萬(wàn)變離不開(kāi)定義，巧用定義妙解題
——例談三角函數(shù)的定義的應(yīng)用

☉江蘇省江都中學(xué) 王 斌

隨著角的概念的推廣，三角函數(shù)的定義在高中數(shù)學(xué)也得到了推廣.但在實(shí)際解答問(wèn)題中，由于相應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，往往對(duì)三角函數(shù)的定義得不到充分的重視與應(yīng)用.其實(shí)，利用三角函數(shù)的定義，可以簡(jiǎn)單快捷用來(lái)處理很多的三角函數(shù)問(wèn)題.利用三角函數(shù)的定義解題的實(shí)質(zhì)是：將三角函數(shù)化為關(guān)于相應(yīng)的x，y，r兩兩之比，對(duì)其實(shí)施代數(shù)運(yùn)算以達(dá)目的，主要適用于求解同角三角函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題.

一、角所在象限的確定問(wèn)題

例1 若角α滿足2sinαcosα＜0，cosα-sinα＜0，則角α的終邊落在（ ）.

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

分析：直接根據(jù)相應(yīng)的三角關(guān)系式的取值情況，利用三角函數(shù)基本關(guān)系式來(lái)判斷角α所在的象限存在一定難度，而通過(guò)三角函數(shù)的定義來(lái)轉(zhuǎn)化，可以快捷判斷.

解析：設(shè)P（x，y）是角α終邊上的任意一點(diǎn)，

根據(jù)三角函數(shù)的定義有sinα=，cosα=，x2+y2=r2.

由于2sinαcosα＜0，cosα-sinα＜0，

點(diǎn)評(píng)：利用三角函數(shù)的定義，把所涉及的三角式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的代數(shù)式，判斷出x，y的符號(hào)，進(jìn)而確定角所在的象限.

二、三角函數(shù)式的符號(hào)問(wèn)題

例2 設(shè)角α為終邊不在坐標(biāo)軸上的任意角，且P=，則下面判斷正確的是（ ）.

（A）P＜0 （B）P≤0 （C）P＞0 （D）P≥0

分析：直接根據(jù)相應(yīng)的三角函數(shù)式來(lái)確定對(duì)應(yīng)的符號(hào)問(wèn)題難以下手，可以結(jié)合三角函數(shù)的定義加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合因式的取值情況加以簡(jiǎn)單判斷，方法巧妙，解答快捷.

解析：設(shè)M（x，y）（xy≠0）是角α終邊上任一點(diǎn)，有|OM|=r，則|x|＜r，|y|＜r，

根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得

點(diǎn)評(píng)：利用三角函數(shù)的定義，把所涉及的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y，r的代數(shù)式，結(jié)合相關(guān)定義中對(duì)應(yīng)x，y，r的取值情況，進(jìn)而確定相關(guān)函數(shù)式的符號(hào)問(wèn)題.

三、三角函數(shù)值的求解問(wèn)題

例3 （2015·四川文·13） 已知sinα＋2cosα＝0，則2sinαcosα-cos2α的值是______.

分析：利用三角函數(shù)的定義，通過(guò)條件sinα＋2cosα＝0的轉(zhuǎn)化得到5x2=r2，結(jié)合定義代入化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化，即可加以求解相應(yīng)的三角函數(shù)值問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)三角函數(shù)的定義的導(dǎo)引，把相應(yīng)的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的定義問(wèn)題，利用關(guān)于x，y，r的代數(shù)運(yùn)算來(lái)求解相應(yīng)的三角函數(shù)值.

四、三角函數(shù)值的大小比較問(wèn)題

例4 已知角α是第四象限的角，試比較sinα與tanα的大小關(guān)系.

分析：第四象限的角α的正弦值與正切值均為負(fù)數(shù)，直接比較沒(méi)有什么更好的方法，而通過(guò)引入三角函數(shù)的定義，結(jié)合相關(guān)參數(shù)之間的大小關(guān)系、不等式的性質(zhì)來(lái)處理，方法巧妙，處理得當(dāng).

解析：設(shè)M（x，y）是角α的終邊上的任意一點(diǎn)，|OM|＝r，則有0＜x＜r，y＜0，根據(jù)三角函數(shù)的定義有sinα＝＜0，tanα=＜0，而由于0＜x＜r，可得，即|sinα|＜|tanα|，所以sinα＞tanα.

