高考概率統(tǒng)計(jì)題命題探究

■山東棗莊二中 張運(yùn)虎

研究近年來(lái)高考試卷,不難發(fā)現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)題也融入新課標(biāo)的教育理念,多角度、多視點(diǎn)地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),使學(xué)生的自主性和個(gè)性得以發(fā)揮。體現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)、人與自然的和諧統(tǒng)一。許多試題體現(xiàn)了時(shí)代氣息,有創(chuàng)新特色。下面結(jié)合2 0 1 6年高考題談?wù)劯呖几怕式y(tǒng)計(jì)題的命題特色。

一、關(guān)注學(xué)生的生活實(shí)際

這類(lèi)題關(guān)注學(xué)生生活,試題中有大量生活背景,充分體現(xiàn)了“從生活走向數(shù)學(xué),從數(shù)學(xué)走向生活”,符合新課標(biāo)“學(xué)習(xí)資源和實(shí)踐機(jī)會(huì)無(wú)所不在,無(wú)時(shí)不有”的理念。

例1(2 0 1 6年高考山東理數(shù))某高校調(diào)查了2 0 0名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位:小時(shí)),制成了如圖1所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[1 7.5,3 0],樣本數(shù)據(jù)分組為[1 7.5,2 0),[2 0,2 2.5),[2 2.5,2 5),[2 5,2 7.5),[2 7.5,3 0)。根據(jù)直方圖,這2 0 0名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于2 2.5小時(shí)的人數(shù)是( )。

A.5 6 B.6 0 C.1 2 0 D.1 4 0

圖1

解析：由頻率分布直方圖知,自習(xí)時(shí)間不少于2 2.5小時(shí)為后三組,有2 0 0×(0.1 6+0.0 8+0.0 4)×2.5=1 4 0(人),選D。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查頻率分布直方圖,是一道基礎(chǔ)題目。從歷年高考題目看,圖表題已是屢見(jiàn)不鮮,作為一道應(yīng)用題,考查考生的視圖、用圖能力,以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

例2 (2 0 1 6年高考山東文數(shù))某兒童樂(lè)園在六一兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)。參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖2所示的轉(zhuǎn)盤(pán)兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)。設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y。獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:

圖2

①若x y≤3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);

②若x y≥8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);

③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶。

假設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻。小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)。

(Ⅰ)求小亮獲得玩具的概率;

(Ⅱ)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由。

解析：用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng)。因?yàn)镾中元素個(gè)數(shù)是4×4=1 6,所以基本事件總數(shù)為n=1 6。

(Ⅰ)記“x y≤3”為事件A。

則事件A包含的基本事件共有5個(gè),即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)。所以,P(A)=,即小亮獲得玩具的概率為。

(Ⅱ)記“x y≥8”為事件B,“3＜x y＜8”為事件C。

則事件B包含的基本事件共有6個(gè),即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)。

所以,P(B)=6=3。1 68

則事件C包含的基本事件共有5個(gè),即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以,P(C)=因?yàn)?所以,小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查古典概型概率的計(jì)算。解答本題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù),利用概率的計(jì)算公式求解。本題較容易?,能較好地考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算能力等。

二、面向社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐

這類(lèi)題突出在實(shí)踐應(yīng)用性上,注重社會(huì)現(xiàn)實(shí),體現(xiàn)時(shí)代精神,試題選材體現(xiàn)社會(huì)熱點(diǎn),關(guān)注當(dāng)前科技新發(fā)展。

例3 (2 0 1 6年高考新課標(biāo)2理數(shù))某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人,續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

表1

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

表2

(Ⅰ)求這一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;

(Ⅱ)若這一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出6 0%的概率;

(Ⅲ)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值。

分析：(Ⅰ)根據(jù)互斥事件的概率公式求這一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;(Ⅱ)這一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,由條件概率公式求解;(Ⅲ)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,求X的分布列,再根據(jù)期望公式求解。

解：(Ⅰ)設(shè)A表示事件:“這一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.0 5=0.5 5。

(Ⅱ)設(shè)B表示事件:“這一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出6 0%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.0 5=0.1 5。

又P(A B)=P(B),故P(B|A)=因此所求概率為

(Ⅲ)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列為:

表3

E X=0.8 5a×0.3 0+a×0.1 5+1.2 5a×0.2 0+1.5a×0.2 0+1.7 5a×0.1 0+2a×0.0 5=1.2 3a。

因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.2 3。

總結(jié)：條件概率的求法:

(1)定義法:先求P(A)和P(A B),再由

(2)基本事件法:當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí),可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(A B),得

求離散型隨機(jī)變量均值的步驟:①理解隨機(jī)變量X的意義,寫(xiě)出X可能取得的全部值;②求X的每個(gè)值的概率;③寫(xiě)出X的分布列;④由均值定義求出E(X)。

三、試題具有鮮明的時(shí)代特色

“使學(xué)生具有初步的創(chuàng)新精神”是新課程改革的核心理念之一,隨著新課程改革的實(shí)施,新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)容的學(xué)習(xí)有了新的要求,考試的內(nèi)容也發(fā)生著變化,試題變得越來(lái)越新穎別致,具有鮮明的時(shí)代特色。

例4(2 0 1 6年高考天津理數(shù))某小組共1 0人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,現(xiàn)從這1 0人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)。

(Ⅰ)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;

(Ⅱ)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

分析：(Ⅰ)先確定從這1 0人中隨機(jī)選出2人的基本事件種數(shù):C210,再確定選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4所包含基本事件數(shù):C13C14+C23,最后根據(jù)概率公式求出概率。(Ⅱ)先確定隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,再分別求出對(duì)應(yīng)概率,列出概率分布,最后根據(jù)公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望。,所以,事件A發(fā)生的概率為

(Ⅱ)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2。所以,隨機(jī)變量X的分布列為:隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)

表4

總結(jié)：求均值、方差的方法:

(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解;

(2)已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差,求ξ的線(xiàn)性函數(shù)η=aξ+b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解;

(3)如能分析確定所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解。

四、圖表信息題型的大量使用

2 1世紀(jì)是信息化社會(huì),作為一個(gè)公民應(yīng)學(xué)會(huì)搜索、整理和加工信息。表格、圖像和圖形是一種最直觀(guān)、最形象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,包含著豐富的信息資源,如何觀(guān)察、提煉這些信息,并利用這些信息來(lái)分析解決問(wèn)題,是考查數(shù)學(xué)能力的較好形式之一。

例5 (2 0 1 6年高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù))某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖。圖3中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約

圖3

為1 5℃,B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃。下面敘述不正確的是( )A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均氣溫高于2 0℃的月份有5個(gè)

解析：由圖可知0℃均在虛線(xiàn)框內(nèi),所以各月的平均最低氣溫都在0℃ 以上,A正確;由圖可知七月的平均溫差大于7.5℃,而一月的平均溫差小于7.5℃,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大,B正確;由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在5℃,基本相同,C正確;由圖可知平均最高氣溫高于2 0℃的月份有3個(gè)或2個(gè),所以D不正確。故選D。

點(diǎn)評(píng):解答本題時(shí)易錯(cuò)點(diǎn)可能有兩個(gè):(1)對(duì)圖形中的線(xiàn)條認(rèn)識(shí)不明確,不知所措,只覺(jué)得是兩把雨傘重疊在一起,找不到解決問(wèn)題的方法;(2)估計(jì)平均溫差時(shí)易出現(xiàn)錯(cuò)誤,而錯(cuò)選B。