約束輪對首次穿越失效的隨機(jī)非線性最優(yōu)控制

劉偉渭，姜瑞金，劉鳳偉，李奕璠，張良威

(1.西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031；2.中國中車長江車輛有限公司，湖北 武漢 430000；3.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點(diǎn)實驗室，四川 成都 610031)

在軌道車輛結(jié)構(gòu)振動的控制中，常以系統(tǒng)響應(yīng)最小為控制目的，而對受控結(jié)構(gòu)的可靠性或以可靠度最大化為目標(biāo)的隨機(jī)最優(yōu)控制問題的研究還并不充分[1-3]。對于機(jī)械結(jié)構(gòu)而言，所謂可靠性就是系統(tǒng)處于安全域內(nèi)的概率大小，系統(tǒng)壽命就是結(jié)構(gòu)處于安全域內(nèi)的時間長度，而系統(tǒng)損壞就是結(jié)構(gòu)首次穿越了原有安全域邊界。這也表明，系統(tǒng)穿越安全域的概率大小、存在于安全域時間的長短對于維持結(jié)構(gòu)安全運(yùn)行具有較為重要的意義，對于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，若能通過外部的控制作用來提高系統(tǒng)可靠性，這對于結(jié)構(gòu)的長期安全運(yùn)行是一種較為有效的措施[4-8]。

對于高速列車而言，車輛的蛇行失穩(wěn)、脫軌失效是影響列車長期安全服役安全可靠性的主要因素。車輛蛇行失穩(wěn)、脫軌失效行為不僅是系統(tǒng)的固有屬性，而且與車輛運(yùn)行的外部環(huán)境也具有重要關(guān)系。在線路實際運(yùn)行時，車輛經(jīng)常會受到道岔沖擊、強(qiáng)烈的橫風(fēng)作用、車輛結(jié)構(gòu)件失效以及輪軌接觸關(guān)系惡化等因素影響。這將破壞系統(tǒng)原有較為穩(wěn)定的可靠性性能，使車輛存在安全隱患。對于處于運(yùn)營中的車輛出現(xiàn)上述失穩(wěn)等情況，如果只能通過停車或減速運(yùn)行來處理，將造成較為嚴(yán)重的運(yùn)營事故。基于此，本文以軌道車輛可靠性性能提高為對象，通過隨機(jī)非線性控制策略的選取達(dá)到對系統(tǒng)穩(wěn)定性性能改善的具體目標(biāo)[9-10]。

1 可靠度最大化的隨機(jī)非線性最優(yōu)控制方法

考慮受控作用下的擬不可積Hamilton系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，受控平均It微分方程為

( 1 )

其中，

( 2 )

若原系統(tǒng)的正常運(yùn)行區(qū)域為[0，Hc)，[0，∞)為Hamilton函數(shù)取值范圍，H(0)=H0∈[0，Hc)為系統(tǒng)初值，為了提高系統(tǒng)可靠性，可定義最優(yōu)成本函數(shù)

t

( 3 )

首次穿越時刻為τ；控制終時時刻為tf≤τ；受控約束條件為u∈U。此時作為可靠度最大化為控制目標(biāo)的動態(tài)規(guī)劃方程為

0≤t≤tfH∈[0，Hc)

( 4 )

其中的邊界條件為

V(Hc，t)=0

( 5 )

V(0，t)=有限

( 6 )

終值條件為

V(H，tf)=1H∈[0，Hc)

( 7 )

式( 4 )～式( 7 )即為受控條件下原系統(tǒng)可靠度最大化的首次穿越數(shù)學(xué)方法。

把方程( 4 )的動態(tài)規(guī)劃方程右邊對ui進(jìn)行極大值分析，得到原系統(tǒng)的最優(yōu)控制率條件。假如約束條件為

|ui|≤bii=1，2，…，n

( 8 )

其中，bi是定值，可以看出，當(dāng)|ui|=bi，并且ui的數(shù)值能使ui(?H/?Pi)(?V/?H)得到正值，此時的式( 4 )右邊即可得極大值，則控制率為

( 9 )

因為可靠性函數(shù)在任何初值下均是單調(diào)遞減函數(shù)，即?V/?H<0，這樣式( 9 )可簡化為

(10)

(11)

其中，

(12)

0≤t≤tfH∈[0，Hc)

(13)

式(13)的邊界控制條件和終值控制條件為式( 5 )～式( 7 )。此時的條件可靠性函數(shù)為

Rc(t1|H0)=P{H(s，u*)∈[0，Hc)，

s∈(0，t1]|H(0)∈[0，Hc)}

(14)

滿足后向Kolmogorov方程

(15)

Rc(t1|Hc)=0

(16)

