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    指數(shù)保費(fèi)原理下似然比方法的信度估計(jì)

    2018-06-29 03:08:38靳艷樹(shù)吳黎軍
    昌吉學(xué)院學(xué)報(bào) 2018年3期
    關(guān)鍵詞:信度線(xiàn)性原理

    靳艷樹(shù) 吳黎軍

    (新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 新疆 烏魯木齊 830046)

    1 引言

    信度理論是一種經(jīng)驗(yàn)估費(fèi)模型,是非壽險(xiǎn)精算學(xué)的核心內(nèi)容之一,其保費(fèi)定價(jià)的基本方法是根據(jù)投保人或保單組合的歷史索賠經(jīng)歷來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)。信度的概念最早起源于Mowbray[1]和Whitney[2],并且提出了計(jì)算保費(fèi)的公式:

    上述的保費(fèi)是假設(shè)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布族并且已知先驗(yàn)信息。如果在實(shí)際運(yùn)用中不能滿(mǎn)足上述條件,那么上式將不再適用。因此,1938年Buhlmann[3]提出了一種無(wú)分布的信度模型。他將樣本的過(guò)去索賠數(shù)據(jù)限定在線(xiàn)性函數(shù)類(lèi)中,在Bayes[4]框架下利用最小二乘法得到了信度保費(fèi)的估計(jì)為:其中,Z為信度因子,是整體均值為樣本均值,從而建立了無(wú)分布的信度理論,為信度理論的發(fā)展奠定了統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)。該模型被稱(chēng)為經(jīng)典信度理論,20世紀(jì)60年代以來(lái)在精算領(lǐng)域被廣泛關(guān)注。有關(guān)信度理論的詳細(xì)介紹可以參考文獻(xiàn)[4]。

    但是,在大部分的經(jīng)典信度理論中,因?yàn)槲覀円话闶怯闷椒綋p失函數(shù)來(lái)刻畫(huà)保費(fèi)與風(fēng)險(xiǎn)之間的相關(guān)程度,然而在平方損失函數(shù)下得到的保費(fèi)是凈保費(fèi),不具有正的安全負(fù)荷性。在破產(chǎn)理論中我們已經(jīng)證明,若保險(xiǎn)公司僅收取純保費(fèi),則最終會(huì)導(dǎo)致破產(chǎn)。相關(guān)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)Asmussen[5]。因此保險(xiǎn)公司為了避免破產(chǎn),就需要選擇合適的保費(fèi)原理來(lái)制定保費(fèi)。很多學(xué)者將經(jīng)典的信度理論中的平方損失函數(shù)修改為其他損失函數(shù)。例如Esscher將平方損失函數(shù)指數(shù)加權(quán)損失函數(shù),從而得到了Esscher保費(fèi)原理下的保費(fèi)估計(jì)。隨后,Heilmann[6]給出了在廣義加權(quán)損失函數(shù)下的信度保費(fèi),Gomez-Deuiz[7]則建立了在平衡損失函數(shù)下的信度計(jì),Weng等[8]則在指數(shù)損失函數(shù)下得到了相應(yīng)的指數(shù)保費(fèi)原理下的保費(fèi)估計(jì),PayandehNajfabad[9]得出了在熵?fù)p失函數(shù)下的信度模型,從而得出了最大熵原理下的信度保費(fèi),而趙珍[10]利用最大熵方法得出了在最大熵方法下的信度形式,胡瑩瑩[11]則在此基礎(chǔ)之上得出了相對(duì)熵下的信度表達(dá)。

    盡管通過(guò)修改損失函數(shù)可以得到不同的保費(fèi)原理,但是上述保費(fèi)原理下的信度估計(jì)中均涉及到復(fù)雜的參數(shù),往往在實(shí)際操作中參數(shù)估計(jì)很難實(shí)現(xiàn),而指數(shù)保費(fèi)原理因有著簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式和許多良好的保費(fèi)原理性質(zhì)從而在實(shí)際保險(xiǎn)中得到廣泛運(yùn)用。指數(shù)函數(shù),如(2)式所示:

    另一方面,保險(xiǎn)公司在制定下一年保費(fèi)的時(shí)候,往往希望下一年的保費(fèi)與某個(gè)目標(biāo)保費(fèi)相差較小。此時(shí)利用經(jīng)典的信度模型來(lái)制定保費(fèi),若前n年中存在著大額索賠則會(huì)使得下一年的保費(fèi)比今年的保費(fèi)增長(zhǎng)很多,以至于投保人無(wú)法接受。因此,我們選取平衡損失函數(shù)來(lái)對(duì)這種差別進(jìn)行懲罰。如此,既可以反應(yīng)擬合優(yōu)度,又可以反應(yīng)目標(biāo)保費(fèi)。

    設(shè)第i種風(fēng)險(xiǎn)的目標(biāo)保費(fèi)為δ0(X),δ0(X)可能是上一年的保費(fèi)或保險(xiǎn)公司的認(rèn)可的某個(gè)保費(fèi),也可能和前n年的索賠數(shù)據(jù)有關(guān)或是常數(shù)。下面我們給出平衡損失函數(shù)的定義為:

    其中,R是給定的權(quán)重,并且R∈[0,1]反應(yīng)目標(biāo)保費(fèi)和擬合優(yōu)度重要性的不同。(3)給出的平衡損失函數(shù)與實(shí)際較為符合,且包含了平方損失函數(shù)(R=0)。這類(lèi)損失函數(shù)在近些年來(lái)得到了廣泛的研究。文章在已有的研究基礎(chǔ)上,在指數(shù)保費(fèi)原理下利用似然比方法得出了相應(yīng)信度保費(fèi)估計(jì),從而推廣了經(jīng)典的信度理論。

    2 指數(shù)保費(fèi)原理

    定義2.1:若取損失函數(shù)(1)式,則指數(shù)保費(fèi)P為:

    記H為保費(fèi),以下是指數(shù)保費(fèi)原理的一些性質(zhì),具體內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[6]。

    性質(zhì)1(正安全負(fù)荷性):對(duì)任意的X和a> 0,有H(X)>E(X).

