審題得意不要忘“形”，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

☉江蘇省金湖中學(xué) 陳萬(wàn)斌

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，教師在教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，了解解題思路，掌握解題方法，其中數(shù)形結(jié)合是重要的方法，以形解數(shù)，以形助數(shù)，即借助圖像的直觀形象減小函數(shù)的抽象性，把握出題人的意圖，因而得意不要忘“形”，培養(yǎng)學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí).

一、分析圖形本身，善于看“形”

例1 如圖1，過(guò)P（5，4）作直線(xiàn)l與圓O：x2+y2=25交于A、B兩點(diǎn)，若PA=2，求直線(xiàn)l的方程.

解析：設(shè)T（5，0），設(shè)直線(xiàn)AB斜率為k，則PT是圓的切線(xiàn)，所以PT=4.

由圓的性質(zhì)可知PA·PB=PT2，得到PB=8，所以AB=6，所以O(shè)到AB的距離d=4，所以lAB的方程為y-4=k（x-5），即kx-y+4-5k=0，所以以直線(xiàn)l的方程為y=4或40x-9y-164=0.

圖1

評(píng)注：挖掘圖形的內(nèi)在幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

二、分解復(fù)雜函數(shù)，簡(jiǎn)化作“形”

例2 已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

（1）求x＜0時(shí)f（x）的解析式；

（2）若f（x）在［-5，5］上的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式.

解析：（1）易知，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的表達(dá)式為f（x）=

（2）因?yàn)閒（x）是［-5，5］上的偶函數(shù)，故只需求f（x）在x∈［0，5］上的最大值即可，借助y=f（x），x∈［0，5］的圖像來(lái)進(jìn)行合理地本質(zhì)分類(lèi).①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的大致圖像如圖2.

②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的大致圖像如圖3.

③當(dāng)0＜a≤3時(shí)，f（x）的大致圖像如圖4.

圖3

圖4

a.當(dāng)≤5，即3＜a≤7時(shí)，如圖5，此時(shí)只需比較yB與yA大小，通過(guò)比較知：

當(dāng)6＜a≤7時(shí)，yA≥yB，則

當(dāng)3＜a＜6時(shí)，y＜y，則g（a）=.

AB

圖5

圖6

b.當(dāng)＞5，即a＞7時(shí)，如圖6，此時(shí)只需比較y與y的BC大小，通過(guò)比較知：a＞7時(shí)，yC＞yB，所以g（a）=2（a-5）.

評(píng)注：抓住函數(shù)的性質(zhì)及本質(zhì)的轉(zhuǎn)化來(lái)合理分類(lèi)，不斷突破，最終解決問(wèn)題.

三、讀出函數(shù)性質(zhì)，變換用“形”

例3定義在R上的函數(shù)（fx）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，（fx）=ln（x+2），求最小正整數(shù)m（m≥-2），使得存在實(shí)數(shù)t，對(duì)任意的x∈［m，10］均有（fx+t）≤2ln|x+3|，求滿(mǎn)足要求的m的值.

解析：設(shè)g（x）=2ln|x+3|，（fx）=ln（|x|+2），當(dāng)t=0時(shí)，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出（fx）與g（x）的圖像.

設(shè)A（0，ln2，），xB=x0.

如圖7所示，可知x0滿(mǎn)足：2ln（x0+3）=ln2，x0=-3∈（-2，-1）.

由圖8可知，（fx+t）是由（fx）平移“-t”個(gè)單位得到，則x0≤-t即可，要使m最小，又-2＜x0＜-1，且m是正整數(shù)，則m=-1.

引理 1.3[9] 設(shè)R和L是具有一個(gè)共同的擬恰當(dāng)斷面S°的擬恰當(dāng)半群，假設(shè)S°分別是R的右理想和L的左理想。設(shè)L×R→S°,(a,x)→a*x是映射,對(duì)任意的x,R和對(duì)任意的a,L滿(mǎn)足:

圖7

圖8

評(píng)注：利用函數(shù)性質(zhì)，對(duì)函數(shù)圖像作對(duì)稱(chēng)和平移變換來(lái)解決復(fù)雜的題.

四、認(rèn)真細(xì)致審題，心中有“形”

例4已知函數(shù)（fx）=ax2+bx+c（a＞b＞c），（f1）=0.

（1）求的范圍；

（2）當(dāng)（fm）＜0，判斷（fm+3）的符號(hào).

解析：（1）由題意a+b+c=0，a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，

（2）由（1）可知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)分別

所以m+3＞x2.

又f（x2）=0，得到f（m+3）＞0.

評(píng)注：本題第（2）問(wèn)，實(shí)質(zhì)是比較“m+3”與零點(diǎn)值的大小，只要畫(huà)出二次函數(shù)，即可解決.

例5已知函數(shù)f（x）=4x-x4，x∈R.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，曲線(xiàn)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為y=g（x），求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）≤g（x）；

（3）若方程f（x）=a（a為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且

圖9

圖10

解析：（1）f′（x）=4-4x3=4（1-x）（x2+x+1），知（fx）在（-∞，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減.

（2）（fx）=0，知x=0或x=，所以f（′）=-12.

故g（x）=-12（x-，易證（fx）≤g（x）.

（3）由（2）知，設(shè)h（x）是y=（fx）在（0，0）處切線(xiàn)，也可以證h（x）≥（fx）.

設(shè)直線(xiàn)y=a，與函數(shù)y=h（x），y=f（x）的圖形分別交于M、N、P、Q四點(diǎn)，如圖11.

所以x2-x1=xP-xN≤xQ-xM.

圖11

評(píng)注：本題的第（3）問(wèn)如能從第（2）問(wèn)中獲得啟發(fā)，即可解決，注意小題之間的聯(lián)系，并抓住圖形進(jìn)行聯(lián)想.

學(xué)生要能靈活地運(yùn)用圖形來(lái)解決問(wèn)題，善于聯(lián)想圖形不是一朝一夕的事情，教師要在教學(xué)過(guò)程中加大學(xué)生對(duì)識(shí)圖、畫(huà)圖、用圖的引導(dǎo)，加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用圖形來(lái)解題的意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思維能力，做到熟悉圖形，熟用圖形，心有圖形，數(shù)中有形，數(shù)能化形，感悟事物的本質(zhì)，逐步提升學(xué)生的直觀形象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.F