點(diǎn)評(píng)：利用三角函數(shù)的定義來(lái)比較三角函數(shù)值的大小問(wèn)題時(shí)，首先要將各個(gè)三角函數(shù)用相關(guān)的參數(shù)x、y、r來(lái)表示，再利用參數(shù)x與y的大小關(guān)系來(lái)確定最后的結(jié)果.

五、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題

分析：常見(jiàn)的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換公式等來(lái)分析與處理，而直接利用三角函數(shù)的定義來(lái)化簡(jiǎn)，解題方向明確，思路清晰，易于操作.

解析：設(shè)P（x，y）是角α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且|OP|=r（r＞0），

根據(jù)三角函數(shù)的定義有sinα=，cosα=，x2+y2=r2，

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，只要將式中的各個(gè)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、y、r的關(guān)系式，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算即可得答案，思路比較簡(jiǎn)單快捷.

六、三角函數(shù)中的值域問(wèn)題

分析：對(duì)于此類(lèi)三角函數(shù)式的值域問(wèn)題，直接求解往往難度比較大，有時(shí)還涉及三角恒等變換公式以及其他相關(guān)問(wèn)題，而利用三角函數(shù)的定義可以非常巧妙處理.

解析：設(shè)P（x，y）為角θ的終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，且|OP|=r（r＞0），x2+y2＝r2，

點(diǎn)評(píng)：巧妙通過(guò)三角函數(shù)的定義，把復(fù)雜的三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相關(guān)問(wèn)題的二次函數(shù)問(wèn)題，結(jié)合分式的情況與二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)加以求解相關(guān)的值域，方法直觀快捷，處理合理可行.

七、三角函數(shù)中的最值問(wèn)題

結(jié)論正確的是（ ）.

（A）有最大值而無(wú)最小值

（B）有最小值而無(wú)最大值

（C）有最大值且有最小值

（D）既無(wú)最大值又無(wú)最小值

分析：直接判斷對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的最值問(wèn)題，無(wú)從下手，通過(guò)三角函數(shù)的定義的過(guò)渡，結(jié)合不等式的性質(zhì)加以判斷.

解析：設(shè)P（m，n）（n＞0）是角x終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，且|OP|=（rr＞0），

則由任意角三角函數(shù)的定義知，sinx=，

例7設(shè)a＞0，對(duì)于函數(shù)

因?yàn)閞≥n＞0，所以f（x）≥1＋a，即f（x）有最小值而無(wú)最大值，故選B.

點(diǎn)評(píng)：巧妙通過(guò)三角函數(shù)的定義，把復(fù)雜的三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)問(wèn)題，結(jié)合參數(shù)的取值情況加以判斷相應(yīng)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是巧妙的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

八、其他方面的應(yīng)用問(wèn)題

例8 設(shè)a，b，c是直角三角形△ABC的三邊，c是斜邊，整數(shù)n≥3，求證：an+bn＜cn.

分析：直接證明平面幾何中的不等式問(wèn)題，沒(méi)有一定的突破口，方法也各異.而采用三角函數(shù)的定義來(lái)處理，利用直角三角形中的邊與角的關(guān)系，通過(guò)不等式的性質(zhì)并結(jié)合三角函數(shù)中的平方關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化，達(dá)到巧妙證明的目的.

證明：根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sinA=，cosA=，

而角A為銳角，可得0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，

故當(dāng)整數(shù)n≥3時(shí)，由于sinnA＜sin2A，cosnA＜cos2A，可得sinnA+cosnA＜sin2A+cos2A=1，

點(diǎn)評(píng)：巧妙借助三角函數(shù)的定義，使得平面幾何中的證明問(wèn)題顯得更為直觀有效，證明起來(lái)操作性，簡(jiǎn)單易懂.

通過(guò)以上實(shí)例剖析，利用三角函數(shù)的定義來(lái)解決相應(yīng)的三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以總結(jié)其解答的一般操作步驟：第一步，設(shè)點(diǎn)P（x，y）是角α的終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)；第二步，將題中所涉及的的各種三角函數(shù)化為關(guān)于x，y，r兩兩之比的關(guān)系式；第三步，結(jié)合所求解的問(wèn)題利用相關(guān)的知識(shí)，作關(guān)于x，y，r的代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)化簡(jiǎn)等運(yùn)算，并結(jié)合具體的問(wèn)題加以分析與解答.J