以生為本，螺旋探究

常艷紅

【摘要】對(duì)數(shù)學(xué)中的一些有深度的學(xué)習(xí)內(nèi)容，緊扣“題源”，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，讓學(xué)生目睹題目的“出生”，見(jiàn)證題目一步步“成長(zhǎng)壯大”的過(guò)程，歷經(jīng)知識(shí)點(diǎn)的單調(diào)—生長(zhǎng)—豐富—成熟的過(guò)程，緊跟學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，修編“題譜”，挖掘題目成長(zhǎng)的“空檔期”，掃除學(xué)生盲點(diǎn)，突破思維難點(diǎn)，深化知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，螺旋式深化學(xué)習(xí)過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】生長(zhǎng)點(diǎn)和延伸點(diǎn)；螺旋式深化學(xué)習(xí)；分層

新課程提倡注重過(guò)程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷學(xué)習(xí)的認(rèn)知過(guò)程，親自去實(shí)踐、去體驗(yàn)、去感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程.在教學(xué)的過(guò)程中，對(duì)一些有深度的學(xué)習(xí)內(nèi)容，常常緊扣題目的“源頭”，從“題源”，或從核心知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，基于學(xué)生的個(gè)體差異和認(rèn)知規(guī)律，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，讓支干慢慢強(qiáng)壯起來(lái)，豐富起來(lái)，最后成熟了，把題目的出生，成長(zhǎng)，成熟過(guò)程修編成一組“題譜”——把它們縱橫兩維度或多維度地通過(guò)類比、加工、改造、加強(qiáng)或減弱條件，以及延伸、擴(kuò)展或組合來(lái)編擬新的試題，一系列簡(jiǎn)單的，有聯(lián)系，一個(gè)問(wèn)題比一個(gè)問(wèn)題更深入的系列問(wèn)題引導(dǎo)，從而讓每一名學(xué)生都獲得解題的體驗(yàn)，并能體會(huì)到成功的喜悅，提高教學(xué)的實(shí)效.

下面是在講解2010年廣州市中考題時(shí)的課堂簡(jiǎn)錄：

題目 已知：如圖1所示，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，求弦AB的長(zhǎng).

師：請(qǐng)你們加入一些新元素，再提出一些新問(wèn)題，最后作答.

生1：連接OA，OB，在Rt△AOH中，由于OH=12OA，可求∠POA度數(shù)，也可求∠BOA度數(shù).

生3：不用連接任何線段，可求出，求AP和AB度數(shù).

生4：連接PA，PB，根據(jù)中垂線性質(zhì)知OA=AP，可判斷△APO是等邊三角形.

生5：可以用有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

生6：可求∠BPA度數(shù)是120°；還可判斷四邊形AOBP的是菱形.

師：我們鞏固了平行四邊形和菱形的證明方法，很好，我們?cè)賮?lái)觀察圖：當(dāng)點(diǎn)P是AB劣弧上（與端點(diǎn)A，B不重合）的移動(dòng)時(shí)，又會(huì)發(fā)生什么呢？

生1：根據(jù)圓周角定理，可知∠ADB=∠APB=120°.

師：以點(diǎn)P為圓心，PH長(zhǎng)為半徑作⊙P，分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙P的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C.請(qǐng)問(wèn)：能求出∠C的度數(shù)嗎？

生1：能根據(jù)角的關(guān)系判斷△ABC是等邊三角形.

生2：可求出三角形ABC的周長(zhǎng)是33和面積是332；

師：能用什么方法求出△ABC的面積？

生1：△ABC是等邊三角形，且AB=3，用底和高求得.

生2：還可用S△ABC=3S△APB=3×12×3×1=332求得.

師：求三角形的面積時(shí)，當(dāng)遇到有內(nèi)切圓時(shí)，要注意內(nèi)切圓的特點(diǎn)，可以分割成三個(gè)部分去求和.

師：當(dāng)點(diǎn)P是AB上（與端點(diǎn)A，B不重合）的移動(dòng)時(shí)到點(diǎn)D時(shí)，DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為半徑作⊙D，分別過(guò)點(diǎn)A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C.若⊙D的半徑DE為r，你能否用含r的代數(shù)式表示S△ABC？如何求S△ABC？

生1：連接CD，利用三角形內(nèi)切圓的特點(diǎn)來(lái)求面積.