Rc(t1|0)=有限

(17)

初始條件為

Rc(0|H0)=1H0=∈[0，Hc)

(18)

原系統(tǒng)首次穿越損壞條件的概率為

(19)

首次穿越時間τ具有的條件概率密度為

(20)

2 受控約束輪對系統(tǒng)模型

為分析更為接近軌道車輛的實際運(yùn)行工況，考慮如圖1所示的約束輪對模型，在該模型中考慮了一系懸掛剛度參數(shù)激勵影響以及來自鋼軌的隨機(jī)不平順激勵作用。本文重點(diǎn)關(guān)注系統(tǒng)的橫向失穩(wěn)可靠性以及控制策略的有效性，由于垂向懸掛對橫向運(yùn)動耦合影響較小，為便于直觀分析，只考慮橫向模型。

圖1 受控的彈性約束輪對模型

上述模型中各參數(shù)和具體數(shù)值見表1。

表1 各參數(shù)及數(shù)值

受控約束輪對系統(tǒng)運(yùn)動方程為

(21)

假設(shè)有變量代換

a=a1+a2β01=β11+β12

β02=β13+β14β03=β23+β24

原系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為

(22)

式(21)可改寫為

(23)

其中，

m11(q1，p1)=a1m12(q1，p2)=0

f1(q1)=β11q1+β12q1+β13+β14

f2(q1)=β22q1+β23+β24

式(23)為受控約束輪對隨機(jī)激勵耗散Hamilton方程組。

約束輪對系統(tǒng)受控條件下其求解過程服從一維擴(kuò)散過程，而該過程被平均It微分方程所支配。

(24)

D((β13+β14)2+(β23+β24)2)

(25)

D((β13+β14)2+(β23+β24)2)H

(26)

根據(jù)式(10)有

(27)

式( 1 )中的ui由式(29)的最優(yōu)控制率u*取代，進(jìn)行平均則有

(28)

把式(28)代入式(24)，受控條件下的漂移系數(shù)為

(29)

把式(29)和式(26)分別代入式(13)和式(15)，即可得到可靠度最大化為控制目標(biāo)的首次穿越時間條件概率密度以及最優(yōu)動態(tài)規(guī)劃方程。

3 數(shù)值仿真結(jié)果

方程(13)為二階變系數(shù)拋物線與雙曲線組合型偏微分方程，對其的求解采用有限差分法Peaceman-Rachford，初始能量H0=0.02，各參數(shù)值見表1。

圖2為不同控制力幅值下系統(tǒng)可靠性隨時間的變化情況，其中橫坐標(biāo)為系統(tǒng)運(yùn)行的無量綱時間，縱坐標(biāo)的可靠性函數(shù)值表示系統(tǒng)處于安全域內(nèi)的概率值，當(dāng)縱坐標(biāo)為0時表示系統(tǒng)必將穿越安全域而發(fā)生失穩(wěn)脫軌，當(dāng)縱坐標(biāo)為1時表示系統(tǒng)始終處于安全域內(nèi)，當(dāng)縱坐標(biāo)為(0，1)時，表示系統(tǒng)處于安全域內(nèi)，只是具有一定概率值。從圖2可以看出，當(dāng)系統(tǒng)沒有受到控制約束作用時，即B=0，此時輪對系統(tǒng)的可靠性函數(shù)值隨著運(yùn)行時間的增加，逐漸減小，并最終趨于恒定值零。當(dāng)受到控制約束作用后，控制力為3 kN和7 kN時，仍然具有上述規(guī)律，但是此時可靠性函數(shù)的最終恒定值隨著控制力的作用逐漸增加。特別地，當(dāng)控制力增加為10 kN時，可靠性函數(shù)值幾乎沒有減小趨勢，而始終恒定于1?？傮w來看，約束輪對系統(tǒng)在該控制策略下，穩(wěn)定性的可靠性性能改善明顯，在此參數(shù)條件下，原系統(tǒng)不穩(wěn)定，受控后可改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使原不穩(wěn)定性系統(tǒng)變?yōu)楦怕室饬x上的穩(wěn)定系統(tǒng)，特別是當(dāng)控制力達(dá)到某一幅值后，系統(tǒng)將轉(zhuǎn)變?yōu)榻^對意義上的穩(wěn)定系統(tǒng)。

