導數(shù)復習課教學片斷及反思

摘要：由一道導數(shù)的作業(yè)題的不同解法講評片斷，發(fā)現(xiàn)學生學習的問題，引起對自身教學方法的思考，機械化的模式教學使得能力培養(yǎng)產(chǎn)生了障礙，面對不同的學生，都要切實學生的學，培養(yǎng)學生各方面的能力，以及提高學生面對困難的信心。

關(guān)鍵詞：文科導數(shù)；引導；困難；能力培養(yǎng)

筆者今年執(zhí)教于高中文科數(shù)學，基于對文科班數(shù)學基礎(chǔ)較差的印象及自己的教學經(jīng)驗，在教學中，常常出現(xiàn)“這種題型常用的解法……”之類的教學方式，不小心容易以一成不變的模式將知識將強灌輸給學生，為了完成“教學任務”課堂上預留給學生獨立思考的時間較少，使得學生在學習過程中容易產(chǎn)生教條主義思想，學習上缺乏主動，產(chǎn)生依賴性，缺乏思想，缺乏個性，被動地學習，遇到困難“知難而退”。本文是筆者的一堂導數(shù)應用復習課的實錄，通過此課例，筆者及時發(fā)現(xiàn)并嘗試解決學生可能產(chǎn)生的學習上的問題。

導數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，導數(shù)在函數(shù)里有廣泛應用，高中文科對導數(shù)的主要要求是能用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題，其中利用導數(shù)解決函數(shù)含參問題在高考中是較為常見的，所以解決導數(shù)含參問題是高中數(shù)學教學中一個很重要的環(huán)節(jié)。

課堂片斷實錄。

一、 從一道作業(yè)的幾種不同解法談起

筆者在此復習課之前給出了一道作業(yè)：

作業(yè)：已知函數(shù)f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8（a∈R）

1. 若f（x）的極大值為8，求a的取值。

2. 若f（x）在x∈（-∞，0）上為增函數(shù)，求a的取值范圍。

統(tǒng)計第二步的解答情況，共得到以下兩種做法：

解法一：

f′（x）=6x2-6（a+1）x+6ax

若函數(shù)f（x）在x∈（-∞，0）上為增函數(shù)，則f′（x）≥0在x∈（-∞，0）上恒成立

即x2-（a+1）x+a≥0恒成立，即a（x-1）≤x2-x

∵x<0∴x-1<0∴a≥x2-xx-1=x恒成立

∵x<0∴a≥0

解法二：

f′（x）=6x2-6（a+1）x+6ax

f′（x）=0解得x=1，或x=a

若a<1，f′（x）<0解得a

從而得函數(shù)在（-∞，a）和（1，+∞）單調(diào)遞增，若函數(shù)f（x）在x∈（-∞，0）上為增函數(shù)，則只需0≤a<1

若若a<1，f′（x）<0解得1

從而得函數(shù)在（-∞，1）和（a，+∞）單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）在x∈（-∞，0）上恒為增函數(shù)，若a=1，f′（x）≥0恒成立，則函數(shù)f（x）在x∈（-∞，0）上恒為增函數(shù)，

綜上a≥0

統(tǒng)計作業(yè)結(jié)果得知，其中有百分之八十的同學采用了第一種方法，有個別同學利用分離參數(shù)解題時，并沒有注意判斷x-1的符號，使得答案出錯，而全班只有一位同學采用了解法二（此解法應該是建立在對第一步的討論中得出），還有一位同學嘗試用單調(diào)性的定義法去解題，當然并沒有求出結(jié)果。

二、 提出問題

鑒于學生作業(yè)模式的統(tǒng)一化，筆者產(chǎn)生了一些疑問，此道作業(yè)正確率如此之高，但學生是否真正掌握含參問題的實質(zhì)及解法？學生遇到含參問題是否只能想到分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)？學生的思維方式是否已經(jīng)受限？為了進一步了解及確定學生解題可能存在的問題，筆者在講評作業(yè)之前給出了另一道題作為課堂練習：

練習：f（x）=lnx-mx+m<0對x∈（1，+∞）恒成立，求m的取值范圍。

幾乎所有學生的解法都如下：

lnx-mx+m<0對x∈（1，+∞）恒成立，則m（x-1）>lnx

∵x>1∴x-1>0∴m>lnxx-1構(gòu)造函數(shù)令

g（x）=lnxx-1g′（x）=1-1x-lnx（x-1）2

部分學生做到這步，無法得知單調(diào)性便停止答題

由于前面有介紹過兩次構(gòu)造函數(shù)求導解決函數(shù)單調(diào)性的問題，有個別學生繼續(xù)構(gòu)造函數(shù)求導

令h（x）=1-1x-lnx，h′（x）=1x2-1x

由于x>1，可得h′（x）<0恒成立，所以有h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減。

從而有h（x）

但是同樣遇到這樣一個問題，函數(shù)在1處無意義，無法得出函數(shù)最值，那么這道題該如何進行下去呢（這里利用洛必達法則可得limx→1lnxx-1=1，從而解得a≥1，不過為高數(shù)內(nèi)容，在此不作詳述）？個別學生嘗試分類討論，也都沒得到完整準確的答案。

三、 探究問題，共同反思。

筆者授課的對象是所在學校的高二文科班學生，數(shù)學基礎(chǔ)較差，自主學習能力不高，雖然在前面幾堂課中，筆者已詳細講授導數(shù)解決各種常見函數(shù)問題方法，但是學生還是不能很好地完成解答。

