三次函數(shù)考什么？

■福建省龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué) 童其林(特級教師)

三次函數(shù)是一類重要函數(shù),三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù),而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,并且三次函數(shù)可交匯函數(shù)、不等式、方程等眾多知識點,所以三次函數(shù)已經(jīng)成為高考命題一個新的熱點和亮點。下面歸納整理三次函數(shù)的主要考點,并剖析三次函數(shù)有關(guān)問題的基本思路,以饗讀者。

一、考查三次函數(shù)的單調(diào)性

如何定義三次函數(shù)?形如y=a x3+b x2+c x+d(a≠0)的函數(shù),稱為三次函數(shù)(從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)上命名)。三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'=3a x2+2b x+c(a≠0),把Δ=4b2-1 2a c叫作三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的判別式。

一般地,當b2-3a c≤0時,三次函數(shù)y=數(shù);當時,三次函數(shù)y=a x3+在R上有三個單調(diào)區(qū)間,根據(jù)a＞0,a＜0兩種情況進行分類討論。

例1內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是 。

解析：問題轉(zhuǎn)化為上恒成立,求a的取值范圍。即g'(x)＜0在(-∞,0)上恒成立,所以a=0適合題意。

(2)當a＞0時,二次函數(shù)g'(x)開口向上,不可能有上恒成立,所以a＞0不合題意。

(3)當a＜0時,二次函數(shù)g'(x)開口向下,其對稱軸x=2(a-1)＞0,畫出草圖知,3a只需滿足

點評:題目沒有說是三次函數(shù),所以要討論a=0的情形。

二、考查三次函數(shù)的極值

當Δ＞0時,三次函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)上的極值點有兩個。

當Δ≤0時,三次函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)上不存在極值點。

可以用表1說明三次函數(shù)單調(diào)性與極值點的關(guān)系。在R上是單調(diào)函

表1

其中是方程f'(x)=0的根,且。

例2 已知函數(shù)既有極大值又有極小值,則實數(shù)a的取值范圍是 。

又因為f(x)既有極大值又有極小值,所以f'(x)=0必有兩個不等的解,Δ=4a2-4a-8＞0。

解得a＜-1或a＞2,所以a的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞)。

點評:通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來探究,充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的解題思想與解題策略。

三、考查三次函數(shù)的最值問題

例3 函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是( )

A.1、-1 B.1、-1 7

C.3、-1 7 D.9、-1 9

解析：令f'(x)=0,則3x2-3=0,兩根為1和-1,但1?[-3,0],不計算。

計算端點和極大、極小點的值,得f(-3)

四、考查三次函數(shù)恒成立問題

例4 (2 0 0 8年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷第1 4題)設(shè)函數(shù)若對于任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的值為 。

分析：將f(x)≥0中的a,x分離,然后求函數(shù)的最值。

解：若函數(shù)f(x)=a x3-3x+1(x∈R)對于任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,則函數(shù)f(x)=a x3-3x+1對于任意x∈[-1,t≤2)單調(diào)遞增ymax=h(2)=4;當t單調(diào)遞減,ymax=h(2)=4。由題意知①②③應(yīng)同時成立,故a=4。

五、考查三次方程根的問題

時,不等式恒成立,故函數(shù)是單調(diào)遞增的,方程f(x)=0僅有一個實根。f(x)極大值點和極小值點在x軸同側(cè),圖像均與x軸只有一個交點,所以方程f(x)=0有且只有一個實根。②若,即函數(shù)y=f(x)極大值點與極小值點在x軸異側(cè),圖像與x軸必有三個交點,所以方程f(x)=0有三個不等實根。

③若f(x1)·f(x2)=0,即f(x1)與f(x2)中有且只有一個值為0,所以方程f(x)=0有三個實根,其中兩個相等。

同理,也可討論三次函數(shù)當a＜0時的情形。

例5(2 0 1 2年全國大綱卷理科第1 0題)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖像與x軸恰有兩個公共點,則c=( )。

A.-2或2 B.-9或3

C.-1或1 D.-3或1

當y'＞0時,x＜-1或x＞1;

當y'＜0時,-1＜x＜1。

所以函數(shù)的遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞),遞減區(qū)間為(-1,1)。

因此,x=-1時,取得極大值;x=1時,取得極小值。

要使函數(shù)圖像與x軸恰有兩個公共點,只需:f(-1)=0或f(1)=0,即(-1)+c=0或1-3+c=0,所以c=-2或c=2。

故答案為A。-3×

(責(zé)任編輯 徐利杰)

(上接第3 2頁)

表2

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率?，F(xiàn)在從該地區(qū)電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X。若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列,期望和方差。附:

解析：(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的1 0 0人中,“體育迷”有2 5人,從而2×2列聯(lián)表如下(表3):由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算,得:

表3

因為3.0 3 0＜3.8 4 1,所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關(guān)。

(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.2 5,將頻率視為概率1,即從觀眾4

中抽取一名“體育迷”的概率為,由題意,x～,從而X的分布列為:

X 0 1 2 3 P 2 7 6 4 2 7 6 4 91 6 46 4

點評:二項分布是一種常見的離散型隨機變量的概率分布,利用二項分布可以快速地寫出隨機變量的分布列,從而簡化了求隨機變量某一個具體概率值的過程。利用二項分布來解決實際問題的關(guān)鍵在于在實際問題中建立二項分布的模型,也就是看它是否是n次獨立重復(fù)試驗,隨機變量是不這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù),滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布,否則就不服從二項分布。