊的動能改變量的相對差值最大的為第4行，m=0.065 7 kg,L=0.065 m,σ=4.215 13%；功與動能改變量的相對差值最小的為第7行，m=0.085 8 kg,L=0.098 m,σ=0.006%。功與動能改變量的平均相對差值為1.4%?？梢娮兞所做的功與其動能改變量近似相等。

4 結(jié)論

上述從胡克定律出發(fā)，利用彈力隨位移而變化的關(guān)系，研究了變力作用下振子的能量轉(zhuǎn)化，將不易測量的變力轉(zhuǎn)化為對時間的測量，分別得到了變力的沖量與動量的增量、所做的功與動能的變化量之間的函數(shù)關(guān)系，據(jù)此，設(shè)計了驗證動量定理和動能定理的實驗方案。實驗結(jié)果表明較好地驗證了合外力的沖量等于物體的動量改變量，合外力所做的功等于物體的動能改變量。提供了一種新的驗證動量定理、動能定理的方法。本文結(jié)果為大學物理實驗課程提供了新的實驗內(nèi)容和方法。

參考文獻：

[1] 楊述武，趙立,沈國土,等.普通物理實驗(力學、熱學部分)[M].北京：高等教育出版社,2007.

[2] 鄭雪梅,程元飛,李偉,等.恒力作用下動量和動能定理的新實驗方案[J].上饒師范學院學報,2016,36(6):42-44.

[3] 王振環(huán).驗證變力作用下的動量定理[J].物理實驗,2005,25(10):35-36.

[4] 梁家惠,林耀海.碰撞過程的瞬態(tài)數(shù)字測量[J].大學物理,1999,18(5):21-23.

[5] 張晴,馮杰.突破動量定理傳統(tǒng)實驗的“瓶頸”——變力作用下的動量定理DIS實驗研究[J].考試周刊,2015,68:133-156.