    性質(zhì)2(平移不變性):對(duì)任意的風(fēng)險(xiǎn)X及常數(shù)c>0,有

    性質(zhì)3(獨(dú)立風(fēng)險(xiǎn)可加性):對(duì)任意的風(fēng)險(xiǎn)X和Y,且X,Y相互獨(dú)立,有

    性質(zhì)4(次可加性):對(duì)任意的風(fēng)險(xiǎn)X,Y,則有H(X+Y)≤H(X)+H(Y).

    基本假設(shè)與符號(hào)設(shè)定:

    在經(jīng)典的信度理論中,我們一般假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)為Θ,X1,…,Xn為前n年的歷史索賠額,假定Θ為隨機(jī)變量。模型基本假設(shè)如下:

    假設(shè)3.1:在Θ給定時(shí),X1,…,Xn之間獨(dú)立同分布且

    假設(shè)3.2:

    定義3.1:設(shè)X為隨機(jī)變量,在給定樣本觀(guān)測(cè)值X1,X2,…,Xn的情況下,X的概率分布為P(X=Xi)=Pi.記R為似然比

    定義3.2:假設(shè)離散型隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,相應(yīng)的概率分別為:p1,p2,…,pn,滿(mǎn)足的約束條件是g1(?),g2(?),…,gm(?),并且

    則滿(mǎn)足以上條件的拉格朗日方程是:

    事實(shí)上,通過(guò)最大化拉格朗日方程L可以求出p1,p2,…,pn.

    由定義可看出,統(tǒng)計(jì)矩約束數(shù)目越多,說(shuō)明已知信息越繁多,所解決問(wèn)題的不確定程度就會(huì)越小。因此,我們根據(jù)似然比方法求得的概率分布,將是在服從統(tǒng)計(jì)矩約束條件下,使得似然比函數(shù)到達(dá)最大的一種概率分布。

    3 指數(shù)保費(fèi)原理下似然比方法的信度估計(jì)

    在指數(shù)保費(fèi)原理下,運(yùn)用似然比方法可得到下面的信度保費(fèi)。

    定理4.1:假設(shè)保單組合同前n年的索賠數(shù)據(jù)是X1,X2,…,Xn,并且E(eaXi)=μ則未來(lái)索賠X_{n+1}的最佳線(xiàn)性非齊次估計(jì)為:

    從而未來(lái)索賠Xn+1在指數(shù)保費(fèi)原理下的最佳線(xiàn)性非齊次估計(jì)為:

    滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:

    (i)期望損失達(dá)到最小;

    (ii)似然比函數(shù)最大.

    則在指數(shù)保費(fèi)原理下最終的信度保費(fèi)估計(jì)形式為:

    證明:我們首先解決下面最優(yōu)化問(wèn)題:

    值得注意的是,給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)θ,假設(shè)Xi(i=1,…,n)獨(dú)立同分布。則在平方損失函數(shù)下,Bayes可以表示成線(xiàn)性信度公式的形式。Payandeh(2012)[12]將這種情況做了推廣:當(dāng)索賠服從對(duì)數(shù)凸分布時(shí),運(yùn)用最大熵的方法也可以把Bayes保費(fèi)表示成線(xiàn)性信度公式的形式。

    文章與 Payandeh(2012)[13]的不同之處在于:一方面,Payandeh是在凈保費(fèi)原理下得到的,而凈保費(fèi)不具有正的安全負(fù)荷性。文章是在指數(shù)保費(fèi)原理下得到的信度估計(jì)次。因此,符合實(shí)際情況。Payandeh假設(shè)索賠Xi(i=1,…,n)服從對(duì)數(shù)凸分布,從而得出Bayes保費(fèi)的線(xiàn)性表達(dá)形式,而文章在只假設(shè)索賠具有相同的期望,在經(jīng)典信度理論的基礎(chǔ)上結(jié)合似然比方法得出最優(yōu)保費(fèi)X?n+1的線(xiàn)性信度表達(dá)形式。

    另一方面,經(jīng)典的信度理論是在給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)θ,索賠Xi(i=1,…,n)之間獨(dú)立同分布的條件下運(yùn)用最小化期望損失的方法得到的,并且得到的權(quán)重系數(shù)是相等的。如果在Xi(i=1,…,n)具有相同期望的分布假設(shè)下,運(yùn)用最小化期望損失函數(shù)的方法是計(jì)算不出權(quán)重系數(shù)αi(i=1,…,n)的。因此,文章運(yùn)用最大化熵的方法對(duì)其進(jìn)行了二次優(yōu)化,從而求出權(quán)重系數(shù)αi(i=1,…,n)。

    推論2:

    齊次遞歸保費(fèi)的最終保費(fèi)形式為

    由引理1可知在指數(shù)保費(fèi)原理下的最終保費(fèi)估計(jì)為

    證明:

    故推論2得證。

    又α+β=1且α>0,β>0.從而0<β<1。

    此推論表明年份較近的索賠比年份較遠(yuǎn)的索賠賦予更大的權(quán)重在實(shí)際運(yùn)用中合理。

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