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    高等數(shù)學(xué)中關(guān)于中值定理的題型證明

    2018-06-30 04:56:42鄭欣
    卷宗 2018年18期
    關(guān)鍵詞:羅爾數(shù)學(xué)系中值

    鄭欣

    高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)中的幾個(gè)中值定理,包括羅爾中值定理,拉格朗日中值定理等,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。

    本文主要討論證明結(jié)論中含有這一類(lèi)型題的證明,此種類(lèi)型題證明方法有:

    (1)驗(yàn)證為的最值或極值點(diǎn),然后用費(fèi)馬定理即可;

    (2)驗(yàn)證在上滿足羅爾中值定理,利用一次中值定理證明即可;

    (3)利用泰勒公式或多次利用羅爾中值定理即可。

    例 設(shè)在上有三階導(dǎo)數(shù),且,又設(shè),

    試證:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使

    證明一:由于得

    所以

    對(duì)在上用羅爾定理(由于)存在,使.

    由于,對(duì)在上用羅爾定理存在,使得,由于,對(duì)在上用羅爾定理,存在.使得.

    此種證明方法就是利用了多次羅爾中值定理。

    證明二:由于在上有三階導(dǎo)數(shù),且,對(duì)在處進(jìn)行二階泰勒展開(kāi).

    也就是 (在0與之間)

    由于 將代入上式得

    ,

    此種證明方法就是利用了多次羅爾中值定理泰勒公式。

    例:設(shè)在上連續(xù),在上可導(dǎo),且,又,

    試證:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使。

    證明:由題可知在上滿足羅爾定理,所以存在,使.

    又由積分中值定理得其中,

    于是在上滿足羅爾中值定理,所以存在使得:

    ,其中

    由以上證明可得

    再對(duì)在上使用羅爾定理,于是有,其中。

    參考文獻(xiàn)

    [1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,高等數(shù)學(xué)[M], 北京:高等教育出版社,2016

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M], 北京:高等教育出版社,2012

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