圖2 不同控制力幅值下系統(tǒng)可靠性隨時間的變化情況

圖3為不同控制力幅值下系統(tǒng)首次穿越時間概率密度隨時間變化情況，其中橫坐標(biāo)為系統(tǒng)運(yùn)行的無量綱時間，縱坐標(biāo)的首次穿越時間條件概率密度表示系統(tǒng)在對應(yīng)的運(yùn)行時刻點(diǎn)上穿越出安全域的概率值，數(shù)值越小系統(tǒng)越能維持于安全域內(nèi)。從圖3可以看出，隨著運(yùn)行時間的增加，不管是否受控，系統(tǒng)均呈現(xiàn)出首次穿越時間條件概率密度先逐漸增加，達(dá)到某一峰值后再逐漸減小，并最終趨于一恒定值。未受控時(即B=0)，在時刻t=110，具有最大概率值；受控后，隨著控制力從3、7、10 kN逐漸增加，最大概率幅值逐漸減小，但是出現(xiàn)最大概率幅值所對應(yīng)時刻幾乎也在t=110?？傮w來看，在該控制策略作用下，系統(tǒng)發(fā)生首次穿越的概率會隨著控制力的增加逐漸減小，而使系統(tǒng)變得更為穩(wěn)定，然而控制作用卻不能改善或延遲系統(tǒng)發(fā)生首次穿越的時刻。

圖3 不同控制力幅值下系統(tǒng)首次穿越時間概率密度隨時間變化情況

為分析在不同系統(tǒng)初始能量激勵下隨著控制約束的變化影響，得到了圖4、圖5的結(jié)果。圖4初始能量H0=0.04，圖5初始能量H0=0.08，二者的控制約束力分別為0、3、7、10 kN。由圖4可以看出，隨著輪對運(yùn)行時間t的增加，可靠性函數(shù)值的變化規(guī)律為先從1逐漸減小，并最終趨于介于0～1之間的一個恒定值。當(dāng)未控時(B=0 kN)，可靠性函數(shù)值最終趨于0，表明系統(tǒng)隨著運(yùn)行時間的增加將失效；而當(dāng)控制力從3 kN變化到10 kN時，可靠性函數(shù)的穩(wěn)定值逐漸增加，表明系統(tǒng)隨著運(yùn)行時間的增加不會失效，并且控制力越大系統(tǒng)失效的可能性越小。由圖5可以看出，當(dāng)初始能量較大時，隨著輪對運(yùn)行時間的增加，系統(tǒng)在較短時間內(nèi)，可靠性函數(shù)值迅速從1減少為一個接近于0的穩(wěn)定值。當(dāng)控制力從0、3、7、10 kN逐漸增加時，可靠性函數(shù)的恒定值只是略有增加，控制效果幾乎不起作用。這表明，當(dāng)輪對運(yùn)行具有較大初始激勵能量時，系統(tǒng)將快速失穩(wěn)并脫軌失效，這是由于輪對失穩(wěn)的振動為發(fā)散運(yùn)動，系統(tǒng)的能量逐漸增加，并最終超過輪軌約束而脫軌，即使此時提供約束控制，效果也不明顯。

圖4 不同控制力幅值下系統(tǒng)的可靠性隨時間變化情況(H0=0.04)

圖5 不同控制力幅值下系統(tǒng)的可靠性隨時間變化情況(H0=0.08)

4 結(jié)束語

為分析約束輪對首次穿越失效后的最優(yōu)控制，并改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性性能，建立受控動力學(xué)模型中考慮軌道不平順激勵和自身結(jié)構(gòu)參激的動力學(xué)模型。基于隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃原理的控制策略，并運(yùn)用擬不可積Hamilton系統(tǒng)隨機(jī)平均法，以可靠度最大化為控制目標(biāo)，建立可靠性函數(shù)和首次穿越時間概率密度函數(shù)的動態(tài)規(guī)劃方程。

分析表明，通過控制力作用，可使原本不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受控后變?yōu)楦怕室饬x上的穩(wěn)定系統(tǒng)，在選取適當(dāng)控制力條件下，甚至可使可靠性函數(shù)值接近于1，而使系統(tǒng)成為絕對意義上的穩(wěn)定系統(tǒng)。另外，在系統(tǒng)失穩(wěn)初期，并未激發(fā)較大能量時，即使提供較小的外界控制約束力作用，也能達(dá)到較好效果；如果系統(tǒng)失穩(wěn)，經(jīng)過一段時間而激發(fā)了較大振動能量，此時再提供約束作用，對改善系統(tǒng)性能已不明顯。

上述內(nèi)容僅針對單輪對隨機(jī)最優(yōu)控制的理論分析，為了分析的完整性，還應(yīng)增加試驗驗證對比。在后續(xù)研究中，將繼續(xù)完成軌道車輛整車隨機(jī)最優(yōu)控制理論和仿真分析，把具有二系橫向作用器裝置的整車在滾振臺上進(jìn)行試驗，并與理論分析進(jìn)行比較和驗證。

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