教師：為什么利用分離參數(shù)無法解出此題呢？

學生：在x=1處無意義，無法得出函數(shù)最值。

教師：那么有什么方法可以解出此題嗎？

學生：……

教師：退一步來講，為什么遇到含參問題，為什么你會想到分離參數(shù)呢？

學生：因為有參數(shù)就必須討論。

教師：對，如果討論，那么此題討論的目的是？恒成問題處理方法的實質(zhì)是什么還記得嗎？

學生：實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為最值問題，也就是說要通過討論得到函數(shù)的最值。

教師：那么為什么不嘗試求f（x）的最值呢？

學生：討論很難。

至此，筆者意識到學生解決不含參數(shù)的函數(shù)最值問題，問題不大，但當引入?yún)?shù)，提高門檻，學生就會緊張，解決問題容易避重就輕，逃避困難，思維定勢，缺乏思考。

教師：高中數(shù)學里，分類討論是一種重要的邏輯方法，但卻是你們最頭疼的一個問題，那么你們覺得困難在哪？

學生：有時想想好像會做，但不知如何入手。

教師：有時知道要分類，但好像沒辦法考慮得很全面。

學生：……

教師：那來看看能不能一起解決這些問題。有同學說說解題思路嗎？

學生A：先求導，求極值點。

f′（x）=1x-m

f′（x）=0解得極值點x=1m

學生A：考慮定義域，m>0。

學生B：不一定要有極值點，若m≤0沒有極值點，函數(shù)還是有意義，所以，需要討論。

接下來，在自然熟悉的思路引導下，與學生共同得到了以下完整解法。

若m≤0，f′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以當x∈（1，+∞）時，f（x）>f（1）=0不成立。

若m>0，f′（x）=0解得極值點x=1m

∵f′（x）>0解得x>1m

∴f（x）在0，1m上單調(diào)遞增，在1m，+∞上單調(diào)遞減。

當01，則f（x）在（1，1m）上有f（x）>f（1）=0不成立

當m≥1，則在（1，+∞）上都有f（x）

綜上：m≥1

教師：分類討論解決數(shù)學問題關(guān)鍵是如何正確分類，解決導數(shù)中參數(shù)分類討論的問題，往往從極值點出發(fā)，極值點是否會有意義，區(qū)間是否會包含極值點，極值點大小的比較等等，要確保分類的科學，不重不漏，確定完分類標準之后再進行討論，最后進行歸納整理。

四、 一題多解，一題多變

教師：現(xiàn)在，我們一起來看看昨天的作業(yè)。

教師板書了解法一。并讓學生C介紹解法二，表揚使用該生，鼓勵學生敢于創(chuàng)新和思考。

教師：能否用恒成立的實質(zhì)，分類討論導數(shù)的最值的方法來解決此題呢？

學生B板書解法三：

即f′（x）=6x2-6（a+1）x+6ax≥0在（-∞，2）恒大于零

導數(shù)對稱軸x=-a+12

當x>-1，即-a+12<0，則二次函數(shù)存在f′（x）min=f-a+12

當x≤-1，即-a+12≥0，則f′（x）>f（0）只需f（0）=a≥0

綜上，a≥0

教師：恒成立問題是高中數(shù)學的一項重要內(nèi)容，除了分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)這個方法外，直接分類討論函數(shù)的最值也是重要的方法之一。

介紹三種解題方式，旨在通過一題多解，使課堂變得更加精彩，而此題的一題多解更是從學生的學情角度出發(fā)，合理地給出，希望學生能從中找到解題的規(guī)律。

教師：若把此題的條件改成f（x）在x∈（-∞，2）上為增函數(shù)，求a的取值范圍。此時利用解法二解法三都能順利解題。

在此給出作業(yè)的變式，旨在更充分發(fā)揮作業(yè)的作用，本為一道簡單的作業(yè)，適度的引申，合理的變式深化難度，為學生的思維訓練提供契機。

教師：這節(jié)課后，你們對于解題有何感想？

學生C：解題的時候，經(jīng)常都沒有仔細考慮到題目設(shè)置的意圖，總是想就著熟悉的方法解題，有時題目都沒有看清楚。

學生D：做題時遇到困難會想逃避，缺少思考。

學生E：這節(jié)課重新復習了分類討論的解題方法，好像對于要分類的題目沒有那么害怕了。

本堂課例片斷，筆者為了打破學生的定勢的思維模式，引導學生回歸恒成立問題的本質(zhì)，即求最值問題，然后體會如何抓住所要面對的困難中的難點，學會一一攻破難點的能力。

本文是筆者由一道正確率頗高的作業(yè)的反思，及時的發(fā)現(xiàn)學生在學習過程中存在的問題和遇到的困難，并且看出了，在平時的教學中，筆者太過重視培養(yǎng)學生常規(guī)作法的解題思路，而忽視了學生對于問題本質(zhì)的理解，能力培養(yǎng)才是教學的重任，應傳授學生更多探究問題，分析問題的能力，扎實教學過程，解好每一道題，落實每一個解法，提供多角度訓練情境，及時提高學生的應變能力。

并且，筆者認為，在數(shù)學教學過程中，無論是面對怎么樣的學生，都要切實關(guān)注學生的學，要能夠根據(jù)學生可能出現(xiàn)的切實的問題來確定教學的重點，在教學過程中，在學生遇到這樣那樣的挫折和失敗時及時給予幫助和補救，鼓勵學生勇于面對困難，培養(yǎng)解決困難的能力，確保自己不陷入模式機械化的教學。

教學的路還很長，教學的過程是累積經(jīng)驗的過程，教學過程中的反思更是一個讓我們能夠不斷學習的不斷進步的過程。

作者簡介：李菲燕，福建省南安市，福建省南安國光中學。