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    空間向量出手,“角”的問題無憂

    2018-06-25 01:49:26江蘇省石莊高級中學(xué)沈世金
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年11期
    關(guān)鍵詞:面角二面角直角坐標(biāo)

    ☉江蘇省石莊高級中學(xué) 沈世金

    自新教材實(shí)施以來,通過分析近幾年高考考查的立體幾何試題,可以發(fā)現(xiàn)在考查常規(guī)解題方法的同時,更多地關(guān)注向量法(基向量法、坐標(biāo)法)在解題中的應(yīng)用.坐標(biāo)法(法向量的應(yīng)用),以其問題(數(shù)量關(guān)系:空間角、空間距離)處理的簡單化,而成為高考熱點(diǎn)問題.可以預(yù)測到,在今后的高考中,還會繼續(xù)體現(xiàn)法向量的應(yīng)用價值.其中關(guān)于角的計(jì)算,均可歸結(jié)為求兩個向量的夾角問題.例談如下.

    視角一:線面角問題

    應(yīng)用策略:轉(zhuǎn)化為求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余角或其補(bǔ)角的余角.

    如圖1所示,點(diǎn)P在平面α外,M為α內(nèi)一點(diǎn),斜線MP和平面α所成的角為θ,n為α的一個法向量,注意到斜線和 平 面 所 成 角 的 范 圍 是 (0°,90°), 則 有 θ=,結(jié)合向量的夾角公式便可求θ.

    圖1

    圖2

    例1 如圖2,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,O是AC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC,求直線PA與平面PBC所成角的大小.

    分析:由圖形中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,通過求直線PA與平面PBC的法向量所成的角,從而獲得直線PA與平面PBC所成角的大小.

    解:因?yàn)锳B=BC,O是AC的中點(diǎn),所以O(shè)B⊥AC.又因?yàn)镺P⊥底面ABC,所以O(shè)B⊥OP,OC⊥OP.

    于是,可以建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,令PA=2,則AB=BC=1.

    因?yàn)锳B⊥BC,所以AC=,OA=OB=OC=.

    所以直線PA與平面PBC所成角的大小為:

    點(diǎn)評:求空間線面角的常規(guī)方法是構(gòu)造直角三角形求解,其關(guān)鍵又是面的垂線.對于圖形中含有垂直關(guān)系的求線面角問題,可以通過建立空間直角坐標(biāo)系,利用線上的向量與面的法向量的夾角來達(dá)到解決問題的目的,不失為一種簡捷解法.一般地,若設(shè)m是空間直線l上的一條向量,n是平面α的一條法向量,則直線l與平面α所成的角θ的計(jì)算公式是:

    視角二:線線角問題

    應(yīng)用策略:兩異面直線AB、CD所成的角為向量、所成的角為θ1,由于θ與θ1不一定相等,它們之間關(guān)系是θ=θ1或θ=π-θ1,故

    例2 如圖3所示,已知空間四邊形ABCD中,AB2+CD2=AD2+BC2,求異面直線AC與BD所成的角.

    分析:從公式a2=|a|2出發(fā),將線段長度平方之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系.

    解:因?yàn)锳B2+CD2=AD2+BC2,

    所以AB2-AD2=BC2-CD2.

    圖3

    所以AC⊥BD.

    所以異面直線AC與BD所成的角是90°.

    點(diǎn)評:求空間線線角的常規(guī)方法是將相關(guān)的線進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭妻D(zhuǎn)化到同一個三角形中求解,到底如何平移空間的線往往不簡單,而向量法思路自然順暢,易于把握.一般地,若設(shè)n,m分別是空間直線l1,l2上兩條向量,則空間直線l1,l2所成的角θ的計(jì)算公式是:θ=

    視角三:面面角問題

    應(yīng)用策略:設(shè)二面角的平面角為θ,兩半平面α、β的法向量分別m、n,且m、n的夾角為γ,則θ=γ,或θ=π-γ.當(dāng)二面角為銳二面角時,若γ為銳角,則θ=γ,若γ為鈍角,則θ=π-γ;當(dāng)二面角為鈍二面角時,則相反.

    例3 如圖4,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=DA=AB=1,P、Q分別是CC1、C1D1的中點(diǎn),求二面角B-PQ-D的大小.

    分析:由圖形中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,通過求兩個平面的法向量的夾角,從而獲得兩個平面所成的二面角的大小.

    解:建立如圖4所示的坐標(biāo)系D-xyz,則B(1,1,0),P( 0, 2 ,),Q(0,1,1),A(1,0,0),=(1,0,0),(-1 , 1,)=(-1,0,1).

    因?yàn)镈A⊥面PQD,所以是面PDQ的法向量.設(shè)n=(x,y,z)為面BPQ的法向量,則n⊥,n⊥

    點(diǎn)評:求二面角大?。臻g面面角等于二面角或其補(bǔ)角)的常規(guī)方法是構(gòu)造三角形求解,其關(guān)鍵又是作出二面角的平面角,往往很不簡單.利用建立空間直角坐標(biāo)系,通過求兩個平面法向量的夾角來達(dá)到解決問題的目的,是一種有效方法.一般地,若設(shè)n,m分別是平面α,β的法向量,則平面α與平面β所成的二面角θ的計(jì)算公式(當(dāng)二面角為銳角、直角時)或θ=π-(當(dāng)二面角為鈍角時),其中銳角、鈍角根據(jù)圖形確定.

    在立體幾何學(xué)習(xí)中,我們要多培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,而向量的運(yùn)用為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度.不過在向量運(yùn)用過程中,首先要建系,建系要建得合理,最好依托題目的圖形,坐標(biāo)才會容易求得.彌補(bǔ)空間想像能力的不足,發(fā)揮代數(shù)運(yùn)算的長處,深入開發(fā)它的解題功能,平面法向量將在數(shù)學(xué)解題中起到越來越大的作用.

    1.劉進(jìn).空間角的解題方法研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(下旬),2017(24).

    2.范廣法.用四點(diǎn)向量定理破解空間角難題[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2017(03).

    3.余志.“棱法向量”求二面角[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2017(03).F

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