對一道數(shù)量積定值判斷題的解法再探究

☉湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書

題目 如圖1，已知以點A（-1，2）為圓心的圓與直線=0相切.過點B（-2，0）的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，直線l與l1相交于點P.（1）求圓A的方程.

（2）B→P·B →Q是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由.

這是一道以直線與圓的位置關(guān)系為載體的解析幾何題，第（1）問求圓的方程主要考查知識，屬于容易題.第（2）問是判斷向量數(shù)量積是否為定值，主要考查綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，屬于中等難度的題目.但解題思路寬、解法靈活多樣，對數(shù)學(xué)思想方法和能力的要求不同，繁簡不一、優(yōu)劣有別，不同的解法體現(xiàn)不同的思維層次與能力水平和不一樣的精彩.對于第（2）問文［1］給出了兩種解法，本文在此基礎(chǔ)上對解法進行較為深入的探究，與讀者分享.

圖1

解析：（1）直線l1的方程即為x+2y+7=0，設(shè)圓A與直線l1相切于點T，則AT⊥l1，從而點A到直線l1的距離AT就是圓A的半徑，由點到直線距離公式可求得AT=2，于是圓A的方程為（x+1）2+（y-2）2=20.

（2）接下來我們將第（2）問的解題思路與相關(guān)解法展示如下.

思路一：從直線MN是否與x軸垂直進行分類討論切入，用方程思想求解.

解法1：當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)為k，因直線過點B（-2，0），故其點斜式方程為y=k（x+2），將其代入圓的方程整理得（k2+1）x2+（4k2-4k+2）x+（2k-2）2-19=0.則M，N兩點的橫坐標是這個方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得線段MN的中點Q的橫坐標為=（x+x）MN

因為Q是MN的中點，

所以AQ⊥MN.

當(dāng)直線MN的斜率不存在時，其方程為x=-2.

評注：以上解法與文［1］給出的解法基本相同，相比而言，“走心”解法計算量小很多.圓心與半徑是圓的兩個基本量，與圓相關(guān)的問題常常采用以圓心為中介的“走心”原則，這樣關(guān)于圓的大量幾何性質(zhì)便被激活，運用幾何性質(zhì)求解往往可達到簡化運算的效果.

思路二：從直線MN是否與x軸重合進行分類討論切入，用方程思想求解.

直線過定點，當(dāng)直線的斜率存在時選擇點斜式方程，這是常用方法，注意到定點B（-2，0）在x軸上，當(dāng)直線不與x軸重合時往往設(shè)直線的方程為x=my-2，這個另類的斜截式方程比點斜式方程從形式上看似乎只略顯簡潔，但在接下來的運算求解中卻要簡單很多.

解法2：當(dāng)直線l與x軸重合時，則點P就是直線l1與x軸的交點，其坐標為（-7，0）.因為AQ⊥MN，所以點Q就是點A在x軸上的射影，其坐標為（-2，0）.

于是=（-5，0）·（1，0）=-5.

當(dāng)直線l與x軸不重合時，因為直線l過點B（-2，0），故可設(shè)其方程為x=my-2.

將其代入圓的方程化簡整理得（m2+1）y2-2（m+2）y-15=0，則M，N兩點的縱坐標就是這個方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得

因為Q為MN的中點，所以

易求得直線l1與l的交點P的縱坐標為

下面用三種方法證明=-5.

用向量數(shù)量積的定義將其轉(zhuǎn)化為距離求解：由圖知=-BP·BQ，由直線上兩點間的距離公式得BP=所以有BP·BQ=BA·BT=5，則=-5.

思路三：從直線MN的參數(shù)方程切入，用參數(shù)的幾何意義求解.

解法3：因為直線l過點B（-2，0），故可設(shè)其參數(shù)方程為x=-2+tcosθ，y=tsinθ，其中t為參數(shù)，θ為直線傾斜角.將直線l的參數(shù)方程代入直線l1的方程求得兩直線交點P所對應(yīng)的參數(shù)

將直線l的參數(shù)方程代入圓A的方程整理得t2-2（cosθ+2sinθ）t-15=0，則直線l與圓A的兩個交點M，N所對應(yīng)的參數(shù)tM，tN分別是這個方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點公式得=（t+t）=cosθ+2sinθ.MN

由向量數(shù)量積的定義及參數(shù)的幾何意義知=tPtQ=-5.

思路四：數(shù)形結(jié)合，以幾何方法為主，以解析法為輔進行求解.

因為Q是MN的中點，

所以AQ⊥MN.

則∠AQP=90°.

又∠ATP=90°，故A，Q，T，P四點在以AP為直徑的圓C上.

圖2

如圖2，由相交弦定理得BP·BQ=BA·BT，由兩點間的距離公式得BA=.

因為BT⊥l1，從而BT就是點B到直線l1的距離，由點到直線的距離公式求得BT=，于是有BP·BQ=BA·BT=5，則=-BP·BQ=-5，故為定值，這個定值為-5.

解法評價：解法1、解法2和解法3分別選擇直線的點斜式方程、另類斜截式方程和參數(shù)方程切入，利用方程思想的同時結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.根據(jù)題設(shè)條件特點靈活選擇直線方程形式，三種解法特色分明：解法1基礎(chǔ)，解法2靈巧，解法3簡潔.解法3從直線的參數(shù)方程切入，用參數(shù)的幾何意義求解，解法不但無需分類討論，而且運算量非常小，解法干凈利落.解法4數(shù)形結(jié)合，以幾何法為主，以解析法為輔，用解析法判斷兩直線垂直、證三點共線求點到直線的距離，用幾何法證明四點共圓，最后用相交弦定理求解.解析法與幾何法相輔相成，相得益彰，可謂是珠聯(lián)璧合，解法挖掘隱含，深入淺出，多思少算，優(yōu)雅大氣，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用和推理嚴謹?shù)睦硇跃?

1.張翼飛.用“走心”解決問題——探究以圓為背景的平面向量問題［J］.新高考（高三數(shù)學(xué)），2017（12）.

2.鄒生書.設(shè)一個好方程 事半功倍［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2008（7）.

3.鄒生書.用相交弦定理簡解定點定值問題三則［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)，2017（1）.

4.韓小艷.隨風(fēng)潛入夜，潤物細無聲——例談參數(shù)方程在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（9）.F