從圓錐曲線定義教學談數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)與提高

馬常軍 戴 慧

（江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學）

新課程對高中數(shù)學的“核心素養(yǎng)”給出了明確的定義，“學生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的、與數(shù)學有關(guān)的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)”。這對教師提出了更高的要求，要把對數(shù)學文化的了解，對數(shù)學公理、定理的探究，對數(shù)學公式的推導(dǎo)，以及運用數(shù)學思想方法解決實際問題貫穿到整個課堂教學活動中。數(shù)學運算是其中重要的核心素養(yǎng)之一，如何結(jié)合所學，使用正確的方法簡化計算，是培養(yǎng)運算能力的重要途徑。下面我針對“圓錐曲線定義的應(yīng)用”這一教學內(nèi)容具體闡述。

一、題意指向明確，準確運用定義

例1.雙曲線上的點P到它的右準線的距離為么，點P到它的左焦點的距離為__________。

分析：題目中出現(xiàn)右準線，容易想到運用第二定義先把點到右準線的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點的距離，再運用第一定義求出到左焦點的距離，

二、打破思維定式，巧妙轉(zhuǎn)化化歸

例2.已知橢圓的方程右焦點，A（2，1），P 為橢圓上一點，小值分別是_______________。

分析：部分學生會根據(jù)以往的解題經(jīng)驗設(shè)P 點坐標（x，y），再用兩點間距離公式得及復(fù)雜根式函數(shù)的求最值問題，學生無從下手，停滯不前.我們可以打破設(shè)點求距離這種正向思維的定式，根據(jù)本題求解目標中有一項橢圓上的一點到右焦點的距離，嘗試用橢圓的第一定義，如圖所示，因為P為橢圓上一點，

由第（i）題

∴PF1+

三、多種方法優(yōu)化，定義優(yōu)先

例3.過橢圓C：左焦焦點 F，傾斜角為60°的直線交橢圓于點A，B，_______。

分析：本題可以按照常規(guī)思路，根據(jù)傾斜角為60°設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，用韋達定理建立關(guān)系，消元得到a，b，c的關(guān)系，進而求得離心率；也可以設(shè)點的參數(shù)方程求解，但是這兩種方法的計算量太大，注意到與焦點有關(guān)，我們嘗試用橢圓的第一定義求解。

解法1 設(shè)橢圓的左、右焦點分AF1=2t，BF1=（tt＞0），由橢圓的定義知，AF2=2a-2t，BF2=2a-t. 在 △AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得：（2a-2t）2=（2t）2+（2c）2-2（2t）（2c）cos60°，（2a-t）2=t2+（2c）-2（t2c）cos120°消去t得橢圓

這種方法雖然計算有所簡化，但是注意到題目條件涉及橢圓上的點到焦點的距離，又是求離心率，這恰恰是橢圓第二定義三個量中的兩個，所以用第二定義解決本題應(yīng)該最簡便。

解法2 設(shè)AA′，BB′分別為A、B兩點到左準線的距離，由第二定義可得AA

∴AC=AA′-B

由題意知，在Rt△ABC中∠BAC=60°，

∴AB=2AC，又 AB=AF+BF，

∴AF+BF=

面對多種方法，需要學生有敏銳的分析能力，還要對計算量有所預(yù)判，才能選擇最優(yōu)解法，促進運算能力的提升。

數(shù)學運算這一核心素養(yǎng)的形成，需要在每一次課堂教學中不斷強化，這就需要教師指導(dǎo)學生仔細觀察題目，正確理解運算的對象，對所有可行的方法做到心中有數(shù)，并能選擇最優(yōu)方法，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學思想.學生在這一過程中不但發(fā)展了運算能力，培養(yǎng)了思維能力，對數(shù)學建模核心素養(yǎng)的形成起到促進作用，最終形成可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學素養(yǎng)。