S△ABC=12S△ADB+12S△BDC+12S△ADC，

S△ABC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r，

S△ABC=12r（AB+BC+AC）.

師：若知道AB+BC+AC的長(zhǎng)即三角形的周長(zhǎng)，是不是就可以求出面積了？

生1：三角形的面積與其內(nèi)切圓半徑和三角形的周長(zhǎng)是有一定的關(guān)系的.

師：若知道三角形的面積，能求出周長(zhǎng)嗎？例如，記△ABC的面積為S，若SDE2=43，求△ABC的周長(zhǎng).

生：能，因?yàn)镾DE2=43S=43r2，所以12r×周長(zhǎng)=43r2，即周長(zhǎng)=83r.

師：內(nèi)切圓除了涉及角，還涉及邊嗎？

生：根據(jù)切線長(zhǎng)定理知AN+BM=3，根據(jù)直角三角形的邊關(guān)系可知CN=CM=3r，

所以△ABC的周長(zhǎng)=2（AE+EB）+2CN=23+23r，

所以=2（AE+EB）+2CN=23+23r=83r，

解得r=13.

最后根據(jù)課堂簡(jiǎn)錄，把題目的“出生”—“成長(zhǎng)”—“豐富”—“成熟”的過(guò)程匯編成一個(gè)“題譜”，記錄著“題”的每一次成長(zhǎng)和進(jìn)步，也記錄著學(xué)生們思維的軌跡，及時(shí)發(fā)現(xiàn)他們思維的盲點(diǎn)，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候及時(shí)給予學(xué)生引導(dǎo).以下幾點(diǎn)是在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中的切身體會(huì).

一、關(guān)注生長(zhǎng)點(diǎn)和延伸點(diǎn)，螺旋上升深化聯(lián)系

學(xué)習(xí)知其然更要知其所以然.在本節(jié)的課堂簡(jiǎn)錄中，垂徑定理是它的生長(zhǎng)點(diǎn)，巧妙地利用圓周角性質(zhì)，把定點(diǎn)P變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)，把特殊點(diǎn)轉(zhuǎn)化成一般點(diǎn)，這種遷移思想的引進(jìn)，深化知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，看似解決了問(wèn)題，卻又暴露了另一個(gè)問(wèn)題，三角形的周長(zhǎng)與內(nèi)切圓的半徑關(guān)系，如何把這個(gè)問(wèn)題解決是本題解決的關(guān)鍵.剪去多余的分支，只剩下三角形與它的內(nèi)切圓，利用切線長(zhǎng)定理找出三角形周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，利用矛盾關(guān)系引出本題的另一個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)，皮亞杰的理論認(rèn)為兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是一個(gè)連續(xù)構(gòu)造的過(guò)程，每一個(gè)階段都是前一階段的延伸，而本題的“最終命題”就是把兩個(gè)原生態(tài)的生長(zhǎng)點(diǎn)及延伸點(diǎn)恰當(dāng)?shù)乩猛∷鶎?duì)的圓周角相等，把“定”變“動(dòng)”，由“特殊性”變“一般性”，深化知識(shí)之間的聯(lián)系.平時(shí)的訓(xùn)練過(guò)程中，關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的生成點(diǎn)、嫁接點(diǎn)及交匯點(diǎn)，讓學(xué)生目睹題目“出生”時(shí)的單調(diào)到“蒂落”（多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的適度交匯融合）時(shí)的成熟整個(gè)成長(zhǎng)的過(guò)程，體會(huì)在成長(zhǎng)的過(guò)程中，知識(shí)點(diǎn)或縱，或橫多角度的在生長(zhǎng)點(diǎn)處嫁接，延伸，拓展的演變和同化的過(guò)程，遵循螺旋上升的認(rèn)知規(guī)律，深化知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.

