對(duì)高斯公式形成過(guò)程的一種理解

付彩霞 楊曉春

【摘要】利用第二型曲面積分的定義以及流體流量的一般求解方法推導(dǎo)高斯公式，為初學(xué)者提供一個(gè)完整的、合乎邏輯的公式發(fā)現(xiàn)過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】高斯公式；流量；第二型曲面積分；形成過(guò)程

一、引 言

格林公式建立了沿封閉曲線的曲線積分與二重積分的關(guān)系，沿空間曲線的曲線積分和三重積分之間也有類似的關(guān)系，即為高斯公式.在數(shù)學(xué)上，高斯公式是第二型曲面積分中非常重要的一個(gè)公式，利用高斯公式可以簡(jiǎn)化曲面積分的計(jì)算；在普通物理學(xué)中，應(yīng)用高斯公式可以簡(jiǎn)潔明了地證明一些重要的結(jié)論，如著名的阿基米德浮力定律和靜電場(chǎng)的高斯定理.因此，對(duì)于高斯公式形成過(guò)程的證明與理解尤為重要.

通常根據(jù)曲面積分和重積分的計(jì)算給出其快速簡(jiǎn)捷的證明方法，而這種證明方法只是單純的數(shù)學(xué)上的證明，沒(méi)有賦予一些實(shí)際意義，對(duì)于初學(xué)者而言，較為生澀難懂.受到高斯定理的物理應(yīng)用的啟發(fā)，根據(jù)流體流量問(wèn)題的兩種不同計(jì)算，推導(dǎo)高斯公式的形成過(guò)程，為初學(xué)者提供一個(gè)容易理解、合乎邏輯的公式發(fā)現(xiàn)過(guò)程.

三、小 結(jié)

之前的證明多數(shù)是在向量場(chǎng)中對(duì)流體的通量進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)元素法的方式進(jìn)行證明，或根據(jù)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的向量形式的定義及其計(jì)算給出高斯公式的證明.本文在前者的基礎(chǔ)之上，在流體通過(guò)曲面流量的物理背景下，通過(guò)兩種不同計(jì)算方法將幾何與代數(shù)相結(jié)合，詳細(xì)解釋了高斯公式的推導(dǎo)過(guò)程.這樣不僅向?qū)W生展現(xiàn)出一個(gè)完整的、合乎邏輯的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，更是給出了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)例.加深了學(xué)生對(duì)于高斯公式的理解和記憶，便于以后的學(xué)習(xí)與應(yīng)用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2007：220-223.

[3]劉克哲，張承琚.物理學(xué)（上卷）：第3版[M].北京：高等教育出版社，2005：267.

[4]曹吉利，鄧方安.高斯公式的一種證法[J].陜西理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自科版），1999（2）：59-62.