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    充分條件和必要條件的判定與應(yīng)用

    2018-06-29 06:23:30張西情
    新教育時代·教師版 2018年10期
    關(guān)鍵詞:充分條件

    張西情

    摘 要:本文主要有兩方面的內(nèi)容,一是介紹了三種常用的判定充分條件和必要條件的方法;二是給出了充分必要條件的應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:充分條件 必要條件 集合思想 等價轉(zhuǎn)化思想

    充分必要條件作為考綱中的必考內(nèi)容,它的要求是“理解必要條件、充分條件與充要條件的意義”。雖然,在近幾年的高考課標(biāo)卷中,幾乎都沒有進(jìn)行直接考察,但是它可以和許多知識點(diǎn)綜合,仍是高考命題的活躍點(diǎn)。所以,我們在學(xué)習(xí)充分必要條件的過程中,首先要明確如何判定充分條件和必要條件,然后才能應(yīng)用充要條件解決相關(guān)的綜合問題。[1]

    一、幾種常用的判定方法

    1.定義法

    定義法就是直接利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判定,這是最基本、最常用的方法,利用“是的什么條件”關(guān)鍵就是根據(jù)相關(guān)知識分析與之間的推出關(guān)系。[2]

    (1)如果p?q,則p是q的充分條件,同時q是p的必要條件;

    (2)如果p?q,但qp,則p是q的充分不必要條件;

    (3)如果p?q,且q?p,則p是q的充要條件;

    (4)如果q?p,且pq,則p是q的必要不充分條件;

    (5)如果pq,且qp,則p是q的既不充分也不必要條件。

    例①已知:,:,則是的( )

    A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

    C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

    解析:若,根據(jù)函數(shù)性質(zhì),必有,所以由可以推出;若,根據(jù)正弦函數(shù)的周期性,或,所以由不能推出。由此可知是充分不必要條件,故選(A)。

    2.等價法(逆否法)

    當(dāng)所給的命題條件和結(jié)論之間的關(guān)系不好判斷時,常利用互為逆否的命題同真假來進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換,從而判斷條件類型。即 “原命題逆否命題”,“否命題逆命題”進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換,一些否定形式的命題常用這種方法。

    (1),等價于,即p是q的充分條件。

    (2)p q,等價于﹁q﹁p,即p是q的既不充分條件。

    例②已知:不是偶數(shù),:,不都是偶數(shù),則是的( )

    A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

    C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

    解析:因?yàn)椤叭簦瑒t(若,都是偶數(shù),則是偶數(shù))”為真命題,所以由可以推出;因?yàn)椤叭?,則(若是偶數(shù),則,都是偶數(shù))”為假命題,所以由不能推出。由此可知是充分不必要條件,故選(A)。

    3.集合法

    從集合的觀點(diǎn)看,建立命題,相應(yīng)的集合::,:,則有

    (1)若,則是的充分條件,若 ,則是的充分不必要條件;

    (2)若,則是的必要條件,若 ,則是的必要不充分條件;

    (3)若,則是的充要條件;

    (4)若且,則既不是的充分條件,也不是的必要條件;

    因此,判斷是的什么條件,也可以從集合的角度借助數(shù)軸來考慮。

    例③設(shè)集合,,則“”是“”的( )

    A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

    C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

    解析:由題意,結(jié)合數(shù)軸易得,所以若“”不一定推出“”;若“”,則“”。所以“”是“”的必要不充分條件,故選(B)。

    在判斷充分條件和必要條件時,靈活運(yùn)用上述三種方法,必會事半功倍。[3]

    二、與充分必要條件結(jié)合的綜合問題---求參數(shù)取值范圍

    根據(jù)充要條件求參數(shù)范圍,一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合直接的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的包含、相等關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解;有時也采用等價轉(zhuǎn)化思想把復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題來解決。最后,在解題的過程中,一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn),此處容易增解或漏解。

    1.利用集合思想求解

    例④已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}。若x∈P是x∈S的必要條件,求m的取值范圍。

    解析:由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,

    ∴P={x|-2≤x≤10},

    由x∈P是x∈S的必要條件,知S?P.

    ∴當(dāng)0≤m≤3時,x∈P是x∈S的必要條件,即所求m的取值范圍是[0,3]。

    2.利用等價轉(zhuǎn)化思想求解

    例⑤已知條件p:x2+2x-3>0;條件q:x>a,且﹁q的一個充分不必要條件是﹁p,則a的取值范圍是( )

    A.[1,+∞) B.(-∞,1]

    C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]

    解析:由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由﹁q的一個充分不必要條件是﹁p,可知﹁p是﹁q的充分不必要條件,等價于q是p的充分不必要條件。

    ∴{x|x>a} {x|x<-3或x>1},

    ∴a≥1. 選A。

    最后,我們都知道,任何知識的學(xué)習(xí)都不是獨(dú)立的,充要條件也是如此,并且它的靈活性和綜合性都很強(qiáng),我們需要做的是理解它的意義,明確它的判定,并熟練掌握其他知識,最終達(dá)到應(yīng)用它來求解一些簡單的綜合問題,這樣在面臨高考中關(guān)于充要條件的考查,我們才能以不變應(yīng)萬變,笑對高考。

    參考文獻(xiàn)

    [1]嚴(yán)士健,王尚志.數(shù)學(xué)(選修2-3)教師教學(xué)用書[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

    [2]石立坤,劉際山.鼎尖教案-數(shù)學(xué)北師大選修2-1[M].吉林:延邊教育出版社,2016:14-38.

    [3]曲一線,王全銀。5年高考3年模擬[M].北京:教育科學(xué)出版社,2012:5-8.

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