二、以“易”見(jiàn)“繁”需合理，適度加新元素深度學(xué)習(xí)

“孔子登東山而小魯，登泰山而小天下”，學(xué)生所有知識(shí)的高度不同，他所看問(wèn)題的角度就不同，當(dāng)學(xué)生所獵取的知識(shí)點(diǎn)越多，他心中的“整體”就越大，知識(shí)越豐富，想問(wèn)題就越全面.對(duì)中考中有深度的題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)高度融合，綜合性強(qiáng)，它需要經(jīng)過(guò)教師對(duì)題目的深入研究、挖掘和深層次的思考、拓展、歸納，再根據(jù)學(xué)生課堂思維過(guò)程匯編“題譜”，它們每一題都是一個(gè)完整的個(gè)體，每個(gè)完整的個(gè)體增刪一些知識(shí)點(diǎn)就又成了一個(gè)新的個(gè)體，最后的題是前面幾題慢慢“發(fā)酵長(zhǎng)大”的結(jié)果.學(xué)生從心里懂得了再難的題目都是由簡(jiǎn)單題目“堆積”而成，認(rèn)識(shí)到只要平時(shí)認(rèn)真觀察，及時(shí)總結(jié)，不再被動(dòng)地、零散地接受知識(shí)，學(xué)習(xí)把“碎片化”的知識(shí)合理地“加減”“融和”“轉(zhuǎn)移”“打包”，引線搭橋，深入轉(zhuǎn)化，對(duì)知識(shí)的理解也能全面，整體.知識(shí)點(diǎn)由“細(xì)”到“粗”，由“簡(jiǎn)單”到“復(fù)雜”，由“個(gè)體”到“整體”，再到一系列“題譜”，聞一而知十，見(jiàn)“樹(shù)”的眾而知“林”的闊，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性.

三、設(shè)計(jì)問(wèn)題有區(qū)分度，懂得“得寸”才能“進(jìn)尺”

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性，普及性和發(fā)展性，使數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生.數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)只有建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，才能有效地體驗(yàn)、探索、總結(jié)、提升、應(yīng)用.依據(jù)維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，結(jié)合學(xué)生的個(gè)體差異，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，給他們提供了具有一定認(rèn)知難度的學(xué)習(xí)梯度，起點(diǎn)低，一步一步引導(dǎo)學(xué)生，“得寸”才能“進(jìn)尺”，步步為營(yíng).根據(jù)課堂簡(jiǎn)錄所匯編的“題譜”，為他們“私人定制”符合他們理解和接受水平的知識(shí)內(nèi)容，讓他們根據(jù)自己的能力去選擇解決自己想且自己能的問(wèn)題，這在一定程度上可以最大限度地挖掘自身的內(nèi)在潛能，每一名學(xué)生可以根據(jù)自己的不同“最近發(fā)展區(qū)”，且根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知差異，鋪設(shè)和搭建學(xué)習(xí)的“腳手架”，螺旋漸進(jìn)、深入學(xué)習(xí)，仿效“等門檻效應(yīng)”——步步為營(yíng)，借力使力，懂得“得寸”才能“進(jìn)尺”的心理學(xué)，潛移默化，如春風(fēng)潤(rùn)無(wú)聲，在自然而然的姿態(tài)中解決了問(wèn)題.G·波利亞在《怎么解題》中強(qiáng)調(diào)當(dāng)學(xué)生需要幫助時(shí)，“教師應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)慎地，不留痕跡地幫助學(xué)生”.課堂簡(jiǎn)錄匯編的系列“題譜”，根據(jù)不同知識(shí)點(diǎn)的縱向延伸，和相同知識(shí)點(diǎn)的橫向拓展，在縱橫交錯(cuò)中螺旋式深入，最后達(dá)到融會(huì)貫通的境界.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，對(duì)數(shù)學(xué)中的一些有深度的學(xué)習(xí)內(nèi)容，緊扣“題源”，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，讓學(xué)生目睹題目的“出生”，見(jiàn)證題目一步步“成長(zhǎng)壯大”的過(guò)程，歷經(jīng)知識(shí)點(diǎn)的單調(diào)—生長(zhǎng)—豐富—成熟的過(guò)程，抓住題目“成長(zhǎng)和壯大”的關(guān)鍵時(shí)期，緊跟學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，修編“題譜”，挖掘題目成長(zhǎng)的“空檔期”，掃除學(xué)生盲點(diǎn)，突破思維難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，深化知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，螺旋式深化學(xué)習(xí)過(guò)程.同時(shí)根據(jù)學(xué)生的差異性，進(jìn)行分層學(xué)習(xí)，通過(guò)多次的教學(xué)實(shí)施，并反思實(shí)施過(guò)程中的優(yōu)點(diǎn)，盲點(diǎn)與不足，從而讓每一名學(xué)生都獲得解題的體驗(yàn)，并能體會(huì)到成功的喜悅，提高教學(xué)的實(shí)效.