探求一類最值問題的解題策略

程敬偉

（福建省惠安縣第三中學(xué)）

題目 求函數(shù)（fx）=x+（0＜x≤1）的最小值。

本題函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征很容易讓人產(chǎn)生應(yīng)用均值不等式求解的思路,而且常會(huì)有以下解法：由于 0＜x≤1,所以 f（x）=x+然是個(gè)錯(cuò)解。在利用均值不等式求最值時(shí)“,一正二定三相等”這三個(gè)條件缺一不可，本題出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因在于沒有驗(yàn)證不等式的等號(hào)是否成立。事實(shí)上，若x=,則x=±2,這在條件中定義域的制約下是無法取到的，因此，本題并不能直接簡(jiǎn)單地通過均值不等式來求解。

本文就上題為例探求其解題策略，以求達(dá)到解決型如（fx）=mx+（m，n都是大于0的常數(shù)）的一類函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值問題。

策略一：創(chuàng)設(shè)條件應(yīng)用均值不等式求最值

∵0＜x≤（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，上式兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立），∴函數(shù)（fx）的最小值為5。

評(píng)析：應(yīng)用均值不等式是解決本題的直觀想法，但必須要?jiǎng)?chuàng)造應(yīng)用的條件。合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的創(chuàng)設(shè)技巧，這需要在實(shí)踐中多多體驗(yàn)、歸納、總結(jié)。

策略二：確定函數(shù)的單調(diào)性求最值

方式1：（利用定義確定函數(shù)的單調(diào)性）

設(shè) 0＜x1＜x2≤1，∴（fx2）-（fx1）＜0，即 （fx2）＜（fx1），∴ 函數(shù) （fx）在x∈（0,1］上是減函數(shù)，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為5。

方式2：（利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性）

對(duì)函數(shù) （fx）求導(dǎo)∴f′（x）＜0，∴ 函數(shù) （fx）在x∈（0,1］上是減函數(shù)，∴ 當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù) （fx）的最小值為5。

方式3：（利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)性）

函數(shù)式可配方在x∈（0,1］上是增函數(shù)，∴函上都是減函數(shù)，∴函數(shù)函數(shù)，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)（fx）的最小值為5。

評(píng)析：創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件有時(shí)技巧性較強(qiáng)，學(xué)生不易掌握，因此確定函數(shù)的單調(diào)性求最值是解決此類問題最主要的方法，本法有三種方式而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是最為簡(jiǎn)捷方便的。

策略三：作出函數(shù)圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求最值

函數(shù) （fx）=x+的圖象如下所示，則可知當(dāng)0＜x≤1時(shí)，（fx）是減函數(shù)，∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為5。

評(píng)析：函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑、獲得問題結(jié)果的重要工具，要重視這種數(shù)形結(jié)合解題的思想方法。

策略四：構(gòu)建函數(shù)與方程，應(yīng)用根的分布求最值

原函數(shù)式可變形為方程 x2-y·x+4=0，則方程在x∈（0，1］上有實(shí)數(shù)解。令 g（x）=x2-y·x+4，則 g（x）在（0，1］內(nèi)有零點(diǎn)且故函數(shù)的最小值為5。

評(píng)析：函數(shù)與方程思想是解決最值問題的重要途徑。本題通過構(gòu)建二次方程，利用根的分布來處理，問題迎刃而解。

通過以上對(duì)本題不同的處理策略的探索，不僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到把握問題本質(zhì)的必要性，而且體會(huì)到從多角度、多方位思考問題的重要性，這不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且對(duì)于提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力大有裨益。